Área e volume com o produto vetorial
A norma do produto vetorial de dois vetores é a área do paralelogramo que eles definem. Com três vetores, um determinante dá o volume do paralelepípedo.
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- Itália: 13.º ano
- Espanha: 12.º ano
- Rússia: 11.º ano
- Irão: 12.º ano
Guia
Este tema continua o estudo do produto escalar e do produto vetorial no espaço (Geometria Analítica, Matemática A, 11.º e 12.º ano). Se a e b são dois lados de um paralelogramo, a sua área é a norma do produto vetorial, |a×b|. Um triângulo construído sobre os mesmos dois vetores tem metade dessa área.
Três vetores que não estão no mesmo plano definem um paralelepípedo. O seu volume é |a·(b×c)|. É o valor absoluto do determinante 3 × 3 cujas linhas são as coordenadas de a, b e c. Se o determinante for zero, o volume é zero: os três vetores são complanares, isto é, estão no mesmo plano.
Erros comuns: esquecer a metade no caso do triângulo, esquecer o sinal de menos do termo do meio ao desenvolver o determinante, e somar as coordenadas em vez de calcular a norma do vetor.