Somas especiais, diferenças e modelação
Constrói a soma dos quadrados, soma uma série pelo método das diferenças, descobre o termo geral de uma sucessão quadrática e resolve um problema real com uma progressão aritmética.
📖 Começa aqui: lê os passos da «Lição» por ordem (1, 2, 3 …) e responde a cada pergunta. Depois continua com «Praticar».
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Guia
Soma dos quadrados: Σk2 = n(n + 1)2n + 16, para k de 1 a n. A soma dos números inteiros é nn + 12 e a soma dos cubos é o quadrado dela. Estas fórmulas encurtam somas longas. No programa português estudam-se, no ensino secundário, as progressões aritméticas e geométricas e as suas somas; a soma dos quadrados, o método das diferenças e as sucessões quadráticas são um aprofundamento.
Método das diferenças: se cada termo se puder escrever como a «diferença de duas coisas», os termos do meio anulam-se. Por exemplo, 1k(k + 1) = 1k − 1k + 1.
Numa sucessão quadrática, as primeiras diferenças não são constantes, mas as segundas são. O termo geral é an2 + bn + c e a segunda diferença é 2a.
Modelação: primeiro decide se o problema é de uma progressão aritmética ou geométrica; depois descobre o primeiro termo, a razão e n e usa a fórmula.
Erros frequentes: confundir a soma dos quadrados com o quadrado da soma; deixar termos por anular no método das diferenças; tomar a primeira diferença como termo geral; usar n em vez de n − 1 numa soma aritmética.