Aulas de matemática gratuitas e de qualidade para todas as crianças

Kamangir
Português
Portugal

A circunferência: equação, reta e circunferência, tangente

Constrói e lê a equação de uma circunferência, descobre os pontos comuns a uma reta e a uma circunferência e trabalha com a tangente e o seu comprimento.

📖 Começa aqui: lê os passos da «Lição» por ordem (1, 2, 3 …) e responde a cada pergunta. Depois continua com «Praticar».

Guia

A equação reduzida da circunferência estuda-se no 10.º ano, em Geometria Analítica. Uma circunferência é o conjunto dos pontos que estão a uma distância fixa r (o raio) de um ponto fixo (o centro). Com o centro C(h,k), a equação é (x − h)2 + (y − k)2 = r2. Os sinais de h e de k aparecem trocados na equação: o centro (3; −2) dá (x − 3)2 + (y + 2)2.

A forma desenvolvida x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 tem centro (−g, − f) e raio r = √(g2 + f2 − c). Para descobrir os pontos comuns a uma reta e a uma circunferência, substitui-se y pela expressão tirada da reta na equação da circunferência e resolve-se a equação do segundo grau: duas soluções, dois pontos; uma solução, a reta é tangente; nenhuma, a reta não corta a circunferência.

A tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência. O comprimento da tangente desde um ponto exterior P até ao ponto de tangência é √(OP2 − r2), porque o triângulo OPT é retângulo em T (teorema de Pitágoras).