Vetores no plano: coordenadas, norma, produto escalar

Os vetores no plano estudam-se na Geometria Analítica do 10.º ano (coordenadas, norma) e o produto escalar no 11.º ano. Num referencial, se A tem coordenadas (x₁,y₁) e B (x₂,y₂), o vetor AB tem coordenadas (x₂ − x₁,y₂ − y₁). A norma de a (a₁,a₂) é ‖a‖ = √(a₁² + a₂²).

O ângulo de dois vetores não nulos a e b é o ângulo AOB, em que OA = a e OB = b. Mede 0° se os vetores têm o mesmo sentido e 180° se têm sentidos contrários. Os vetores são perpendiculares quando o ângulo é de 90°.

O produto escalar de dois vetores não nulos é o produto das suas normas pelo cosseno do ângulo que formam: a · b = ‖a‖ × ‖b‖ × cos(ângulo). Com coordenadas: a · b = a₁b₁ + a₂b₂. Dois vetores são perpendiculares exatamente quando o produto escalar é nulo.

O cosseno do ângulo de dois vetores não nulos: cos(ângulo) = a₁b₁ + a₂b₂√(a₁² + a₂²)×√(b₁² + b₂²).