سپړونکی
ټول کارځایونه، له اسانه تر ستونزمنه.
عددونه او مقامي قیمت
۴۷
- تر ۱۰ پورې شمېرل او پرتلهمڼې جوړه جوړه کړئ، وې شمېرئ او پرتله یې کړئ. بیا د <، > او = نښې وپېژنئ.
- له ۱۰ تر ۲۰ عددونه: یو لس او څو یوپه دوو د لس چوکاټونو له ۱۰ تر ۲۰ عددونه ولولئ او جوړ یې کړئ. یو ډېر، منځنی عدد، او ترتیبي عدد.
- د عددونو خط او متناوب شمېرلعددونه د عددونو پر خط پیدا کړئ. دوه دوه، پنځه پنځه او لس لس مخ ته لاړ شئ او جفت او تاق عددونه وپېژنئ.
- مقامي قیمت: لسیز او یویز، دوه رقمي عددونهلس یویز په یوه لسیزه بدل کړئ. په لسیزو او یویزو عددونه تر ۱۰۰ پورې جوړ او ولولئ.
- درې رقمي او څلور رقمي عددونه او توسعوي شکلپه چوت کې تر ۱۰۰۰۰ پورې عددونه جوړ، ولولئ او په توسعوي شکل یې ولیکئ؛ بیا دوه عددونه له تر ټولو لوی ځای پرتله کړئ او له رومي رقمونو سره آشنا شئ.
- لوی عددونه، تقریب او اټکلمیلیوني عددونه طبقه په طبقه ولولئ او جوړ یې کړئ، عددونه نږدې لس، سل یا زر ته تقریب کړئ او له حساب مخکې حاصل اټکل کړئ.
- تر لسیزو او سلیزو اټکل او ګردولعددونه تر نژدې لسیز یا سلیز وګردوئ او د جمع او تفریق پایلې پرته له دقیق حساب اټکل کړئ.
- تام عددونه (مثبت او منفي)د عددونو محور له صفر څخه کیڼ لوري ته اوږد کړئ. له صفر لاندې د تودوخې درجه او د سمندر تر سطحې لاندې ژوروالی وښایاست او په ټوپونو جمع او تفریق وکړئ.
- د اعشاري کسرونو تقریبد یوه عدد د دوو ګاونډیو ترمنځ برخه لویه وګورئ او ومومئ چې عدد کوم یوه ته نږدې دی: تر یویزو، لسمو او سلمو پورې.
- قاسمونه، مضربونه او اولیه عددونهدانې د مستطیل په بڼه کېږدئ چې د یوه عدد قاسمونه پیدا کړئ. وګورئ چې ولې ځینې عددونه یوازې یو مستطیل لري.
- د وېش قابلیت، تر ټولو لوی مشترک قاسم، تر ټولو کوچنی مشترک مضرب او طاقتد عددونو په جدول کې مضربونه رنګ کړئ او د وېش د قابلیت قاعدې ومومئ. بیا مشترک قاسم او مضرب، د عددونو مربعونه او طاقت.
- د تامو عددونو ضرب او وېش او مطلقه قیمتمنفي عددونه د عددونو پر خط په ټوپونو ضرب او وېش کړئ، د نښو الګو پیدا کړئ او له صفر څخه واټن اندازه کړئ.
- نسبتي عددونه: پرتله او څلور عملیېمنفي کسرونه او اعشاري کسرونه پر یوه خط کېږدئ، پرتله یې کړئ او بیا یې پر خط د حرکت او لویولو په توګه جمع او ضرب کړئ.
- د اولیه عددونو غربالعددونه له ۱ تر ۵۰ پورې ولیکئ او مضربونه یې حذف کړئ تر هغه چې یوازې اولیه عددونه پاتې شي، بیا ومومئ چې چېرته باید ودرېږو.
- د منفي عدد تفریقهر تفریق په جمع واړوئ، په محور کې د منفي عدد تفریق وګورئ او دوه رقمي عددونه په لسیزو او یویزو ویشئ.
- د منفي عددونو طاقتونه او دوه برابره ودهپه طاقتونو کې د عملیو ترتیب تعقیب کړئ، د (−۳)² او −۳² توپیر پوه شئ، او وګورئ چې تکراري دوه برابرېدل ولې ډېر ژر لوی عدد جوړوي.
