Explorador
Todos os estúdios, do mais fácil ao mais difícil.
Números e valor posicional
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- contagem e comparação até 10Faz corresponder maçãs uma a uma, conta-as e compara. Depois conhece os sinais <, > e =.Brinca e aprende com a poupa
- Os números até 20: uma dezena e unidadesLê e constrói os números de 10 a 20 com duas molduras de dez. Mais um, o número entre dois números, e primeiro, segundo, terceiro.Brinca e aprende com a poupa
- Reta numérica, contagens de n em n, pares e ímparesDescobre números na reta numérica, conta de 2 em 2, de 5 em 5 e de 10 em 10 e descobre os números pares e ímpares.Brinca e aprende com a poupa
- Dezenas e unidades: números até 100Junta dez unidades numa dezena. Constrói e lê números até 100 com dezenas e unidades.
- Centenas e milhares: valor posicional e decomposiçãoConstrói, lê e escreve números até 10 000 com o material de base dez, decompõe-nos em somas, compara-os a partir da ordem mais alta.
- Números grandes, arredondamento e estimativasLê e constrói números na ordem dos milhões, por classes de três algarismos, arredonda às dezenas, centenas ou milhares olhando para a ordem seguinte e estima uma soma antes de a calcular.
- Estimar e arredondar às dezenas e às centenasAproxima números às dezenas e às centenas e estima somas e diferenças sem fazer o cálculo exato.
- Números negativos e números inteirosProlonga a reta numérica para a esquerda do zero. Vê temperaturas abaixo de zero e profundidades abaixo do nível do mar e soma e subtrai com saltos.
- Arredondar números decimaisAproxima-te de um número entre os seus dois vizinhos e vê de qual está mais perto: arredonda às unidades, às décimas e às centésimas. Depois descobre todos os números que dão o mesmo arredondamento.
- Divisores, múltiplos e números primosArruma fichas em retângulos para descobrir os divisores de um número. Vê porque alguns números só formam um retângulo.
- Divisibilidade, m.d.c., m.m.c. e potênciasPinta múltiplos na tabela dos cem e descobre os critérios de divisibilidade. Depois vêm os múltiplos e divisores comuns, os quadrados perfeitos e as potências.
- Multiplicação e divisão de números inteiros; valor absolutoMultiplica e divide números negativos com saltos na reta numérica, descobre o padrão dos sinais e mede a distância até zero.
- Números racionais: ordenação e as quatro operaçõesColoca frações e dízimas negativas na mesma reta numérica, compara-as e depois adiciona e multiplica-as como deslocamentos e como ampliações ou reduções.
- O crivo dos números primosEscreve os números de 1 a 50 e risca os múltiplos até só restarem os números primos; descobre depois onde se pode parar.
- Subtrair um número negativoEscreve cada subtração como uma adição, vê na reta numérica o que é subtrair um número negativo e calcula somas de dois algarismos por ordens.
- Potências de números negativos e crescimento por duplicaçãoSegue as prioridades das operações com potências, percebe a diferença entre (−3)² e −3² e vê porque é que a duplicação repetida dá números tão grandes tão depressa.
- Fatores primos, mdc × mmc e raízes exatasDecompõe dois números em fatores primos com árvores de fatores. Constrói o mdc e o mmc a partir dos primos e descobre raízes quadradas e cúbicas agrupando os primos de dois em dois ou de três em três.
- Regras das potênciasEscreve as potências como fatores numa fração: multiplica juntando os fatores e divide cortando fatores iguais em cima e em baixo.
- Divisão de números racionaisDescobre o inverso de um número racional e transforma divisões de números com sinal em multiplicações. Vê porque é que dividir por zero não faz sentido.
- Raízes de índice n e potências de expoente racionalAprende as raízes de índice n através das potências: raízes de índice par e ímpar, produto de radicais e depois potências de expoente fracionário, como 2713 e 823.
- Notação científicaFazer deslizar os algarismos com ÷ 10 e × 10 até ficar só um algarismo diferente de zero antes da vírgula, e ver que o expoente da potência de 10 conta os deslizamentos.
- Estimar raízes quadradas; números irracionais na retaPrende uma raiz quadrada entre números inteiros, aproxima-te das décimas e das centésimas elevando ao quadrado, e separa os números racionais dos irracionais na reta real.
- Radicais e como simplificá-losDecompõe o número que está dentro do radical em fatores e tira cada par para fora: √12 = 2√3. Multiplica radicais, soma radicais semelhantes e racionaliza um denominador.
- O algoritmo de Euclides para o máximo divisor comumCalcula o máximo divisor comum de dois números com uma sequência de divisões, sem escrever os divisores.
- Valor absoluto de um número real e cálculo aproximadoVê o valor absoluto como distância à origem, conhece os três casos, compara |a + b| com |a| + |b| e calcula com raízes aproximadas.
- Propriedades dos radicais, potências de expoente racional e equações com radicaisCalcula o radical de um quociente e o radical de um radical, compara radicais de índices diferentes e resolve uma equação com radicais elevando ao quadrado, verificando a condição e usando uma mudança de variável.
- Números por extenso: dezenas de milhar, centenas de milhar e milhõesConstrói e lê números grandes: números com cinco algarismos, cem mil e números acima do milhão.
- Raízes: raízes quadradas e cúbicas e os seus sinaisConta os números cujo quadrado é um número positivo, vê porque é que um número negativo não tem raiz quadrada real mas tem raiz cúbica, e porque é que a raiz de um quadrado é o valor absoluto.
- Arredondamentos na reta numéricaEncontra o número na reta numérica e vê de que dezena, centena ou milhar fica mais perto. Um número que está mesmo a meio arredonda-se por excesso.
- Os números por extensoConstrói números de dois e três algarismos com dezenas e unidades e depois lê-os e escreve-os por extenso.
- Divisibilidade nos números inteirosO algoritmo da divisão, propriedades da divisibilidade e o máximo divisor comum escrito como combinação dos dois números.
- Tabela de números e contagens de n em nConta de 3 em 3, de 4 em 4, de 6 em 6 e de 7 em 7 numa tabela de números e vê a adição repetida com barras.
- Congruência nos números inteirosNúmeros com o mesmo resto na divisão por m são congruentes. Vê como se calcula com eles.
- Valor posicional nos números decimaisEscreve e lê números decimais num quadro de ordens com as colunas das unidades, décimas e centésimas, constrói-os em forma expandida e compara-os.
- Aproximação: arredondar e truncarAproxima um número às dezenas, às centenas, às unidades ou às décimas com dois métodos, o arredondamento e a truncatura, diz qual dos dois é o arredondado, aproxima uma fração e estima um produto.
- Valores aproximados e erroDetermina o erro absoluto e o erro relativo, compara a precisão de medições e estima o erro de uma soma.
- Composição dos números de 6 a 10 e o zeroDecompõe os números 6, 7, 8 e 9 em duas partes com fichas. Depois descobre o que acontece quando se tira tudo ou não se tira nada.
- Cartão de composição e tirasEscreve as duas parcelas que formam 6 e constrói uma tira de 7 quadrados.
- Propriedades da raiz quadradaCalcula raízes de quadrados, produtos, quocientes e potências com as propriedades da raiz quadrada. A raiz de índice n aparece mais tarde, no secundário.
- Os números naturais e a reta numéricaEncontra o número anterior a um dado, descobre porque não há um maior número natural, marca o ponto K(5) na reta numérica e lê uma escala.
- Divisão com resto e divisibilidade por 9 e por 3Descobre porque é que o resto é menor do que o divisor, constrói o dividendo com a = bq + r e testa a divisibilidade por 9 e por 3 pela soma dos algarismos.
- Radicais sobrepostos: √(a ± 2√b)Elimina um radical que está dentro de outro: escreve a expressão como o quadrado de uma soma ou de uma diferença e encontra os números a partir da soma e do produto.
- Números binários e algarismos romanosLê e escreve números binários com os valores de posição 1, 2, 4, 8, 16 e compara os algarismos romanos com o nosso sistema de numeração posicional.
- Distância entre pontos e equações com valor absolutoCalcula a distância entre dois pontos da reta numérica como |a − b| e resolve equações |x − a| = b marcando pontos.
- Divisibilidade de somas, diferenças e produtos; critérios por 4, 8, 6 e 11Decide se uma soma, uma diferença ou um produto é divisível sem o calcular, e usa os critérios de divisibilidade por 4, 8, 6 e 11.
- O método de Heron e os números irracionaisAproxima uma raiz quadrada com o método de Heron (um retângulo que se aproxima de um quadrado) e descobre porque é que √2 não é uma fração.
Cálculo
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- Adicionar e subtrair até 10Junta maçãs, tira maçãs e compara. Depois forma 10 com dois números.
- Calcular até 20: passar a dezena e famílias de operaçõesCompleta primeiro a dezena e depois junta o resto. Soma três números, troca a ordem das parcelas e descobre as quatro operações de uma família.
- Cálculo mental de somas e diferenças com saltosRepresenta cada adição e subtração com saltos na reta numérica: primeiro as dezenas e depois as unidades, ou primeiro até à dezena seguinte.
- Grupos iguais: multiplicar e dividirPõe maçãs em grupos iguais, constrói disposições retangulares e vê como a multiplicação e a divisão se ligam.
- A tabuada da multiplicaçãoAprende a tabuada com imagens e treina num pequeno jogo: primeiro o 2, o 5 e o 10, depois o 0 e o 1, depois as outras tabuadas até 10 × 10.
- Multiplicar e dividir por 10, 100 e 1000Quando se multiplica por 10, cada algarismo avança uma ordem para a esquerda; quando se divide por 10, recua uma ordem para a direita. Observa-o na tabela de ordens, primeiro com números inteiros e depois com dízimas.
- Adições e subtrações em colunaDispõe os números em coluna e calcula coluna a coluna: escreve o transporte na coluna seguinte, troca uma dezena com a coluna vizinha e confirma o resultado.
- O algoritmo da multiplicaçãoMultiplica armando a conta: por um número com um algarismo, com transporte; por um número com dois algarismos, com duas linhas e o zero do deslocamento; e depois com números decimais.
- Divisão inteira e algoritmo da divisãoFaz uma divisão algarismo a algarismo, descobre o que é o resto e como o usar num problema, e verifica uma divisão com uma multiplicação.
- Para ir mais longe: adicionar e subtrair com um ábacoAdiciona e subtrai números de dois algarismos movendo contas num ábaco. Troca dez contas das unidades por uma conta das dezenas, e vice-versa.
- Multiplicar números com zeros no fim e calcular com decimaisMultiplica números que acabam em zeros (40 × 30, 650 × 300), soma e subtrai decimais em coluna e multiplica dois decimais contando as casas decimais.
- Multiplicação por números com vários algarismos e por números redondosMultiplica armando a conta por um número com três algarismos, por um número com um zero e por um número redondo, usando produtos parciais.
- Multiplicar com material: decompor em partesPrimeiro as dezenas inteiras, depois um número com vários algarismos por um número com um algarismo, com placas, barras e cubos: multiplica-se cada parte e somam-se os resultados.
- Adição e subtração com números de quatro algarismos e cubos de milharSomar e subtrair números de quatro algarismos no quadro de posições com unidades, dezenas, centenas e milhares, trocando dez de uma ordem por um da ordem seguinte.
- Contar de grupo em grupo e histórias de multiplicaçãoContar de 7 em 7 e de 200 em 200, histórias de «vezes mais», trocar fichas por pontos e problemas de velocidade com uma máquina que multiplica.
- Partes de uma igualdade: parcelas, soma, diferençaSoma e subtrai por partes na reta numérica, dá nome às partes de uma igualdade e subtrai com a ajuda da adição.
- Parcela desconhecida e como muda a somaDescobre a parcela desconhecida de uma adição ou de uma subtração com uma regra, compara cálculos sem os efetuar e observa como muda a soma.
- Números de dois algarismos: por ordens, por partes, a compensaçãoAdiciona e subtrai números de dois algarismos por ordens e por partes e calcula 38 + 9 passando por 10 e tirando o que ficou a mais. Matéria do 2.º ano; os restantes métodos de cálculo mental estão noutro estúdio.
- A tabela da multiplicação e a dependência dos resultadosExplora a tabela da multiplicação, multiplica e divide em sequência e vê como o produto e o quociente dependem dos termos.
