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Identidades trigonométricas e demonstração

Usa sen2θ + cos2θ = 1 e tgθ = senθcosθ para calcular uma razão trigonométrica a partir de outra, descobre a linha errada de uma «demonstração» e aprende o que é demonstrar uma identidade.

📖 Começa aqui: lê os passos da «Lição» por ordem (1, 2, 3 …) e responde a cada pergunta. Depois continua com «Praticar».

Guia

Este tema aparece na Trigonometria: as razões trigonométricas de ângulos agudos trabalham-se no 9.º ano; a fórmula fundamental sen2θ + cos2θ = 1 e a relação tgθ = senθcosθ no 10.º e no 11.º anos (Matemática A). Na figura, um círculo de raio 3 quadrados representa o raio 1, e P está em (cosθ,senθ) = (0,6,0,8): o triângulo 3-4-5.

Uma identidade é uma igualdade verdadeira para todos os ângulos em que os dois membros estão definidos. As principais são sen2θ + cos2θ = 1 (o teorema de Pitágoras no triângulo de hipotenusa 1) e tgθ = senθcosθ. Dividindo a primeira por cos2θ, obtém-se 1 + tg2θ = 1cos2θ.

Para demonstrar uma identidade, trabalha-se só num dos membros (normalmente o mais complicado), com passos que são sempre verdadeiros, até ele ficar igual ao outro. Verificar com um ângulo não é uma demonstração, e partir do resultado que se quer obter também não.