- پر لومړنیو ضربي اجزاوو تجزیه، مشترک قاسم او مضرب، او جذردوه عددونه د ونې په مرسته پر لومړنیو ضربي اجزاوو تجزیه کړئ. له مشترکو ضربي اجزاوو تر ټولو لوی مشترک قاسم او تر ټولو کوچنی مشترک مضرب جوړ کړئ، او د جوړو او درېګونو په مرسته دویم جذر او دریم جذر پیدا کړئ.
- د طاقت قوانین، صفر طاقت او منفي طاقتطاقت لرونکي عددونه د یوه کسري خط پر سر د عواملو د ضرب په بڼه ولیکئ: په ضرب کې عوامل سره یو ځای کړئ؛ په تقسیم کې پورته او ښکته مساوي عوامل قلم کړئ؛ او وګورئ چې ولې a۰ = ۱ دی او منفي توان کسر معنا لري.
- د ناطق عددونو وېشد ناطق عدد معکوس پیدا کړئ او د نښه لرونکو عددونو وېش په ضرب واړوئ. وګورئ چې پر صفر وېش ولې بې معنی دی.
- nم جذرونه او ناطق طاقتونهnم جذرونه د طاقتونو په مرسته زده کړئ: جفت او تاق جذرونه، د جذرونو ضرب، بیا کسري طاقتونه لکه ۲۷۱۳ او ۸۲۳.
- د عدد د لیکلو علمي طریقهرقمونه د ÷۱۰ او ×۱۰ سره وښوروئ تر څو د ممیزې مخې ته یوازې یو غیرصفر رقم پاتې شي، او وګورئ چې د ۱۰ توان څنګه د ښورولو شمېر شمېري.
- تقریبي دویم جذر او پر خط حقیقي عددونهد یوه عدد دویم جذر د دوو تامو عددونو ترمنځ پیدا کړئ، په مربع کولو سره تر لسمو او سلمو پورې نږدې شئ او ناطق او غیر ناطق عددونه د حقیقي عددونو پر خط سره جلا کړئ.
- جذري عددونه او د هغوی ساده کولد جذر لاندې عدد په اولي عواملو تجزیه کړئ او هره جوړه بهر راوباسئ: √۱۲ = ۲√۳. جذرونه ضرب کړئ، مشابه جذرونه جمع کړئ او مخرج ناطق کړئ.
- د تر ټولو لوی مشترک قاسم لپاره د اقلیدس طریقهد دوو عددونو تر ټولو لوی مشترک قاسم د وېشونو په یوه لړۍ پیدا کړئ، پرته له دې چې قاسمونه یې ولیکئ.
- د حقیقي عددونو مطلقه قیمت او اټکلي حسابمطلقه قیمت د مبدا له واټن په توګه وګورئ، درې حالتونه وپېژنئ، |a + b| له |a| + |b| سره پرتله کړئ او له اټکلي جذرونو سره حساب وکړئ. دا موضوع د افغاني کتابونو له لوستونو پورته توسعه ده.
- د جذر ځانګړتیاوې، ناطق طاقتونه او غیر ناطق معادلېد وېش حاصل جذر او د جذر جذر پیدا کړئ، د بېلو درجو جذرونه پرتله کړئ، او یوه غیر ناطق معادله په مربع کولو، شرط وارسی کولو او ځای پر ځای کولو سره حل کړئ.
- عددونه په کلمو: لس زرګونی، سل زرګونی او ملیاردلوی عددونه جوړ کړئ او ولولئ: پنځه رقمي عددونه، سل زره او له میلیون وروسته عددونه.
- جذرونه: دویم او دریم جذر او نښې یېهغه عددونه وشمېرئ چې مربع یې مثبت عدد وي، وګورئ چې منفي عدد ولې حقیقي دویم جذر نه لري خو دریم جذر لري، او ولې د مربع جذر مطلقه قیمت دی.
- په عددي محور کې ګردولعدد په عددي محور کې ومومئ او وګورئ چې کوم لسیز، سلیز یا زرګونی ته نژدې دی. هغه عدد چې سم په منځ کې وي پورته ګردېږي.
- عددونه په لفظي بڼهدوه رقمي او درې رقمي عددونه له لسیزو او یویزو جوړ کړئ او په لفظ یې ولولئ او ولیکئ.
- په تامو عددونو کې وېش منلد وېش الګوریتم، د وېش منلو ځانګړتیاوې، او تر ټولو لوی ګډ مقسوم علیه د دوو عددونو د ترکیب په بڼه. دا موضوع د افغاني کتابونو له لوستونو پورته توسعه ده.