- Cálculo mental: por ordens, compensação, divisão por partesAdiciona e subtrai por ordens e por compensação, divide números decompondo-os e divide números redondos em unidades de ordem. Matéria do 3.º ano; os números de dois algarismos do 2.º ano estão noutro estúdio.
- Maneiras espertas de multiplicar e dividirMultiplica e divide por 5, 25, 50, 11, 101, 9 e 99 com truques de cálculo mental.
- Propriedades das operações e cálculo convenienteUsa as propriedades comutativa, associativa e distributiva para calcular de forma conveniente e simplifica expressões com números racionais.
- Expressão, igualdade, desigualdadeDistingue expressões, igualdades e desigualdades, risca as igualdades falsas e compara expressões sem calcular. Expressões numéricas e sinais =, < e >.
- Divisão com resto por 10 e por 100Divide com resto por 10 e por 100 tapando algarismos à direita e divide números terminados em zeros cortando o mesmo número de zeros. 4.º ano.
- Cadeias de cálculoSegue as setas: um número no círculo, uma operação na bandeirinha. Descobre o número no fim da cadeia e repõe uma bandeirinha apagada. 1.º ano.
- Tabelas de adiçãoLê as tabelas de adição do 1, do 2, do 5 e do 7, tapa os resultados e escreve-os. Depois, as somas da segunda dezena. 1.º e 2.º ano.
- Subtrair 6, 7, 8, 9Troca o aditivo por uma soma de parcelas convenientes, uma das quais é igual ao subtraendo. Então fica a outra parcela. 1.º ano.
- Adicionar e subtrair uma somaAdiciona uma soma a um número, subtrai uma soma a um número e um número a uma soma, escrevendo igualdades com parênteses.
- Multiplicar e dividir por partesMultiplica e divide números de dois algarismos por números de um algarismo, decompondo o número em partes fáceis, e verifica com a operação inversa.
- Verificar cálculos: estimativa e prova realFaz uma estimativa antes de calcular, calcula no algoritmo, verifica com a operação inversa e decide se um resultado (também o da calculadora) é razoável.
Frações
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- O que é uma fração?Divide uma unidade em partes iguais e escreve, com uma fração, quantas partes pintaste.
- Frações na reta numéricaAs frações também são números e cada uma tem o seu lugar na reta numérica. Divide o espaço de 0 a 1 em partes iguais e marca pontos.
- Frações equivalentesUma mesma quantidade pode escrever-se com frações diferentes. Observa como a fração muda quando as partes ficam mais pequenas ou maiores, embora a quantidade seja a mesma.
- Comparar fraçõesQue fração é maior? Alinha as barras e vê qual das pinturas vai mais longe.
- Adicionar e subtrair fraçõesColoca frações em barras, adiciona-as e subtrai-as. Quando os denominadores são diferentes, torna primeiro as partes do mesmo tamanho.
- Multiplicação e divisão de fraçõesCom barras, vê que multiplicar por uma fração é «tomar várias vezes» ou «tomar uma parte de», e que dividir por uma fração é perguntar «quantas vezes cabe».
- Os numerais decimaisEncontra as décimas e as centésimas na reta numérica e vê como se escrevem e se leem os números decimais.
- Divisão e fraçõesFaz uma divisão algarismo a algarismo e vê que toda a fração é uma divisão que podemos escrever como dízima.
- Fração de uma quantidadeReparte maçãs em partes iguais e toma algumas das partes. Depois aumenta e diminui uma receita.
- Percentagens: fração, dízima e percentagemPor cento quer dizer «em cada cem». Usa um quadrado de cem quadradinhos e uma barra de 100 % para veres que a fração, a dízima e a percentagem são três nomes da mesma quantidade.
- Multiplicar e dividir numerais mistosUsa barras para ver como se multiplicam e dividem numeral mistos e que operação se faz primeiro num cálculo.
- Divisão com decimais e dízimas infinitas periódicasTransforma uma divisão com decimais numa divisão de números inteiros, continua a dividir até veres os algarismos repetirem-se e escreve de novo uma dízima infinita periódica como fração.
- Frações de fraçõesUma fração com uma fração em cima ou em baixo: reparte uma fração numa barra, conta frações dentro de frações e divide invertendo a fração do divisor.
- Subtração de numerais mistos e cálculo com fraçõesSubtrai numerais mistos, «abre» um inteiro quando é preciso, resolve expressões com frações e amplia uma receita.
- Parte de um número e o número a partir da parteCalcula uma parte de um número e descobre o número a partir de uma parte: primeiro uma parte, depois a unidade ou várias partes.
- Frações impróprias, o todo a partir de uma parte, percentagem de um número, valor aproximadoRepresenta uma fração imprópria em barras, calcula o todo a partir do valor de uma parte ou de uma percentagem, calcula que percentagem um número é de outro e arredonda uma fração às centésimas. Secção: 5.º e 6.º anos; o estúdio de «parte de um número» do 1.º ciclo é outro.
- Frações de unidades de medidaQue parte de um metro são 6 cm e que parte de um ano são 3 meses? Escreve uma fração de uma unidade em unidades mais pequenas e compara-a com uma medida.
- Um quinto e um décimoDivide um todo em 5 e em 10 partes iguais, compara 15 e 110 e calcula um quinto e um décimo de uma quantidade.
Razão e proporção
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- Razão e divisão em partes proporcionaisUsa barras de duas cores para ver o que quer dizer 2 : 3, simplifica razões e divide uma quantidade em partes proporcionais a uma razão dada.
- Proporcionalidade e redução à unidadeUsa uma tabela de proporcionalidade para descobrir uma quantidade em falta: primeiro o valor para um, depois para qualquer número. A proporcionalidade inversa vem no fim.
- Razão de semelhança e figuras semelhantesAmplia uma figura segundo uma razão de semelhança, descobre quais as figuras semelhantes, calcula a razão de semelhança e desenha uma figura semelhante a partir de um lado.
- Variação percentual, fator multiplicativo e preço inicialO valor inicial é uma barra de 100 %. Um aumento faz a barra crescer (120 %), uma diminuição encurta-a (85 %). Usa as barras para descobrir fatores, variações em percentagem e preços iniciais.
- Taxas, preço unitário e massa volúmicaCom uma tabela de proporcionalidade, descobre o valor «por um»: o preço de um quilograma, os litros por um euro e a massa de um centímetro cúbico.
- Desenhos à escala e mapasMede num mapa e na planta de uma sala com uma régua e usa a escala para descobrir as medidas reais.
- Gráficos de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversaRepresenta uma proporcionalidade direta a partir de uma tabela, descobre a constante k com um ponto, ajusta y = kx a um ponto com um cursor, reconhece o gráfico de uma proporcionalidade direta e representa uma proporcionalidade inversa.
- Extra: proporcionalidade compostaNa proporcionalidade composta variam três grandezas ao mesmo tempo. Na tabela, muda uma grandeza de cada vez e decide se cada mudança é direta ou inversa.
- Distância, velocidade, tempo: s = v × tDescobre a distância, a velocidade e o tempo a partir de uma tabela e das fórmulas s = v × t, v = s : t, t = s : v.
- Dois corpos em movimento e trabalho em conjuntoDescobre a distância entre dois corpos que se movem ao mesmo tempo e o tempo de um trabalho em conjunto, com uma tabela e um plano de resolução.
- Divisão proporcional e a grandeza que não mudaResolve problemas com os dados «preço, quantidade, preço total»: divisão proporcional e descoberta da grandeza que não muda a partir de duas diferenças ou de duas somas.
- Quarta proporcional e dupla redução à unidadeResolve problemas pelo método das razões e pela redução à unidade, e problemas em que mudam duas grandezas.
- Figuras semelhantes: comprimento, área e volumeQuando uma figura é ampliada com razão de semelhança k, os comprimentos ficam k vezes maiores, as áreas k ao quadrado vezes maiores e os volumes k ao cubo vezes maiores. Usa uma tabela de proporcionalidade para encontrar a medida que falta.
- Trabalho: rendimento, tempo, total produzidoResolve problemas de trabalho: rendimento × tempo de trabalho = total produzido, com uma tabela e com o esquema do triângulo.
- Quarta proporcional: a grandeza que não mudaResolve problemas com uma grandeza que se mantém (a massa de uma caixa, um preço, uma massa total): descobre-a primeiro e responde depois à pergunta.
- Processos: movimento e trabalhoResolve problemas de movimento simultâneo e de trabalho em conjunto com o mesmo plano: velocidade × tempo = distância, produtividade × tempo = trabalho total.
- Percentagem: o todo, a parte e a taxaCalcula a parte P, a taxa p % ou o todo T com a barra das percentagens, a regra de três simples e a fórmula P = T · p %.
Dinheiro
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- Moedas e notasConhece as moedas e as notas, forma uma quantia de dinheiro de várias maneiras e descobre que mais moedas nem sempre querem dizer mais dinheiro.
- Compras e trocoSoma os preços dos artigos de um cesto, paga e descobre o troco, contando a partir do preço até ao dinheiro entregue.
- Percentagem e dinheiro: descontos, lucro e prejuízoUsa uma barra de 100 % para ver quanto um desconto tira ao preço e que percentagem do custo um vendedor ganha ou perde.
- Juro simples e juro compostoAcompanha uma poupança ano a ano: no juro simples juntam-se todos os anos os mesmos euros; no juro composto o dinheiro é multiplicado sempre pelo mesmo número. Depois vê como uma coisa perde valor todos os anos.
- IVA, desconto de pronto pagamento, preço de venda e por milPreços sem IVA e com IVA, um desconto comercial seguido de um desconto de pronto pagamento, o esquema do preço de venda e o «por mil».
- Percentagem e pontos percentuaisA diferença entre «subiu 5 %» e «subiu 5 pontos percentuais»: uma taxa de 20 % para 25 %, a parte de alunos com nota máxima e um problema de banco.
- Empréstimos: amortização constante e prestações constantesPede um empréstimo e vê a dívida crescer e diminuir: paga-se em partes iguais da dívida ou em prestações iguais. Compara o que o devedor paga no fim.
Medida
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- Comparar: mais comprido, mais pesado, mais cheioQual é mais comprido? Qual é mais pesado? Mede com clipes, palmos e copos.
- Medir comprimentos, massas e capacidadesMede com uma régua, uma balança e um jarro graduado. Primeiro estima e depois mede.
- Relógios e calendáriosRoda os ponteiros de um relógio, escreve uma hora da tarde no formato de 24 horas e encontra dias num calendário.
- perímetro e áreaDá a volta a uma figura para descobrir o perímetro, cobre-a com quadradinhos para descobrir a área e vê que duas figuras com a mesma área podem ter perímetros diferentes.
- Os quartos de hora e a ordem do tempoPõe os ponteiros em «e um quarto» e «menos um quarto», escreve uma hora de duas maneiras e compara duas durações.
- Converter unidadesConverte metros em centímetros, gramas em quilogramas e litros em mililitros. A fita de conversão ajuda-te.
- Área de triângulos, paralelogramos, trapézios e círculosMove peças para ver porque é que a área de um paralelogramo é base × altura e a de um triângulo é metade disso. Completa um trapézio com uma cópia dele e estima a área de um círculo.
- O volume do paralelepípedo retânguloConstrói caixas com cubos unitários, conta os cubos camada a camada e descobre porque é que o volume de um paralelepípedo retângulo é comprimento × largura × altura.
- Para ir mais longe: ler a temperatura num termómetroLê um termómetro e coloca-o numa temperatura negativa.
- Volume e área de prismas e cilindrosRoda prismas e cilindros, descobre as bases, enche-os camada a camada para ver porque é que volume = área da base × altura e abre a planificação para calcular a área lateral e a área total.
- Medir com mais exatidão e uma parte da unidadeMede com a tua própria unidade, conta as partes pequenas de um centímetro e descobre o meio de um segmento.
- Pirâmides, cones, esferas e sólidos compostosDespeja uma pirâmide no seu prisma e uma esfera no seu cilindro para veres de onde vêm o 13 e os 23. Abre um cone num setor circular, calcula a geratriz com o teorema de Pitágoras e determina o volume e a área de uma torre.
- Tubo, lata e caixa: problemas de volume e de superfícieEnrola uma folha num tubo e dá a sua capacidade em litros, compara a folha necessária para uma lata e para uma caixa e calcula o volume de uma caixa aberta.
- Limites da precisão: extremo inferior e extremo superiorUma medida arredondada está, na verdade, num intervalo. Desenha o intervalo e usa os extremos para descobrir os resultados maior e menor.
