Ceva, Menelau, Ptolomeu e a reta de Euler
Leituras opcionais de Geometria: quando três cevianas se cruzam num ponto, quando três pontos estão alinhados, o produto das diagonais de um quadrilátero inscrito e a reta de Euler.
📖 Começa aqui: lê os passos da «Lição» por ordem (1, 2, 3 …) e responde a cada pergunta. Depois continua com «Praticar».
- Rússia: 9.º ano
- Ucrânia: 8.º ano
Guia
Estes teoremas são uma extensão: não fazem parte do programa habitual do 3.º ciclo nem do secundário e vêem-se, quando muito, como leitura opcional. Os segmentos AA₁, BB₁, CC₁ que unem os vértices do triângulo ABC a pontos A₁, B₁, C₁ dos lados opostos chamam-se cevianas.
Teorema de Ceva. As cevianas AA₁, BB₁, CC₁ cruzam-se num ponto se e só se (AC₁ : C₁B) × (BA₁ : A₁C) × (CB₁ : B₁A) = 1. Teorema de Menelau: os pontos A₁, B₁, C₁, dois nos lados e um no prolongamento de um lado, estão alinhados se e só se se verifica a mesma igualdade.
Teorema de Ptolomeu. Num quadrilátero inscrito numa circunferência, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos: AB · DC + BC · AD = BD · AC.
A reta de Euler. Em qualquer triângulo, o circuncentro O, o baricentro M e o ortocentro H estão na mesma reta, e HM = 2MO.