- د عددونو جدول او ټوپ ټوپ شمېرلپه عددي جدول کې په ۳، ۴، ۶ او ۷ ټوپ ټوپ وشمېرئ، او د میلو په مرسته تکراري جمع وګورئ.
- په تامو عددونو کې همنهشتي (مساوي پاتې)هغه عددونه چې پر m د وېش پاتې یې یو شان وي، همنهشتي دي. ووینئ چې له دوی سره څنګه حساب کېږي. دا موضوع د افغاني کتابونو له لوستونو پورته توسعه ده.
- په اعشاري عددونو کې مقامي قیمتاعشاري عددونه د مقامي قیمت په جدول کې د یویزو، لسمو او سلمو ستونونو سره ولیکئ او ولولئ، په پراخه بڼه یې جوړ کړئ او پرتله یې کړئ.
- اټکل: ګردول او غوڅولیو عدد تر نژدې ۱۰، ۱۰۰، ۱ یا ۰٫۱ پورې په دوو طریقو اټکل کړئ: ګردول او غوڅول. ووایاست کوم یې ګردول شوی دی، کسر اټکل کړئ او د ضرب حاصل وسنجوئ.
- نږدې قیمتونه او خطامطلقه او نسبي خطا ومومئ، د اندازه کولو دقت پرتله کړئ او د مجموعې خطا محدوده کړئ.
- د ۶–۱۰ ترکیب او صفرعددونه ۶، ۷، ۸، ۹ په شمېرنو په دوو برخو وویشئ. بیا ووینئ چې کله ټول یا هېڅ وانخیستل شي څه کېږي.
- د ترکیب کارت او پټۍهغه دوې برخې ولیکئ چې ۶ جوړوي، او د ۷ خونو یوه پټۍ جوړه کړئ.
- د حسابي دویم جذر ځانګړتیاوېد حسابي دویم جذر په ځانګړتیاوو سره د مربع، ضرب، وېش او طاقت جذرونه پیدا کړئ. nم جذرونه په بل کارګاه کې دي.
- د طبیعي عددونو ترادف او عددي نیم خطد یوه عدد مخکنی عدد پیدا کړئ، وګورئ چې ولې تر ټولو لوی طبیعي عدد نشته، پر عددي نیم خط ټکی K(5) وټاکئ او مقیاس ولولئ.
- د پاتې سره وېش، پر ۹ او ۳ د وېش منلومومئ چې ولې پاتې له مقسوم علیه کوچنی دی، مقسوم په a = bq + r جوړ کړئ او پر ۹ او ۳ د وېش منل د رقمونو په مجموعې وازمویئ.
- دننۍ جذرونه: √(a ± 2√b)هغه جذر چې د بل جذر لاندې وي لرې کړئ: افاده د مجموعې یا تفاضل د مربع په شکل ولیکئ او دوه عددونه د مجموعې او ضرب حاصل له مخې ومومئ.
- د لویو عددونو پرتله او ترتیبتر یوه میلیون پورې عددونه رقم په رقم پرتله کړئ، په ترتیب یې کېږدئ او بشپړ زرګونه ورسره جمع کړئ.
- دوهګونی عددونه او رومي عددونهد ۱، ۲، ۴، ۸، ۱۶ ځایي قیمتونو سره دوهګونی عددونه ولولئ او ولیکئ، او رومي عددونه زموږ د ځایي قیمت له سیستم سره پرتله کړئ.
- د ټکو ترمنځ واټن او مطلقه قیمت لرونکې معادلېد عددي کرښې د دوو ټکو ترمنځ واټن د |a - b| په توګه ومومئ او معادلې |x - a| = b د ټکو په نښه کولو حل کړئ.
- د مجموعې، توپیر او ضرب وېش؛ د ۴، ۸، ۶ او ۱۱ ازموینېپرته له حسابولو وټاکئ چې مجموعه، توپیر یا ضرب پر یو عدد وېشل کېږي که نه، او د ۴، ۸، ۶ او ۱۱ ازموینې وکاروئ.
- د هیرون طریقه او غیرناطق عددونهد هیرون په طریقه (مستطیل چې مربع کېږي) جذر نږدې ومومئ او وګورئ چې √2 ولې کسر نه دی.