- Medir o tempo: minutos e segundosDescobre uma hora de chegada, calcula a duração entre dois relógios com setas de tempo e converte segundos, minutos e horas.
- Quilómetros, capacidade e massa da águaConverte metros em quilómetros e vice-versa, distingue a capacidade de um recipiente do volume de líquido que ele contém e descobre que um litro de água são 1000 cm³ e 1 kg.
- Área do losango e do círculoCalcula a área de um losango com quatro triângulos e com as suas diagonais, vê porque é que o losango é metade do retângulo que o rodeia e descobre a área do círculo a partir dos seus setores e com a fórmula π × r × r.
- Metros com centímetros, quilogramas com gramasLê e escreve medidas com duas unidades (325 cm = 3 m 25 cm), escolhe uma unidade adequada e lê meio centímetro na régua.
- O decímetro e as medidas de comprimentoAprende que 1 dm = 10 cm, mede fitas em decímetros e soma comprimentos dados em decímetros e centímetros.
- Números complexos: operações com medidasSoma, subtrai, multiplica e divide medidas com duas unidades: escreve-as numa só unidade, faz a conta e volta a escrever o resultado com duas unidades.
- Área do retângulo e unidades de áreaCalcula a área de um retângulo com A = c × l, descobre um lado que falta e aprende as unidades de área: cm², dm², m², are e hectare.
- Tempo: somar e subtrair medidas de tempoPassa unidades de tempo maiores a menores, soma ou subtrai e escreve a resposta com duas unidades. Descobre quanto tempo durou um acontecimento a partir do início e do fim.
- Prismas, paralelepípedos e pirâmides: propriedades, secções, troncoCalcula a diagonal espacial de um paralelepípedo, o volume de um prisma oblíquo, a área lateral de uma pirâmide regular, o volume de um tronco de pirâmide e vê uma secção de uma pirâmide.
- Secções de um cilindro, de um cone e de uma esfera; equação da superfície esféricaCalcula a diagonal de uma secção axial, o raio de uma secção de um cone e de uma esfera e lê o centro e o raio na equação de uma superfície esférica.
- Prismas: problemas com ângulos e diagonaisCalcula a altura e a aresta lateral de um prisma reto a partir de uma diagonal e de um ângulo, calcula a área lateral e dá respostas com raiz.
- Pirâmides: onde se projeta o vérticeA partir de arestas laterais iguais ou de diedros iguais, decide em que centro da base se projeta o vértice e calcula a altura e a área lateral.
- Volumes de sólidos: problemasCalcula o volume de uma peça a partir da subida da água, o raio de uma esfera fundida e o volume de um sólido obtido por rotação de um triângulo ou de um trapézio. Deixa π na resposta.
- Perímetro de um polígonoCalcula o perímetro do triângulo ABC e do retângulo DMPK como a soma dos comprimentos de todos os lados.
- Comprimento do arco, área do setor e do segmento circularCalcula o comprimento de um arco de n°, a área de um setor circular e de um segmento circular, com l = πRn/180 e S = πR²n/360.
- Setor circular e segmento circularUm setor circular é uma fração α/360° do círculo: calcula o comprimento do arco e a área do setor, descobre a amplitude a partir do arco e calcula a área de um segmento circular.
- Partes de uma esfera e o prisma oblíquoCalcula a área de uma zona esférica, o volume de um segmento e de um setor esférico e o volume de um prisma oblíquo. Escreve as respostas com π: 20π escreve-se 20π.
- Unidades de massa, velocidade e áreaPassa toneladas, quintais e quilogramas de umas para as outras, km/h para m/s e hectares para quilómetros quadrados, e escolhe uma unidade sensata.
- Quintais, toneladas e séculosPassa toneladas e quintais a quilogramas e descobre a que século pertence um ano.
Formas e geometria
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- Figuras planas e simetriaConstrói um triângulo e um quadrado no geoplano, descobre os triângulos e traça um eixo de simetria.
- Vértices, círculos, retângulos e simetriaConta vértices, descobre a figura sem vértices, desenha um retângulo, dobra uma figura e divide outra em partes iguais.
- Sólidos geométricosReconhece o cubo, o paralelepípedo retângulo, o cilindro, o cone, a esfera e a pirâmide, conta as faces e as arestas e desenha uma planificação do cubo.
- Retas, semirretas, segmentos de reta e ângulosEncontra as semirretas, traça retas paralelas e perpendiculares em papel ponteado e compara ângulos com o canto de um ângulo reto.
- Triângulos e quadriláterosClassifica triângulos pelos lados e pelos ângulos, descobre a família dos quadriláteros e traça as diagonais de um losango.
- Polígonos e soma de ângulosEncontra os polígonos regulares, descobre a soma dos ângulos de um triângulo e depois divide polígonos em triângulos para encontrar a soma dos seus ângulos.
- Medir ângulos com o transferidorLê e desenha ângulos com o transferidor. Descobre ângulos numa reta, ângulos verticalmente opostos e bissetrizes.
- Circunferência: raio, diâmetro e πMede o diâmetro e o raio de uma circunferência. Dá a volta a uma circunferência com uma fita e descobre quantos diâmetros cabem no perímetro.
- Construções com régua e compassoUsa o compasso e a régua para conhecer cordas e arcos, construir a mediatriz e a bissetriz e desenhar triângulos a partir dos lados.
- Ângulos e retas paralelosArrasta e roda duas retas paralelas e uma secante para ver que ângulos ficam sempre iguais, quais somam 180° e o que acontece quando as retas não são paralelas. Depois usa uma reta paralela para mostrar porque é que os ângulos de um triângulo somam 180°.
- Desigualdade triangular; medianas, alturas e bissetrizesConstrói um triângulo com três paus e descobre que três comprimentos formam um triângulo e quais não formam. Depois experimenta uma mediana, uma altura e uma mediatriz num triângulo que podes deformar e vê onde se cruzam as três medianas.
- Figuras iguais e triângulos iguaisDesliza, roda e reflete uma figura até a sobrepor a outra. Depois faz corresponder os vértices de dois triângulos, escolhe o critério de igualdade, escreve uma demonstração linha a linha e arrasta um contraexemplo que mostra que LLA não é um critério.
- teorema de Pitágoras e o seu recíprocoConstrói quadrados sobre os lados de um triângulo retângulo e compara as suas áreas, vê porque é que o teorema é verdadeiro com quatro cópias do triângulo, calcula um lado que falta, usa o recíproco para testar se há um ângulo reto e marca √2 na reta numérica com o compasso.
- Raciocínio e demonstração em geometriaArrasta um triângulo isósceles e vê que os ângulos da base ficam sempre iguais. Depois demonstra-o com justificações, usa-o numa nova demonstração e mostra que outra afirmação é falsa com um contraexemplo.
- O Teorema de Tales e a semelhança de triângulosDesloca uma reta paralela a um lado de um triângulo e vê que a razão em que ela divide os outros dois lados se mantém sempre igual. Depois, experimenta o recíproco, os triângulos semelhantes e a razão de semelhança.
- lugar geométricoDescobre todos os pontos que estão a uma distância dada de um ponto, de um segmento, de dois pontos ou dos dois lados de um ângulo e observa a figura que formam. Depois pinta, com o compasso, a região que cumpre duas condições ao mesmo tempo.
- Retas e circunferências, ângulos ao centro e inscritos, tangentesDesliza uma reta sobre uma circunferência e vê quando a corta, quando só lhe toca e quando fica de fora. Aproxima duas circunferências, roda uma tangente em volta de uma circunferência e vê que o ângulo inscrito é sempre metade do ângulo ao centro.
- Quadriláteros inscritos, circunferência inscrita e comprimentos numa circunferênciaConstrói a circunferência circunscrita e a circunferência inscrita de um triângulo e vê onde ficam os centros. Depois arrasta os vértices de um quadrilátero inscrito e testa duas cordas que se cruzam: que relação é sempre verdadeira?
- Vistas de sólidos e Pitágoras no espaçoRoda uma torre de cubos, reconhece as vistas de frente, de lado e de cima e desenha-as na quadrícula. Depois calcula a diagonal espacial de uma caixa, usando duas vezes o teorema de Pitágoras.
- Extra: teoremas do triângulo retânguloNum triângulo retângulo com um ângulo de 30°, o lado oposto a esse ângulo mede metade da hipotenusa; e a mediana relativa à hipotenusa também mede metade dela. Vê os dois resultados, demonstra um e usa-os.
- Axiomas, segmentos de reta e teoremasVê que por dois pontos passa uma única reta e que AB = AC + CB, encontra o ponto médio de um segmento de reta e distingue um teorema do seu recíproco.
- Extra: pavimentaçãosJunta cópias de um polígono regular à volta de um ponto e descobre quais encaixam sem espaços nem sobreposições, porque é que o pentágono regular deixa um espaço e como se pavimenta com dois tipos de polígonos.
- Extra: poliedros regulares e secçõesRoda os poliedros regulares, conta as suas faces, vértices e arestas e descobre que V − E + F = 2. Depois corta um cubo com uma faca e vê que figuras podem ser uma secção.
- O ângulo externo, lados e ângulos, triângulos retângulosVê que um ângulo externo é igual à soma de dois ângulos internos, que ao maior ângulo se opõe o maior lado, e usa os critérios de igualdade de triângulos retângulos.
- Cordas, lugares geométricos e as quatro fases de uma construçãoVê que o segmento que une o centro ao ponto médio de uma corda é perpendicular a ela, descobre a distância do centro a uma corda e conta as soluções de uma construção por lugares geométricos.
- Cónicas: cortar um coneCorta um cone com vários planos e vê de onde saem a circunferência, a elipse, a parábola e a hipérbole. Depois confirma que curva é pela razão entre a distância a um foco e a uma diretriz.
- Polígonos regulares e circunferência exinscrita de um triânguloEncontra o lado e o apótema de um polígono regular a partir do raio da circunferência circunscrita ou da inscrita e, depois, o raio da circunferência exinscrita de um triângulo.
- Retas e planos no espaçoUsa um paralelepípedo para descobrir como duas retas podem estar no espaço: paralelas, concorrentes ou enviesadas. Depois estuda uma reta e um plano, uma reta perpendicular a um plano e o ângulo entre duas retas enviesadas.
- Axiomas da geometria no espaço e secçõesFaz passar um plano por três pontos, descobre a reta em que dois planos se cortam, reconhece uma reta paralela a um plano e dá nome à secção de um cubo.
- Planos paralelos, projeção e perpendicularesVerifica se dois planos são paralelos, compara segmentos entre planos paralelos, calcula o comprimento de uma projeção paralela e a distância de um ponto a um plano.
- Simetrias de polígonos, ângulos internos e externosConta os eixos de simetria de polígonos regulares, descobre a amplitude do ângulo em cada vértice e percebe porque é que os ângulos externos somam sempre 360 graus.
- Teoremas da circunferência e teorema da bissetrizDemonstra que as duas tangentes tiradas de um ponto são iguais e aprende que a bissetriz de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto na razão dos outros dois lados.
- Perpendicular e paralela por um ponto, e construção a partir de dadosA partir de um ponto exterior a uma reta, constrói uma perpendicular e uma paralelo; depois constrói um losango e um triângulo isósceles com o compasso, analisando primeiro o problema.
- Construção de um ângulo e de triângulos com régua e compassoConstrói um ângulo igual a outro dado, um triângulo a partir de dois lados e do ângulo por eles formado, a partir de um lado e dos dois ângulos adjacentes, e um triângulo retângulo a partir de um cateto e da hipotenusa.
- Lugares geométricos em construções: um ponto, uma circunferência, um triânguloDescobre o ponto procurado como o cruzamento de dois lugares geométricos. Três problemas: um ponto numa reta a uma distância dada de outra reta, uma circunferência tangente a uma reta num ponto dado e um triângulo a partir de um lado e do raio da circunferência circunscrita.
- Demonstração por redução ao absurdoAprende a demonstrar teoremas por redução ao absurdo: supõe que a conclusão é falsa, chega a uma contradição e conclui.
- Ceva, Menelau, Ptolomeu e a reta de EulerLeituras opcionais de Geometria: quando três cevianas se cruzam num ponto, quando três pontos estão alinhados, o produto das diagonais de um quadrilátero inscrito e a reta de Euler.
