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Ângulos, interseções e distâncias no espaço

Encontra o ângulo entre uma reta e um plano, o ponto onde uma reta corta um plano, a distância de um ponto a um plano e o ângulo entre dois planos, com produtos escalares e equações.

📖 Começa aqui: lê os passos da «Lição» por ordem (1, 2, 3 …) e responde a cada pergunta. Depois continua com «Praticar».

Guia

A geometria analítica no espaço (vetores, produto escalar, vetores normais, equações de planos) estuda-se no 11.º ano (Matemática A). O ângulo θ entre uma reta (de vetor diretor d⃗) e um plano (de vetor normal n⃗) calcula-se com o seu seno: senθ é o valor absoluto do produto escalar d⃗·n⃗ a dividir pelo produto das duas normas. O ângulo entre dois planos é o ângulo agudo entre os seus vetores normais.

Para encontrar o ponto onde a reta de equação vetorial M = A + td⃗ corta um plano, substituem-se as coordenadas de um ponto da reta na equação do plano e resolve-se em ordem a t. A distância de um ponto P ao plano de equação ax + by + cz = d é o valor absoluto de (o primeiro membro em P menos d) a dividir pela norma do vetor normal.

Erros frequentes: usar o cosseno em vez do seno para o ângulo com um plano, esquecer-se de dividir, e tomar o ângulo obtuso em vez do ângulo agudo entre dois planos.