Soluções gerais de equações trigonométricas
A reta y = b corta o gráfico do seno, do cosseno ou da tangente em infinitos pontos. Escreve todas as soluções numa fórmula com k ∈ ℤ e, numa equação que se reduz a uma equação do 2.º grau, rejeita a raiz que não pode existir.
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- Portugal: 11.º ano
- Itália: 11.º ano
- Rússia: 10.º ano
- Ucrânia: 10.º ano
Guia
Este tema pertence às equações trigonométricas (Matemática A, 11.º ano). Resolve-se cos x = b a partir do gráfico: a reta y = b corta a curva do cosseno quando |b| ≤ 1. O eixo dos xx mostra números comuns, por isso π ≈ 3,14.
Para cos x = b com |b| ≤ 1, as raízes são x = ±arccos b + 2πk,k∈ℤ, onde arccos b está em [0;π] e arccos (−b) = π − arccos b. Os casos particulares cos x = 0, cos x = 1 e cos x = −1 escrevem-se sem ±.
Para sen x = b: x = (−1)karcsen b + πk,k∈ℤ. Para tg x = b: x = arctg b + πk,k∈ℤ; para cotg x = b: x = arccotgb + πk,k∈ℤ.
Quando uma equação se reduz a uma equação do 2.º grau em sen x ou cos x, a mudança de variável t = sen x dá valores de t; cada um tem de estar em [ − 1;1], senão não há soluções.