- Semirretas, segmentos de reta e diagonaisDá nomes aos pontos com letras, a semirretas e a segmentos de reta, desenha um segmento de reta com um comprimento dado e conta as diagonais de um polígono resolvendo primeiro um problema mais simples.
- Simetria e dobragem de papelConta quadrados em figuras com eixo de simetria, desenha a imagem no espelho e prevê a forma depois de dobrar e recortar papel.
- Resolver problemas de geometria: hipótese, tese e planoSepara a hipótese da tese, faz um plano antes de escrever uma demonstração, descobre o caminho mais curto com uma perpendicular e o teorema de Pitágoras, e vê aplicações à circunferência.
- Razões e proporções: somar o denominador ao numeradorNuma figura com um segmento paralelo a um lado do triângulo, descobre que, numa proporção, podes somar o denominador ao numerador dos dois lados e a igualdade continua verdadeira.
- Ângulo numa semicircunferência, circunferência circunscrita e tangenteDemonstra que o ângulo inscrito numa semicircunferência é reto e o seu recíproco, descobre a circunferência circunscrita a um triângulo e constrói uma tangente com a circunferência de diâmetro [PM].
- Circunferência e círculoDistingue a circunferência do círculo, descobre o centro e os raios e marca os pontos que estão na circunferência.
- Hipótese, tese, recíproco e demonstraçãoSepara um teorema em hipótese e tese, forma o recíproco e refuta-o com um contraexemplo, demonstra o teorema de Pitágoras e usa o recíproco dele.
- Desenhos de sólidos em perspetiva cavaleiraEncurta as arestas de profundidade com a escala q, descobre desenhos errados e calcula medidas reais a partir da perspetiva.
- Homotetias no referencial cartesianoCalcula as imagens de pontos e de retas por uma homotetia com a regra dos vetores, descobre a razão k e determina o baricentro de um triângulo.
- Perpendicular e oblíqua, ângulo de reta e plano, ângulo diedroDescobre uma oblíqua a partir da perpendicular e da sua projeção, mede o ângulo entre uma reta e um plano e um ângulo diedro pelo seu ângulo retilíneo, e mostra que dois planos são perpendiculares.
- O paralelogramo, o retângulo, o losango e o quadradoConhece os elementos de um quadrilátero, as propriedades e os critérios do paralelogramo e as diagonais do retângulo e do losango.
- O trapézio, a base média, o quadrilátero circunscrito e a área do trapézioAprende as propriedades do trapézio isósceles, a base média, o critério de um quadrilátero com circunferência inscrita e a área do trapézio.
- Critérios LAL e LLL de semelhança de triângulosDescobre triângulos semelhantes por dois lados e o ângulo entre eles, ou por três lados, calcula um lado desconhecido e evita a armadilha de um ângulo que não está entre os lados.
- O segmento de reta, o seu comprimento e a retaCompara segmentos de reta pondo um sobre o outro, calcula o comprimento de AB a partir de duas partes, mede a distância entre pontos e descobre quantas retas passam por dois pontos.
- Polígonos, figuras iguais, área, are e hectareDá nome a um polígono pelos seus vértices, encontra uma figura igual sobrepondo-a a outra, aprende em que se distinguem as figuras iguais das figuras com a mesma área e converte a área de um campo em hectares. A fórmula S = a · b está no estudo da etapa anterior.
- O cilindro e o cone: bases e planificaçãoDescobre as bases de um cilindro e de um cone e calcula a área lateral de um cilindro a partir da sua planificação.
- Ponto, reta, linha curva, semirreta, segmento de reta, linha poligonalDescobre pontos, retas e linhas curvas numa imagem. Dá nome às partes de uma reta que os pontos formam e mede o comprimento de uma linha poligonal. Matéria do 1.º ano.
- Secantes e tangenteDe um ponto P fora de uma circunferência traçam-se duas secantes, ou uma secante e uma tangente. Os produtos dos segmentos coincidem: PA · PB = PC · PD e PT² = PA · PB.
- Retas paralelas que intersetam um plano e projeção paralelaCalcula comprimentos de segmentos de retas paralelas que intersetam um plano e razões de segmentos numa projeção paralela.
- Prolongar uma mediana e o teorema de VarignonProlonga uma mediana para obter um paralelogramo e demonstrar um limite para a mediana; une os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer e vê que figura aparece.
- Razões entre áreas de triângulosCompara áreas sem as calcular: triângulos com a mesma altura têm áreas na razão das bases, uma mediana divide um triângulo ao meio e um vértice que se move numa paralela mantém a área.
- Semelhança na prática: altura pela sombra, distância inacessívelUsa triângulos semelhantes para medir no terreno: a altura de uma árvore pela sombra, uma distância do outro lado de um rio e a razão das áreas de figuras semelhantes. Escreve as resoluções como Dados, Pede-se, Resolução, Resposta.
- Ângulos formados por cordas, secantes e uma tangenteUm ângulo cujo vértice não está na circunferência mede-se com arcos: entre duas cordas que se cruzam, metade da soma dos arcos; entre duas secantes, metade da diferença; entre uma tangente e uma corda, metade do arco.
- Duas circunferências e as suas tangentes comunsA posição relativa de duas circunferências depende da distância entre os centros d e dos raios R e r: move uma circunferência e vê quantos pontos comuns e quantas tangentes comuns há.
- Revisão de geometria no espaçoEscolhe o passo seguinte certo numa demonstração sobre retas enviesadas e resolve problemas sobre o ângulo entre retas, a projeção paralela e a perpendicular a um plano.
- Verifica por ti: poliedros, sólidos de revolução, volumesPerguntas de escolha múltipla com as opções A, B, C, D sobre a área lateral de um prisma, de um cilindro e de um cone, e sobre o volume de uma esfera.
- Poliedros: faces, arestas, vérticesDescobre as bases, as faces laterais e as arestas de uma pirâmide, de um prisma e de um paralelepípedo, e conta as suas faces e arestas.
- Área da projeção ortogonal de um polígonoUsa o teorema da área de uma projeção, S′ = S · cos α, para calcular a área de uma projeção ou do próprio polígono.
- Onde uma reta corta um plano, onde dois planos se cortamConstrói o ponto em que uma reta corta o plano da base de um cubo e a reta em que dois planos de um tetraedro se cortam, usando os axiomas da geometria no espaço.
- Um ponto equidistante dos vértices ou dos lados de um polígonoSe M está à mesma distância dos vértices de um triângulo, a sua projeção é o circuncentro; se está à mesma distância dos lados, é o incentro. Calcula a distância de M ao plano.
- Ângulo, ângulo reto, retângulo e quadradoDá nome a um ângulo com letras, encontra um ângulo reto com o modelo, distingue um retângulo de outros quadriláteros e um quadrado de outros retângulos.
- Polígonos regulares: ângulo, número de lados, construçãoDescobre o número de lados de um polígono regular a partir do seu ângulo, vê se ele existe e constrói um hexágono com cordas iguais ao raio e um polígono de 2n lados.
- Simetria e ampliação no espaçoDescobre a imagem de um ponto por reflexão num plano, vê como cresce um volume numa homotetia e encontra todos os planos de simetria de um cubo e de uma esfera.
- Poliedros, planificações e caminhos mais curtosDecide que poliedros são convexos, usa a fórmula de Euler, planifica um prisma e descobre o caminho mais curto de uma aranha sobre um tijolo.
- Sólidos inscritos e circunscritosDescobre o raio de uma esfera inscrita num cubo ou num cone e de uma esfera à volta de um paralelepípedo, e o volume de um cilindro à volta de um prisma.
- Desenhar no papel quadriculadoDesenha no caderno quadriculado: um segmento com um comprimento dado, um quadrado, um retângulo e uma figura com um perímetro dado.
- O esquadro e figuras de retângulosTraça um ângulo reto e uma perpendicular com o esquadro e calcula a área de uma figura formada por retângulos.
- Construções de cubos: plantas e vistasLê a planta de uma construção com alturas, desenha as vistas de frente e de cima e descobre quantos cubos pode ter, no máximo, uma construção.
- Papel quadriculado: construir, percursos e área por contagem de quadrículasConstrói um retângulo numa quadrícula, mede o comprimento de um percurso, acha a área de uma figura contando quadrículas e estima uma figura redonda com uma quadrícula transparente.
- Esquadro, régua e transferidorTraça uma perpendicular e uma paralela com o esquadro, mede e desenha ângulos com o transferidor e traça a altura de um triângulo.
- Pavimentações e frisosConta as figuras à volta de um ponto numa pavimentação, continua um friso por translação e por reflexão e descobre os eixos de simetria.
- Transformações seguidasAplica duas transformações, uma a seguir à outra, descobre a curva onde se movem as imagens de um ponto e vê o efeito da ordem.
Posição e direção
6
- Posição, direção e voltasDescobre a esquerda e a direita, em cima, em baixo e entre. Depois, roda uma seta um quarto de volta, meia volta e três quartos de volta.
- coordenadas e translaçãoMarca pontos a partir das suas coordenadas, encontra o vértice que falta numa figura e desloca figuras numa quadrícula por translação.
- Reflexão axial, rotação e centro de simetriaMarca pontos nos quatro quadrantes do plano, constrói a imagem de uma figura por uma reflexão, roda uma figura em torno de um ponto e procura as figuras que têm um centro de simetria.
- Transformações e ampliaçãoDescobre que transformações conservam comprimentos, ângulos e sentido, amplia uma figura a partir de um centro com fator de escala 2 e 12, encontra o centro de uma ampliação e vê o que acontece à área.
- Reflexão e rotaçãoReflete uma figura numa reta vertical, numa reta oblíqua e no eixo Ox, completa uma figura a partir da sua metade, roda figuras em torno de pontos diferentes e determina as coordenadas de uma imagem.
- Composição de isometrias, simetria e o truque da reflexãoDescobre duas reflexões seguidas, a reflexão deslizante, os eixos de simetria de um polígono e o caminho mais curto obtido com uma reflexão.
Padrões e sequências
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- Padrões repetitivos e padrões numéricosFiguras e números que seguem uma regra. Descobre o padrão, continua-o e corrige-o.
- Máquinas de entrada e saída e regras de sequênciasUm número entra numa máquina e sai outro. Descobre o que a máquina faz e depois procura a regra de uma sequência de números.
- O termo geral e as progressões geométricasConstrói uma tabela a partir de uma sequência de fósforos, descobre o termo geral e usa-o para contar a figura 20 sem a desenhar. Depois conhece as sequências em que se multiplica de cada vez.
- Sucessões, termo geral e recorrênciaUsa a notação uₙ para encontrar termos, constrói uma sucessão por recorrência, reconhece uma sucessão periódica e conta números triangulares.
- Somatório e soma de sériesLê o símbolo Σ, calcula somas de progressões aritméticas e geométricas e percebe porque é que uma soma infinita pode ser um número.
- Somas especiais, diferenças e modelaçãoConstrói a soma dos quadrados, soma uma série pelo método das diferenças, descobre o termo geral de uma sucessão quadrática e resolve um problema real com uma progressão aritmética.
- Gráfico de uma sucessão, monotonia e limitaçãoRepresenta uma sucessão por pontos (n, a_n): uma progressão aritmética fica sobre uma reta, uma progressão geométrica sobre uma curva. Depois decide se uma sucessão é sempre crescente e se fica abaixo de um limite.
- Regularidades numéricas: somas com regra, capicuas e pirâmides de númerosContinua somas com regra, descobre a regra, constrói capicuas e calcula o número que falta numa pirâmide de números.
Álgebra
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- Prioridade das operações, letras e fórmulasCalcula expressões numéricas passo a passo, pela ordem certa. Depois deixa uma letra representar um número e usa fórmulas.
- Expressões, termos semelhantes e valor numéricoConstrói expressões com peças de álgebra, reduz os termos semelhantes, tira os pares de zero e depois substitui x por um número.
- Resolver equações do 1.º grau com a balançaUma equação é uma balança. Experimenta valores e resolve depois equações com x só de um lado ou dos dois lados, com frações e com parênteses, fazendo o mesmo nos dois pratos.
- Formar e resolver equaçãos a partir de problemasUma letra representa o valor desconhecido, a história passa a ser uma equação, resolve-se e, no fim, confere-se a resposta no problema.
- Eliminar parênteses e pôr em evidênciaVê um parêntesis como um retângulo: desenvolve pintando a sua área com peças e depois faz o caminho inverso, descobrindo os lados de um retângulo para decompor em fatores.
