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Consequências da lei dos cossenos

O tipo de um triângulo a partir do lado maior (acutângulo, retângulo ou obtusângulo), a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo e um problema sobre os lados AB e BC.

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Guia

Este estúdio trata da lei dos cossenos no 10.º ano (resolução de triângulos, Matemática A). Os lados de um triângulo são a, b, c e os ângulos opostos são α, β, γ. A lei dos cossenos: a2 = b2 + c2 − 2bccosα. Daqui sai 2bccosα = b2 + c2 − a2.

Uma consequência da lei dos cossenos. Seja a o comprimento do maior lado de um triângulo. Se a2 < b2 + c2, o triângulo é acutângulo. Se a2 > b2 + c2, é obtusângulo. Se a2 = b2 + c2, é retângulo (o recíproco do teorema de Pitágoras). A razão é o sinal do cosseno do maior ângulo: positivo, negativo ou nulo.

Problema 1. A soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados de todos os lados: BD2 + AC2 = 2a2 + 2b2, onde a e b são lados consecutivos. Demonstra-se escrevendo a lei dos cossenos para os triângulos [ABD] e [ACD] (ângulos α e 180° − α) e somando.

Problema 2. A lei dos cossenos pode dar uma equação do segundo grau. Uma solução que não verifica a condição (um comprimento não pode ser negativo) é rejeitada. As resoluções escrevem-se com Dados, Pede-se, Resolução e Resposta. Os triângulos estão desenhados à escala: 1 quadrícula do quadro é 1 cm.