- Multiplicação de binómios e identidadesMultiplica dois parênteses como um retângulo de peças e numa tabela, vê porque é que (a + b)² tem duas faixas ab e distingue uma identidade de uma equação.
- Inequações, intervalos e como resolvê-lasMostra na reta numérica as soluções de uma inequação: círculo cheio ou vazio, segmento ou seta. Depois, resolve inequações e vê porque é que multiplicar por um número negativo inverte o sentido da desigualdade.
- Expressões algébricas: forma reduzida, subtrair, multiplicarEscreve uma expressão algébrica pela ordem habitual, subtrai com parêntesis, multiplica três termos por dois numa tabela e eleva um produto a uma potência.
- Sistemas de equações linearesEncontra o ponto que verifica duas equações ao mesmo tempo: lê-o onde as retas se cruzam, traça a segunda reta, elimina uma incógnita, conhece as retas paralelas e obtém um valor exato onde o gráfico só dá uma estimativa.
- Fatorizar expressões do 2.º grau e outras identidadesArruma as peças de uma expressão do 2.º grau num retângulo para encontrar os seus dois parênteses, reconhece os pares de zeros quando há negativos, põe primeiro o fator comum em evidência e descobre a identidade da soma de dois cubos.
- Equações com duas incógnitas e sistemasEncontra os pares que verificam uma equação com duas incógnitas, traça o seu gráfico, escreve um sistema a partir de uma história e descobre a sua solução.
- Frações algébricasDecompõe em fatores o numerador e o denominador de uma fração algébrica e simplifica os fatores iguais. Descobre os valores que x não pode tomar e depois soma, subtrai e divide frações algébricas com o mesmo denominador.
- Agrupamento e cubos: fatorizaçãoFatoriza um polinómio de quatro termos por agrupamento, fatoriza somas e diferenças de cubos e escolhe por onde começar quando servem vários métodos.
- Equações do 2.º grau: fatorizar, completar o quadrado, discriminanteResolve equações do 2.º grau fatorizando, completa o quadrado com peças como al-Khwarizmi e usa o discriminante para saber quantas soluções há.
- Polinómios e divisão de polinómiosExtensão: o grau e a ordem de um polinómio e depois a divisão de polinómios, preenchendo ao contrário uma tabela de multiplicação, com resto e com potências em falta.
- Regra de Ruffini e raízes inteirasDivide um polinómio por x − a com a tabela da regra de Ruffini (esquema de Horner), encontra o resto e as raízes inteiras entre os divisores do termo independente.
- Tabelas de sinais e inequações com fraçõesDescobre onde uma expressão é positiva e onde é negativa: marca os zeros, preenche uma tabela de sinais por baixo da reta numérica e lê a solução de uma inequação como x − 1x + 2 ≥ 0.
- Inequações com duas variáveis e regiões do planoTraça a reta fronteira, escolhe traço contínuo ou tracejado, testa um ponto e pinta a região; depois encontra a região que verifica duas ou três inequações ao mesmo tempo.
- Desigualdades numéricas e as suas propriedadesCompara números pelo sinal da diferença a − b, demonstra desigualdades, soma desigualdades membro a membro e estima o valor de uma expressão.
- Sistemas de inequações do 1.º grau com uma incógnitaResolve cada inequação de um sistema, representa as soluções na reta e descobre a parte comum: um intervalo, um único número ou o conjunto vazio.
- Sistemas de equações com duas incógnitasEncontra as soluções de um sistema com uma equação do 2.º grau como pontos comuns dos gráficos, resolve-o por substituição e escreve um sistema a partir de um problema.
- Sistemas de equações: o método de substituiçãoSubstitui uma incógnita pela sua expressão na outra equação, mantém os parêntesis, isola primeiro uma incógnita e verifica a resposta no gráfico e nas duas equações.
- Equações racionais e equações com radicaisResolve equações com frações e equações com raízes quadradas e elimina as soluções estranhas fazendo a verificação.
- Soma e produto das soluções, equações escondidas e reta com parábolaLê a soma e o produto das soluções a partir dos coeficientes, resolve uma equação em x elevado a quatro por mudança de variável e descobre onde uma reta corta uma parábola.
- Teorema do resto, teorema do fator e raízes de polinómiosCalcula um resto sem dividir, descobre um fator com o teorema do fator, encontra as raízes de um polinómio do 3.º grau e lê coeficientes a partir das raízes.
- Inequações do segundo grau e parâmetrosResolve inequações do segundo grau com o sinal dos fatores e vê como uma letra numa equação transforma «quantas soluções?» numa inequação.
- Resolver uma fórmula em ordem a uma letraDeixa uma letra sozinha numa fórmula: usa as mesmas jogadas da balança, mas com letras.
- O binómio para qualquer expoente: aproximaçõesUsa os primeiros termos do desenvolvimento do binómio para estimar raízes e inversos de números próximos de 1.
- Parábola que passa por três pontosEscreve e resolve um sistema de três equações lineares em a, b e c e confirma a parábola no gráfico.
- Equações: a regra do termo desconhecidoEscreve uma equação a partir de um problema, resolve-a com a regra do termo desconhecido e verifica por substituição. Tema do 1.º ciclo (3.º e 4.º anos): equações com um termo desconhecido.
- Operações com frações algébricas: subtração, denominadores simétricos, potências, identidadesSubtrai frações algébricas trocando os sinais, encontra fatores de ampliação, trata denominadores simétricos, eleva uma fração a uma potência e demonstra igualdades.
- Equações equivalentes, equações racionais e problemasAprende o que são equações equivalentes e solução estranha, resolve uma equação racional com verificação e escreve equações para problemas de movimento e de trabalho.
- Equações do 2.º grau incompletas e trinómio do 2.º grauResolve os três tipos de equação do 2.º grau incompleta, descobre os zeros de um trinómio do 2.º grau e decompõe-no em fatores com o coeficiente de x².
- Fórmulas, equações e solução de uma equaçãoUsa a fórmula da distância, descobre o termo desconhecido de uma operação, verifica uma solução por substituição, passa termos para o outro membro e vê quando ax = b não tem solução.
- Sistemas de equações como modelos de problemasTraduz problemas de movimento, trabalho, algarismos e retângulos em equações: dá nomes x e y às incógnitas, escreve o sistema, resolve-o e confere se a resposta serve para a história.
- Expressões com uma variávelUma letra no lugar do quadradinho dá uma expressão com variável. Substitui a letra pelo seu valor e calcula o valor da expressão. É uma extensão do programa do 1.º ciclo.
- Inequações com uma variável: como um termo afeta o resultadoResolve inequações com uma variável de dois modos: por tentativa e reduzindo a uma equação. Escreve a resposta com reticências. 3.º e 4.º anos do 1.º ciclo.
- Inequações: o quadro de sinaisMarca os zeros na reta numérica, escreve um sinal em cada intervalo e lê a solução de uma inequação como (x + 1)x − 4x − 2 ≤ 0.
- Equações com parâmetroUm parâmetro é um número que não é dado, mas está fixado. Olha para o gráfico e separa em casos: para que valores de a há soluções e quantas?
- Multiplicar e dividir frações algébricasMultiplica e divide frações algébricas: decompõe em fatores, simplifica, transforma a divisão numa multiplicação pelo inverso e diz que valores da letra não são permitidos.
- Parte inteira de uma fração e equações em números inteirosSepara a parte inteira de uma fração algébrica, descobre últimos algarismos e restos de potências pelo seu ciclo e resolve equações em números inteiros.
- Equação do 2.º grau com parâmetroDesliza o cursor a e vê a parábola subir e descer: o número de soluções depende do discriminante e os sinais das soluções dependem da soma e do produto.
- Inequações irracionais e sistemas equivalentesResolve inequações com raiz quadrada transformando-as num sistema equivalente, atendendo ao domínio e ao sinal do segundo membro.
- Sistemas e conjuntos de inequações; sistemas exponenciais e logarítmicosDistingue «e» (um sistema, a parte comum) de «ou» (um conjunto, a união), resolve sistemas mistos e sistemas de equações exponenciais e logarítmicas.
- Problemas de palavras: misturas, ligas e percentagensFaz uma tabela «antes e depois» para uma solução, uma liga e um preço, escolhe x de modo que a condição se cumpra e confirma que a resposta faz sentido no problema.
- Estrutura das expressões e prioridade das operaçõesDiz qual é a última operação de uma expressão, efetua os passos pela ordem certa e põe parênteses para mudar o resultado.
- Equações com um espaço em branco e operações inversasEscreve uma história como uma igualdade com um quadrado, descobre o número com a operação inversa, resolve adivinhas ao contrário e faz a prova real.
Geometria analítica
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- Declive, ordenada na origem e y = ax + bMede a inclinação de uma reta com um triângulo, regula a e b em cursores, desenha uma reta a partir de uma tabela de valores e encontra a equação da reta que passa por dois pontos.
- Retas paralelas e perpendiculares, distância e ponto médioDesenha retas paralelas e perpendiculares, calcula a distância entre dois pontos com o teorema de Pitágoras e o ponto médio como média das extremidades.
- Dividir um segmento numa razão e distância de um ponto a uma retaDescobre o ponto que divide um segmento numa razão dada e a distância de um ponto a uma reta com a fórmula.
- Área de um triângulo a partir das coordenadas e problemas de geometriaCalcula a área de um triângulo a partir das coordenadas dos seus três vértices e usa as coordenadas para resolver problemas de geometria.
- A circunferência: equação, reta e circunferência, tangenteConstrói e lê a equação de uma circunferência, descobre os pontos comuns a uma reta e a uma circunferência e trabalha com a tangente e o seu comprimento.
- Cónicas e a parábolaReconhece a parábola como o conjunto dos pontos que estão à mesma distância de um foco e de uma diretriz e lê a sua equação com o vértice na origem e num ponto qualquer.
- A elipse, a hipérbole e uma reta em relação a elasDescobre os focos de uma elipse e de uma hipérbole a partir da equação, constrói uma elipse com o centro em qualquer ponto, traça a assíntota de uma hipérbole e testa uma reta em relação a uma parábola.
- Equações paramétricas e coordenadas polaresTraça uma curva ponto a ponto a partir de equações paramétricas, elimina o parâmetro, modela um movimento e converte coordenadas polares em cartesianas.
- Declive de uma reta e vetores colinearesDescobre o declive m a partir da inclinação de uma reta (m = tg α, também com α obtuso), as retas perpendiculares e um vetor colinear com outro dado.
- Uma reta e os eixos: triângulo, perímetro e áreaDescobre onde uma reta ax + by = c encontra os eixos, o perímetro e a área do triângulo que ela determina com eles e onde duas retas se encontram.
- Área com um determinanteCalcula a área de paralelogramos e de triângulos a partir de vetores e de coordenadas, com o determinante de duas linhas.
- Coordenadas de um ponto no espaçoDecide onde está um ponto e calcula, a partir das coordenadas, a distância entre dois pontos, o ponto médio de um segmento e o ponto simétrico.
Funções e gráficos
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- relação, par ordenado e funçãoRepresenta uma relação num diagrama de setas, marca os pares ordenados, decide que relações são funções e experimenta o teste da reta vertical num gráfico.
- Gráficos da vida real, velocidade e crescimentoLê um gráfico distância-tempo para descobrir paragens e velocidades, esboça o gráfico de um passeio, associa uma garrafa a encher ao seu gráfico e compara o crescimento por duplicação com o crescimento regular.
- Gráficos de funções quadráticasPreenche uma tabela para y = x2 − 2x − 3 com valores negativos de x e marca os pontos, vê porque é que o fundo de uma parábola é arredondado, lê no gráfico os zeros, a ordenada na origem e o vértice e descobre o que faz o a em y = ax2.
- Notação f(x), domínio e contradomínioCalcula valores de f(x) com uma regra, descobre o número de partida que dá um resultado, escreve o domínio de uma fração e de uma raiz quadrada e lê o contradomínio num gráfico.
- Funções módulo e parte inteiraVê o módulo numa tabela e num gráfico, resolve uma equação com módulo como dois cruzamentos com uma reta, lê os degraus da função parte inteira e traça uma tarifa de táxi que sobe por degraus.
- Funções crescentes, decrescentes, pares e ímparesEncontra os intervalos em que um gráfico sobe ou desce, reflete pontos no eixo dos yy e na origem e usa f(-x) para testar se uma função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
- Soma, composta e inversa de funçõesSoma duas funções, respeita a ordem numa função composta, encontra a inversa de um programa de cálculo desfazendo os seus passos, constrói o gráfico da inversa por simetria em relação à reta y = x e usa uma reta horizontal para ver que funções têm inversa.
- Translação, reflexão e dilatação de gráficosMove com cursores o gráfico de y = (x − h)² + k, lê o vértice de uma parábola, vê para onde f(2x) leva um ponto e combina várias transformações numa parábola.
- Gráficos de funções cúbicas, esboço de polinómios e assíntotasPreenche e representa uma tabela de valores de uma função cúbica, esboça o gráfico de um polinómio a partir dos zeros e da ordenada na origem e traça as assíntotas vertical e horizontal de uma função racional.
- A função afim: fórmula, tabela e gráficoDefine uma função por uma fórmula, uma tabela e um gráfico, traça uma reta a partir de a e de b, descobre o zero de uma função e os valores de x em que ela é positiva.
- A função quadrática e as propriedades das funçõesDescobre o vértice de uma parábola com a fórmula e lê o contradomínio de uma função quadrática a partir do gráfico.
- O número e, crescimento e decrescimentoVê porque é que (1 + 1n)n se aproxima de e, ajusta o gráfico de y = a×ex a uma curva dada e constrói modelos de crescimento e de decrescimento.
- Funções exponenciais de qualquer base e equações exponenciaisPreenche uma tabela de 2^x, vê que uma base maior do que 1 dá uma curva que sobe e uma base entre 0 e 1 dá uma curva que desce, e resolve uma equação exponencial escrevendo os dois membros com a mesma base.
- LogaritmosPercebe que um logaritmo é o expoente a que se eleva a base e constrói o gráfico do logaritmo como simétrico do gráfico da exponencial.
- Propriedades dos logaritmos e equaçõesDescobre as propriedades do logaritmo de um produto e de uma potência, resolve uma equação logarítmica e endireita dados com logaritmos.
- Funções definidas por ramos, função sinal e propriedades do móduloLê uma função definida por ramos, representa a função sinal, constrói y = |x − 1| + 2 deslocando o V e lê inequações com módulo num gráfico.
- Máximos e mínimos, funções potênciaDescobre o maior e o menor valor de uma função num conjunto, compara os gráficos de y = xⁿ para n par e ímpar e conhece o gráfico de y = x⁻ⁿ.
- Hipérboles deslocadasDesloca a hipérbole com b e c, lê as assíntotas, o domínio e o contradomínio, e calcula a ordenada na origem.
- Famílias de retas e de parábolasMove o parâmetro de uma família, descobre a curva que contém os vértices e resolve o problema da tangente com o discriminante.
- Equações e inequações exponenciais: métodosPõe uma potência comum em evidência, usa a mudança de variável t = 2ˣ, lê uma raiz num gráfico e decide quando uma inequação mantém o sentido.
- As funções y = k/x e y = √x e os seus gráficosDesenha uma hipérbole a partir de uma tabela, descobre em que quadrantes estão os seus ramos, determina k a partir de um ponto e desenha y = √x.
- Identidade logarítmica, mudança de base, função logarítmicaUsa a identidade fundamental do logaritmo, muda de base e compara logaritmos de base entre 0 e 1.
- Equações e inequações logarítmicasResolve equações com uma soma de logaritmos, verifica as raízes no domínio, faz a substituição t = log x, descobre uma base desconhecida e resolve inequações com base entre 0 e 1.
- A função y = x² e o seu gráficoFaz uma tabela de valores de y = x², marca os pontos, aprende as propriedades do gráfico e resolve x² = 4 e x² = x + 2 a partir do gráfico.
- Ler as propriedades de uma função no seu gráficoA partir do gráfico de uma função definida em [−4 , 7], encontra os seus zeros, os intervalos em que mantém o mesmo sinal, um intervalo em que é crescente e o seu máximo.
- Gráficos de y = ⁿ√x e potências de expoente racionalCompara os gráficos de ³√x, ⁴√x e √x, descobre o domínio de uma raiz de índice n e de uma potência de expoente racional, e compara números usando o sentido de variação.
- Crescimento e decaimento: B(t) = B₀ · q^tDistingue tabelas lineares, quadráticas e exponenciais, determina o tempo de duplicação e o tempo de meia-vida com o logaritmo e reconhece os limites de um modelo exponencial.
- Funções polinomiais: extremos, zeros e expressõesLê o comportamento nos extremos a partir do grau e do coeficiente do termo de maior grau, distingue zeros simples de zeros duplos, resolve uma equação biquadrada e determina uma expressão a partir de um gráfico.
- Problemas de máximo sem derivadasEscreve a função objetivo para um retângulo vedado, um retângulo num triângulo e uma caixa, e lê o valor máximo no vértice ou numa tabela. Indica o domínio da variável.
- Famílias de funções e os seus parâmetrosDesloca funções potência e exponenciais com cursores, lê o domínio, o contradomínio e a assíntota, descobre a função inversa como uma reflexão e associa um gráfico à sua expressão.
- Funções racionaisDistingue um polo de um buraco removível, lê limites, encontra assíntotas e constrói uma expressão a partir de propriedades.
- A expressão de uma função a partir de condiçõesTraduz propriedades em equações para f, f′ e f″, descobre parâmetros e o lugar geométrico dos extremos de uma família de funções.
Vetores
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- Segmentos orientados, vetores e vetores de translaçãoDesenha vetores da origem à extremidade e lê as suas coordenadas, encontra vetores iguais e simétricos e faz uma translação de uma figura segundo um vetor.
- Soma de vetores, produto por um escalar e vetor unitárioSoma vetores pela regra da extremidade e pela regra do paralelogramo, subtrai um vetor a outro, estica e inverte um vetor com um número e escreve qualquer vetor com i e j.
- Para ir mais longe: vetores em movimentoSoma os deslocamentos de um robô num só, manda-o de volta ao ponto de partida com o vetor simétrico e vê como a corrente de um rio muda a trajetória de uma nadadora.
- Vetores no espaço: norma, distância e ponto médioUm vetor do espaço é a diagonal de um paralelepípedo retângulo. Descobre a norma de um vetor, a distância entre dois pontos e o ponto médio de um segmento a partir das coordenadas.
- O produto escalar de dois vetoresO produto escalar de dois vetores é um número que informa sobre o ângulo entre eles. Calcula-o, usa-o para saber quando dois vetores são perpendiculares e para medir o ângulo entre dois vetores.
- Área e volume com o produto vetorialA norma do produto vetorial de dois vetores é a área do paralelogramo que eles definem. Com três vetores, um determinante dá o volume do paralelepípedo.
- Equações de uma reta e de um plano no espaçoUma reta no espaço fica definida por um ponto e um vetor diretor, e um plano por um ponto e um vetor normal. Escreve as suas equações e confere pontos nelas.
- Ângulos, interseções e distâncias no espaçoEncontra o ângulo entre uma reta e um plano, o ponto onde uma reta corta um plano, a distância de um ponto a um plano e o ângulo entre dois planos, com produtos escalares e equações.
- Vetores em demonstrações e problemasCalcula o ponto de equilíbrio de pontos com pesos, faz uma demonstração geométrica com vetores (o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo) e resolve problemas de velocidade e de paralelogramos desenhando vetores.
- Vetores no plano: coordenadas, norma, produto escalarDescobre as coordenadas e a norma de um vetor, o produto escalar por coordenadas e pelo ângulo, a condição de perpendicularidade e o ângulo entre dois vetores.
- O produto escalar de vetores: comprimentos, ângulo, coordenadasCalcula o produto escalar a partir dos comprimentos e do ângulo, eleva ao quadrado uma soma de vetores, descobre o cosseno do ângulo entre vetores e o ângulo de um triângulo a partir dos seus vértices.
- Vetores no espaço: soma, multiplicação por um número, colineares e complanaresSoma vetores pela regra do paralelepípedo e com coordenadas, multiplica um vetor por um número e descobre quando três vetores estão no mesmo plano.
- Vetores num prisma e num cubo: iguais, soma, colinearesDistingue vetores iguais, com o mesmo sentido e com sentidos opostos num prisma, soma vetores pela regra do triângulo, exprime um vetor através de outros e descobre vetores colineares pelas coordenadas.
- Escrever um vetor através de dois vetoresQualquer vetor do plano pode ser construído a partir de dois vetores que não estão na mesma reta: p = xa + yb. Desenha as partes na quadrícula, encontra os coeficientes, escreve AM num paralelogramo e calcula o comprimento de uma projeção.
- Posição relativa de retas e planos no espaçoTeste de pertença de um ponto a uma reta, vetor normal, posição relativa de duas retas e interseção de uma reta com um plano.
- Distâncias no espaçoDistância de um ponto a um plano, pé da perpendicular, planos paralelos e retas enviesadas.
Trigonometria
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- Razões trigonométricas no triângulo retânguloAumenta e diminui um triângulo retângulo com um ângulo de 35° e vê que os lados mudam, mas a razão entre eles não. Depois nomeia o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa para cada ângulo, e descobre um lado e um ângulo com uma tabela de valores, sem calculadora.
- Valores exatos para 30°, 45° e 60°Divide ao meio um triângulo equilátero e um quadrado para descobrir os valores exatos do seno, do cosseno e da tangente de 30°, 45° e 60°, liga a tangente ao declive de uma reta e resolve uma equação como sen x = 12.
- Ângulos de qualquer amplitude, círculo trigonométrico e radianosRoda um ponto no círculo trigonométrico por ângulos maiores do que 90°, incluindo negativos, lê o seno e o cosseno pela posição do ponto, mede o ângulo em radianos e descobre valores exatos como sen7π6.
- Ângulos relacionados, arcos e setoresFaz o reflexo de um ponto do círculo trigonométrico para veres como o seno e o cosseno de θ e de 180° − θ se relacionam, usa o ângulo de referência para achar cos 120° e calcula o comprimento de um arco e a área de um setor circular com o ângulo em radianos.
- Gráficos do seno e do cosseno, período e amplitudeLê os gráficos do seno e do cosseno: onde o cosseno é zero, como mudam o período e o valor máximo em y = sen 2x e em y = 2senx + 1, e como se leem a secante e o arco seno nas mesmas curvas.
- Identidades trigonométricas e demonstraçãoUsa sen2θ + cos2θ = 1 e tgθ = senθcosθ para calcular uma razão trigonométrica a partir de outra, descobre a linha errada de uma «demonstração» e aprende o que é demonstrar uma identidade.
- Ângulos soma, dobro e triploUsa as fórmulas da soma com valores exatos para calcular sen 75° e trabalha com o ângulo duplo.
- Equações trigonométricas: do 2.º grau e sistemasResolve equações trigonométricas achando todos os ângulos de 0° a 360°: tg x = −1, equações do 2.º grau em sen x ou cos x (uma precisa primeiro de uma fórmula fundamental) e um sistema de duas equações em x e y.
- Lei dos senos, lei dos cossenos e geometria no espaçoResolve triângulos desenhados à escala com a lei dos senos e a lei dos cossenos e usa triângulos retângulos para calcular um ângulo num paralelepípedo.
- Área do triângulo: seno, Heron e as circunferênciasCalcula a área de um triângulo a partir de dois lados e do ângulo compreendido entre eles, ou a partir dos três lados com a fórmula de Heron. Depois usa a área para achar os raios das circunferências inscrita e circunscrita.
- Tangente: gráfico, domínio e períodoLê y = tg x: o seu sinal em cada quadrante, onde não está definida, o seu período e as soluções de tg x = 1.
- Paridade e fórmulas de reduçãoDescobre que o seno, a tangente e a cotangente são ímpares e que o cosseno é par; depois usa a regra da redução ao primeiro quadrante: quando a função muda de nome e que sinal tem.
- Propriedades das funções trigonométricasLê nos gráficos as propriedades do seno, do cosseno e da cotangente: período, paridade, zeros, intervalos de monotonia, domínio e contradomínio.
- Soluções gerais de equações trigonométricasA reta y = b corta o gráfico do seno, do cosseno ou da tangente em infinitos pontos. Escreve todas as soluções numa fórmula com k ∈ ℤ e, numa equação que se reduz a uma equação do 2.º grau, rejeita a raiz que não pode existir.
- Seno, cosseno e tangente de um ângulo de 0° a 180°Define o seno e o cosseno pelas coordenadas de um ponto da semicircunferência de raio 1, descobre os valores para ângulos obtusos e usa sen²α + cos²α = 1.
- Resolução de triângulosResolve um triângulo em quatro casos: um lado e dois ângulos, dois lados e o ângulo entre eles, três lados, e dois lados com um ângulo oposto a um deles. Os triângulos retângulos estão no estúdio próprio.
- Consequências da lei dos cossenosO tipo de um triângulo a partir do lado maior (acutângulo, retângulo ou obtusângulo), a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo e um problema sobre os lados AB e BC.
- Cotangente, fórmula fundamental e resolução de triângulos retângulosConhece a cotangente e a fórmula fundamental da trigonometria, resolve triângulos retângulos a partir da hipotenusa e de um ângulo ou a partir dos dois catetos e resolve problemas práticos.
- Inequações trigonométricas e escolha de raízesUsa o gráfico para ver onde um seno ou um cosseno está acima ou abaixo de um número, e escolhe as raízes de uma equação num dado intervalo.
- f(x) = a · sin(b · (x + c)) + dAltera a amplitude, a reta central, o período e a translação da sinusoide, lê corretamente a translação dentro do parêntese e usa o modelo para uma maré.
Estatística
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- Recolher dados, contar com riscos, ler um pictogramaPergunta à turma, conta com riscos e constrói um pictograma.
- Gráficos de barras e gráficos de linhasConstrói gráficos de barras e gráficos de linhas a partir de uma tabela, lê-os e escolhe o gráfico adequado a cada pergunta.
- Contagem por riscos, cálculos com riscos e pictogramas de dezSepara e conta com riscos, soma e tira com riscos e desenha um pictograma em que uma figura vale 10.
- Gráficos circulares e médiaPinta e lê gráficos circulares, nivela barras para encontrar a média e distingue dados numéricos de dados em palavras.
- Moda, mediana, média e amplitudeOrdena cartões de dados para encontrar a mediana, lê a moda e a amplitude num diagrama de pontos, vê a média mudar quando um valor muda e escolhe a melhor medida.
- Valores atípicos e comparação de dois conjuntos de dadosCompara os saltos em comprimento de duas turmas com uma medida de localização e a amplitude, arrasta um valor para longe e vê como reagem a média, a mediana e a amplitude, e decide se um valor atípico é um erro ou é real.
- Dados agrupados em classes, histogramas e polígono de frequênciassAgrupa alturas em classes com a mesma amplitude, constrói uma tabela de frequências absolutas e relativas, desenha um histograma de barras juntas e une os pontos médios das classes num polígono de frequências.
- Média de dados agrupados e frequência acumuladaEstima a média de dados agrupados com uma coluna «ponto médio × frequência», combina corretamente as médias de duas turmas, constrói a coluna e o gráfico das frequências acumuladas e lê a mediana no gráfico.
- Dados bivariados e nuvem de pontossMarca pares de dados, indica o tipo de dados, descreve a correlação, arrasta uma reta de ajustamento, faz previsões com ela e distingue correlação de causa e efeito.
- população, amostra e recolha de dadosRecolhe amostras aleatórias de 10 e de 50 alunos numa escola de 600 alunos e compara-as com a escola toda. Descobre uma amostra enviesada e escolhe o melhor modo de recolher dados para cada pergunta.
- Extra: desvio médioVê a distância de cada ponto à média, calcula a média dessas distâncias, descobre porque é que as diferenças com sinal dão sempre zero e compara dois conjuntos de dados pela sua dispersão.
- Quartis e diagrama de extremos e quartisDivide dados ordenados em quatro partes iguais, descobre Q₁ e Q₃, marca os cinco números de um diagrama de extremos e quartis e mede a metade central dos dados com a amplitude interquartil.
- Variância, desvio padrão e coeficiente de variaçãoMede a dispersão com os quadrados das distâncias à média: variância, desvio padrão e coeficiente de variação, para comparar dispersões em unidades diferentes.
- A forma dos dados e a curva normalLê a forma de um histograma (simétrico ou assimétrico), vê como a assimetria afasta a média da mediana e usa a regra 68–95–99,7 para dados em forma de sino.
- Correlação e reta de regressãoLê a força de uma correlação a partir de r, calcula o ponto médio, desenha a reta de regressão com o seu declive e a sua ordenada na origem e faz previsões dentro dos dados.
- Diagramas de caule-e-folhas e séries cronológicasEscreve dados num diagrama de caule-e-folhas e lê-o; depois traça uma série cronológica em forma de gráfico de linhas e alisa-a com uma média móvel.
- Classes de amplitudes diferentes e dados com duas variáveisDesenha um histograma com classes de amplitudes diferentes usando a densidade de frequência, lê a frequência a partir de uma barra e lê duas variáveis das mesmas pessoas num só gráfico.
- Limiar de pobreza, índice de preços e inflaçãoDescobre um limiar de pobreza a partir da mediana dos rendimentos, calcula um índice de preços e vê o que a inflação faz.
- Tendência, interpolação e extrapolaçãoLê o padrão e a tendência de uma série cronológica, estima um valor entre valores registados (interpolação) e para além deles (extrapolação).
- Recolha de dados, escala e gráficos de linhasFaz a contagem por riscos das respostas de um inquérito, escolhe uma boa escala para o eixo de um gráfico e lê um gráfico de linhas com a temperatura de 12 meses.
- Percentagens em estatística e em probabilidadesEscreve o resultado de um inquérito em percentagem, calcula a percentagem a partir da amplitude de um setor, desenha um gráfico circular em percentagem e escreve uma probabilidade em percentagem.
- Tipos de variável, recolha de dados e estimaçãoDistingue variáveis qualitativas de quantitativas e discretas de contínuas, escolhe uma amostra estratificada, descobre a pergunta justa de um questionário e faz uma estimativa da média da população a partir de uma amostra.
- Tabelas de dados: ler e preencherLê uma tabela simples, encontra o maior valor, calcula a diferença e preenche uma tabela a partir dos dados.
- Classificar segundo um critérioClassifica objetos em grupos segundo a cor e segundo a forma, conta cada grupo e descobre o maior.
- Horários: aulas e comboiosLê horários da escola e de comboios: quando termina uma aula, quanto dura um intervalo ou uma viagem, que comboio apanhar.
- Teste de hipóteses simples, covariância e mínimos quadradosDecide quantas caras tornam pouco plausível a hipótese de uma moeda equilibrada, calcula a covariância e o coeficiente de correlação de cinco pontos e encontra a reta com a menor soma dos quadrados dos erros.
- Características comuns e classificaçãoDescobre a característica comum de um conjunto, organiza figuras em grupos segundo dois critérios ao mesmo tempo e encontra a figura que não pertence.
- Ler os dados com espírito críticoComparar grupos, reconhecer o paradoxo de Simpson, avaliar uma amostra, distinguir percentagem de pontos percentuais e correlação de causa.
- Gráficos e amostras que enganamVê como um eixo cortado muda um gráfico, escolhe o gráfico certo para uma afirmação, decide se uma amostra é representativa e descobre que a mesma média pode esconder dispersões muito diferentes.
- Distribuição normal e regra dos desvios padrãoAjusta μ e σ da curva de Gauss e usa a regra dos desvios padrão: 68,3 %, 95,4 % e 99,7 %.
Probabilidade
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- Acaso: certo, possível, impossívelTira fichas de um saco, roda uma roleta e lança um dado. Diz se cada acontecimento é certo, possível ou impossível.
- probabilidade experimental e probabilidade teóricaFaz rodar um ponteiro, lança uma tampa de garrafa e lança dados: 10 vezes, 100 vezes, 1 000 vezes. Vê a frequência relativa aproximar-se da probabilidade.
- espaço amostral, experiências compostas e acontecimento contrárioEscreve todos os resultados de uma moeda com uma roleta, de duas moedas e de dois dados. Encontra os casos favoráveis numa tabela de seis por seis e calcula a probabilidade de algo não acontecer a partir da probabilidade de acontecer.
- Diagramas de Venn, acontecimentos e tabelas de dupla entradaOrganiza uma turma de 30 alunos por futebol e xadrez num diagrama de Venn, passa os mesmos dados para uma tabela de dupla entrada e de volta, vê os acontecimentos como conjuntos e calcula probabilidades de «ou» com a regra da adição.
- Árvores de probabilidades, princípio da contagem e acontecimentos independentesFaz crescer árvores para contar conjuntos de roupa e classificações, escreve as probabilidades nos ramos, multiplica ao longo de um caminho, soma os caminhos e vê o que muda quando não se repõe a bola.
- As regras da probabilidade, resultados contínuos e valores esperadosSoma as probabilidades de resultados que não podem acontecer ao mesmo tempo, descobre que listas podem ser probabilidades, calcula uma probabilidade como parte de um comprimento e prevê quantas vezes algo acontece.
- Probabilidade condicionadaUsa uma tabela, um diagrama de Venn e uma árvore para calcular a probabilidade de um acontecimento quando já sabes que outro aconteceu, vê porque é que a ordem do «sabendo que» conta e conhece os acontecimentos dependentes.
- Acontecimentos independentes e probabilidade totalTesta com uma tabela se dois acontecimentos são independentes, vê porque é que acontecimentos que não podem ocorrer juntos não são independentes e soma os caminhos de uma árvore para calcular a probabilidade de um resultado que pode surgir de várias maneiras.
- Variáveis aleatórias e valor médioAtribui um número a cada resultado de dois dados, encontra a probabilidade dos valores desse número, calcula a média de um dado e decide quanto vale um jogo por lançamento.
- Resultados com probabilidades diferentes e fórmula de BayesDá a cada resultado o seu peso e soma-os. Depois lê uma árvore ao contrário: encontra-se um parafuso defeituoso, qual foi a máquina que o fez?
- Distribuição binomial e distribuição de PoissonConta os caminhos de uma árvore que dão exatamente k sucessos, vê de onde vem a fórmula da distribuição binomial e usa a fórmula de Poisson para acontecimentos que surgem ao acaso.
- A distribuição normal e os valores zMarca numa reta numérica distâncias à média em desvios padrão, usa a regra 68–95–99,7, calcula um valor z e descobre a probabilidade numa cauda.
- Médias amostrais, proporções amostrais e o teorema do limite centralVê que as médias de amostras variam muito menos do que os valores isolados, calcula o erro-padrão de uma média e de uma proporção e usa o teorema do limite central para calcular uma probabilidade.
- Variância, distribuição geométrica e a desigualdade de ChebyshevCalcula a variância a partir de uma tabela de distribuição, determina a variância de uma soma de variáveis independentes, calcula a probabilidade de «até ao primeiro sucesso» e majora um afastamento com a desigualdade de Chebyshev.
- Probabilidade geométrica, densidade e variáveis aleatórias contínuasCalcula a probabilidade de um ponto ao acaso cair numa parte de uma figura, de um segmento ou de um arco como razão de medidas, percebe o que é uma densidade e conhece as distribuições uniforme e exponencial.
- Probabilidade e combinaçõesCalcula a probabilidade de um acontecimento com a regra de Laplace, contando os casos com combinações ⁿCₖ e arranjos ⁿAₖ.
- Estimar π com pontos ao acaso e com tirasConta pontos ao acaso num quarto de círculo para estimar π, vê como a dispersão diminui com mais pontos e compara com o método das tiras.
- Teste de hipóteses unilateralEscreve H₀, encontra a região crítica ao nível de significância de 5 %, avalia o erro de tipo I e lê corretamente o resultado.
Conjuntos e lógica
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- Conjuntos: elementos, subconjuntos, reunião, interseção e complementarArruma cartões com números nas elipses de um diagrama de Venn, escreve conjuntos entre chavetas, pinta reuniões, interseções e diferenças e conta com o diagrama.
- Arranjos e grupos: permutações e combinaçõesFaz crescer a árvore dos arranjos para contar quem pode ganhar o ouro e a prata, põe amigos em fila e vê porque é que um grupo de pessoas se conta menos vezes do que um arranjo.
- O binómio de Newton e o triângulo de PascalVê (a + b)³ como três parênteses e conta os caminhos que dão cada termo, lê os coeficientes no triângulo de Pascal e usa-os em desenvolvimentos com números.
- Contar sem contar duas vezes, e o princípio das gavetasConta os alunos de dois clubes sem contar duas vezes os que estão nos dois, conta os múltiplos de 2 ou de 3 e usa o princípio das gavetas para teres a certeza de que duas coisas partilham uma caixa.
- Condições, subconjuntos e propriedades dos conjuntosDistingue proposições de condições, constrói o conjunto-solução de uma condição, conta subconjuntos e verifica as propriedades distributiva e de absorção num diagrama de Venn.
- Proposições, «e», «ou», «não» e «se … então …»Reconhece as frases que são proposições, usa corretamente «e», «ou» e «não», testa a promessa «se … então …» e encontra a contrarrecíproca.
- Quantificadores, argumentos válidos e leis de De MorganNega «todos», desenha «todo o múltiplo de 6 é múltiplo de 3», distingue argumentos válidos de inválidos e usa as leis de De Morgan com conjuntos.
- Demonstração: direta, por casos, por redução ao absurdo e por induçãoDemonstra com álgebra que a soma de dois ímpares é par, verifica uma afirmação dividindo-a em casos, demonstra por redução ao absurdo que não há um maior número par e faz o passo de indução para os números ímpares.
- Pares ordenados, relações e equivalênciaMarca A × B como pontos, escolhe uma relação, inverte-a para obter a relação inversa e percebe porque é que «ter o mesmo resto» é uma relação de equivalência.
- Contagem com repetições: filas, grupos e estrelas e barrasAlinha berlindes da mesma cor, conta códigos com algarismos repetidos, reparte alunos por quartos e conta ramos de flores com estrelas e barras.
- Conjuntos definidos por uma condição e conjuntos infinitosConhece ℕ, ℤ, ℚ e ℝ, escreve os elementos de um conjunto a partir da sua condição, escreve a condição de um conjunto e vê porque é que os pares e os naturais têm «o mesmo tamanho».
- Coeficientes binomiais, triângulo de Pascal e demonstração por contagemDivide grupos de amigos em dois tipos, demonstra a regra de Pascal por contagem e descobre porque é que cada linha soma uma potência de 2.
- Grafos: vértices, arestas e grauLê um grafo: encontra o grau de cada vértice, compara a soma dos graus com o número de arestas e percebe porque é que alguns grafos não podem existir.
- Grafos: conjuntos dominantesColoca estações de modo a que todos os pontos do mapa fiquem cobertos e descobre o menor número que chega: o número de dominação do grafo.
- Regra da soma, regra do produto, permutações, arranjos e combinaçõesDistingue a regra da soma da regra do produto, usa as fórmulas das permutações, dos arranjos e das combinações e resolve uma equação com fatoriais.
- Problemas de contagem: listar, árvore e regra do produtoDescobre de quantas maneiras se podem pôr três raparigas em três andares, faz crescer uma árvore de possibilidades e percebe porque é que se multiplica.
- A regra da soma e a regra do produtoDe quantas maneiras podemos escolher «a ou b» e «a e b»: a regra da soma, a regra do produto, os pares (a, b), um esquema de estradas e problemas com algarismos.
- Se ..., então ...Elimina números com pistas, tira conclusões de regras «se ..., então ...» e constrói cadeias de raciocínio.
- Grafos orientados e problemas resolvidos com grafosLê grafos orientados, conta apertos de mão e jogos de um campeonato e descobre o percurso mais curto transformando o problema num grafo.
- Conexidade, caminhos, circuitos e traçar um grafoConta as componentes conexas, encontra os vértices de grau ímpar e decide se um grafo se pode traçar sem levantar o lápis.
- Condições necessárias e suficientesDistingue quando uma condição é necessária, quando é suficiente e quando é as duas coisas, e refuta uma afirmação falsa com um contraexemplo.
- Árvores e grafos planosReconhece árvores, conta as arestas de uma árvore e de uma árvore geradora e conta as faces de um grafo plano com a fórmula de Euler.
Números complexos
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- Números complexos: i, somar, multiplicar, dividirConhece o número i, com i² = −1, soma números complexos como pontos no plano, multiplica-os como parênteses e divide com o conjugado.
- Equações do 2.º grau e polinómios com raízes complexasVê porque é que x² + 4x + 13 = 0 não tem raízes reais, resolve equações com raízes complexas, representa-as no plano e descobre a raiz que falta num polinómio do 3.º grau.
- O plano complexo: módulo, argumento e rotaçãoLê números complexos como pontos do plano complexo, descobre o módulo e o argumento, reflete-os no eixo real e multiplica por rotação e ampliação.
- Potências, raízes e circunferências no plano complexoUsa e^{iθ} como um ponto da circunferência de raio 1, eleva números a potências com a fórmula de De Moivre, encontra as quatro raízes de um número como os vértices de um quadrado e desenha uma circunferência com |z − c| = r.
Matrizes
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- Matrizes: dimensão, elementos e tipos especiaisLê uma matriz como uma tabela: encontra um elemento pela sua linha e coluna, indica a dimensão e constrói as matrizes nula, identidade e diagonal.
- Somar, multiplicar e transpor matrizesSoma e subtrai matrizes da mesma dimensão, multiplica por um escalar, multiplica linha por coluna e transforma linhas em colunas.
- DeterminantesCalcula determinantes de ordem 2 e de ordem 3, vê o que acontece quando se trocam duas linhas e vê como o determinante multiplica as áreas.
- Matrizes inversas e resolução de sistemasEncontra a inversa de uma matriz 2 × 2 a partir do determinante, encontra uma inversa 3 × 3 por operações com linhas e resolve um sistema com ela.
- Regra de Cramer e método de eliminação de GaussResolve um sistema com determinantes (Cramer), depois por operações com linhas (Gauss), e vê como um determinante nulo dá retas paralelas.
- Matrizes como transformaçõesUma matriz move os pontos do plano: aplica-a a um ponto, constrói-a a partir das imagens de i e de j e descobre os pontos que ela deixa no mesmo sítio.
Cálculo infinitesimal
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- Limites: aproximar-se de um númeroPreenche uma tabela de valores perto de um ponto onde a função não está definida, lê o limite no gráfico e vê porque é que os limites laterais têm de ser iguais.
- Cálculo de limites: leis, 0 sobre 0 e senoCalcula limites de somas e produtos a partir de gráficos, resolve a indeterminação 0 sobre 0 por decomposição em fatores e simplificação e conhece o limite notável do seno.
- Limites infinitos e limites no infinitoVê porque é que 1x2 cresce muito perto de zero, traça uma assíntota horizontal e resolve as indeterminações ∞ ÷ ∞ e ∞ − ∞.
- Continuidade e taxa de variaçãoVê quando se consegue desenhar um gráfico sem levantar o lápis, descobre o k que torna uma função contínua e aproxima uma taxa média de variação de uma taxa de variação instantânea.
- Da secante à tangente: o que é a derivadaDesliza um ponto Q ao longo do gráfico em direção a P, vê numa tabela o declive da secante aproximar-se do declive da tangente, traça a tangente e percebe porque é que um bico não tem derivada.
- As regras de derivaçãoExperimenta as regras da derivada da potência, do produto e do quociente com um número num ponto, e confirma-as com retas tangentes num gráfico.
- Derivadas do seno, da exponencial, do logaritmo e das funções inversasTesta a derivada de sen x perto de zero, traça a tangente a ex, usa ln x como imagem espelhada de ex para descobrir a sua derivada e leva a regra da função inversa até à arctg.
- Derivada implícita, paramétrica, de segunda ordem e taxas relacionadasEncontra o declive de uma circunferência num ponto por derivação implícita, calcula o declive de uma curva paramétrica, deriva duas vezes e vê como o lado que varia faz variar a área.
- Equação da reta tangente e extremos de uma função num intervaloEscreve a equação da reta tangente com y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀), acha uma tangente paralela a uma reta dada e uma tangente que passa por um ponto fora da curva, e depois acha o máximo e o mínimo de uma função em [a,b].
- O sinal da derivada e a forma do gráficoUsa o sinal de f′(x) para saber onde um gráfico sobe e desce e para marcar os pontos de derivada nula.
- Rolle, l'Hôpital e séries de MaclaurinDescobre onde a tangente é horizontal, encontra o ponto do teorema de Lagrange, calcula um limite do tipo 0/0 com derivadas e determina um coeficiente da série de Maclaurin de cosh x.
- Estimar áreas, somas de Riemann e regra dos trapéziosEstima a área sob y = x² com retângulos finos e com trapézios e vê para que número tendem as estimativas à medida que as faixas ficam mais estreitas.
- Da primitiva ao integral definidoDescobre uma primitiva e vê porque é preciso +C, calcula um integral definido com F(b) − F(a), acha o valor médio de uma função e conhece a primitiva de 1x.
- Métodos de primitivaçãoMuda a variável e os limites ao mesmo tempo, integra por partes, decompõe uma fração em frações parciais, escolhe uma substituição trigonométrica e decide se um integral impróprio tem valor.
- Áreas, volumes e comprimentos de arco com integraisUsa o integral definido para calcular a área debaixo de uma curva e entre duas curvas, um volume de revolução, um comprimento de arco e uma área em coordenadas polares.
- Equações diferenciaisEscreve uma taxa de variação como equação diferencial, descobre num gráfico a solução y = Cekx e resolve uma equação de variáveis separáveis com uma condição inicial.
- Esboço de gráficos e otimizaçãoUsa o máximo de uma função para resolver problemas como a maior área e o maior volume.
- Um plano para esboçar um gráficoEstuda uma função seguindo um plano: domínio, paridade, zeros, monotonia, extremos; depois marca os pontos principais do gráfico.
- O quadro de variaçãoA partir dos sinais da derivada em cada intervalo, marca com setas onde a função cresce ↗ e onde decresce ↘, e descobre os extremos.
- Do gráfico de f ao gráfico de f′Descobre onde f′ se anula, lê f′ a partir do gráfico de f, localiza o ponto de inflexão como extremo de f′ e o momento de maior crescimento.
- Função integral e teorema fundamentalFaz o balanço das áreas até x, procura os extremos da função integral e calcula com J(x) = F(x) − F(a).
Resolução de problemas
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- Resolver um problema: fazer um esquemaLê o problema. Diz o que sabes e o que procuras. Faz um esquema e resolve.
- Resolver um problema: escrever uma igualdadeTransforma uma história numa igualdade. Põe um quadrado □ no lugar do número que não conheces e depois descobre-o.
- Resolução de problemas: esquema, regularidade, eliminação, tentativasQuatro maneiras de resolver um problema: escrever todos os casos por ordem, descobrir a regularidade, riscar o que é impossível, e experimentar, verificar e corrigir.
- Resolução de problemas: subproblemas, casos mais simples e listas sistemáticasDivide um problema grande em etapas, resolve primeiro uma versão mais simples, lista todos os casos por ordem e escolhe tu a estratégia.
- resolução de problemas: estratégias do 3.º cicloTreina a lista organizada, os problemas por etapas e o problema mais simples, com problemas de dinheiro e números maiores.
- resolução de problemas: o lucro e os dados que chegamDescobre o lucro de um comerciante com uma tabela e decide que números um problema pede, quais não são precisos e quando falta um.
- Problema: registo breve e resoluçãoRegista os dados de forma breve, forma uma igualdade, resolve o problema num ou em dois passos e escreve a resposta.
- Problemas: vezes mais, quanto a mais, o problema inversoTorna um número várias vezes maior, compara por «quantas vezes», resolve problemas em forma indireta e problemas inversos.
- Problemas com tabela: preço, quantidade, totalEscreve os dados como uma tabela «preço unitário, quantidade, preço total» e resolve problemas sobre a soma, a diferença e o quociente de dois produtos.
- Problemas de dois passosDistingue problemas de um passo de problemas de dois passos e escreve a resolução por passos e numa só expressão com parênteses.
- Problemas de dois passos com multiplicação e divisãoResolve problemas de dois passos: o que sobra, somas e diferenças de produtos, e quantas vezes mais ou menos.
- Compara os problemas: o que mudou?Compara dois problemas parecidos, prevê como muda a resolução e resolve o problema alterado.
- Dados, resolução, respostaEscreve um problema como se escreve no caderno: Dados, Pede-se, Resolução (por perguntas, por passos, numa só expressão) e Resposta.
- Problemas de lógicaResolve problemas de raciocínio: preenche uma tabela a partir de pistas, descobre quem é cavaleiro e quem é mentiroso, passa água entre baldes e descobre o culpado.
- Consumo e variaçãoResolve por passos problemas sobre consumo por dia («por dia × número de dias») e sobre variação («antes – depois») e escreve a resposta.