څلور ګونې عملیې
۳۰
- جمع او تفریق تر ۱۰ پورېمڼې یو ځای کړئ، لرې یې کړئ او پرتله یې کړئ. په دوو عددونو ۱۰ جوړ کړئ.
- تر ۲۰ پورې جمع او تفریق، له لسو تېرېدللومړی ۱۰ ډک کړئ، بیا پاتې کېږدئ. درې عددونه جمع کړئ، د عددونو ځای بدل کړئ او د یوې عددي کورنۍ څلور جملې پیدا کړئ.
- د عددونو پر خط ذهني جمع او تفریقهره جمع او تفریق د عددونو پر خط په حرکتونو وښایاست: لومړی لسیزې، بیا یویزې، یا لومړی تر بل لس پورې.
- ضرب او وېش په مساوي ډلومڼې په مساوي ډلو کې کېږدئ، کتارونه جوړ کړئ او وګورئ چې ضرب او وېش څنګه سره تړلي دي.
- د ضرب جدولضربونه د شکل په مرسته زده کړئ او په لوبه کې یې تمرین کړئ: لومړی ۲، ۵ او ۱۰، بیا صفر او یو، بیا د د ضرب جدول پاتې برخه.
- په ۱۰، ۱۰۰ او ۱۰۰۰ ضرب او وېشکله چې یو عدد په ۱۰ کې ضرب کړئ، هر رقم یو ځای کیڼ لوري ته ځي؛ کله چې پر ۱۰ یې ووېشئ، یو ځای ښي لوري ته. دا د مقامي قیمت په جدول کې وګورئ، لومړی له طبیعي عددونو او بیا له اعشاري کسرونو سره.
- عمودي جمع او تفریقعددونه یو د بل لاندې ولیکئ او ستون په ستون یې جمع او تفریق کړئ؛ حاصل راتلونکي ستون ته یوسئ، له څنګ ستون څخه پور واخلئ او ځواب وازمویئ.
- په عمودي ډول ضربضرب په عمودي ډول ولیکئ: لومړی په یو رقمي عدد ضرب د ستون پورته یادښت شوي رقم سره، بیا دوه رقمي په دوه رقمي ضرب، او په پای کې د اعشاري کسرونو ضرب.
- له پاتې سره وېش او اوږد وېشوېش رقم په رقم ولیکئ، وګورئ چې پاتې څه شی دی او په پوښتنه کې ورسره څه وکړئ، او وېش د ضرب په مرسته آزموینه کړئ.
- بشپړونکی: په چوت سره د عددونو جمع او تفریقد چوت په دانو دوه رقمي عددونه جمع او تفریق کړئ. د یویزو لس دانې د لسیزو په یوې دانې بدلې کړئ، او برعکس.
- د ګردو عددونو ضرب او د اعشاري عددونو حسابهغه عددونه ضرب کړئ چې په صفر پای ته رسېږي (۴۰ × ۳۰، ۶۵۰ × ۳۰۰)، اعشاري عددونه په ستون کې جمع او تفریق کړئ، او دوه اعشاري عددونه د اعشاري ځایونو په شمېرلو سره ضرب کړئ.
- په څو رقمي او ګردو عددونو لیکلی ضربپه ستون کې په درې رقمي عدد، هغه عدد چې صفر لري او ګرد عدد ضرب کړئ، او جزوي ضربونه وکاروئ.
- په مکعبونو ضرب: په برخو ووېشئلومړی د لسو ضربونه، بیا څو رقمي عدد په یو رقمي عدد د سلیز، لسیز او یویز مکعبونو سره: هره برخه ضرب کړئ او جمع یې کړئ.
- د څلور رقمي عددونو جمع او تفریق د زریزو مکعبونو سرهد مقامي قیمت په جدول کې د یویزو، لسیزو، سلیزو او زریزو مکعبونو په مرسته څلور رقمي عددونه جمع او تفریق کړئ، لس د راتلونکې مرتبې په یوه واړوئ.
- په ډلو شمېرل او د ضرب کیسېپه ۷ او ۲۰۰ ګامونو شمېرل، «څو برابره» کیسې، ډالر په افغانیو بدلول او د چټکۍ کارونه د ضرب ماشین سره.
- د مساوات برخې: جمع کېدونکی، د جمعې حاصل، د تفریق حاصلپه عددي کرښه کې په برخو جمع او تفریق کړئ، د مساوات برخو ته نومونه ورکړئ او تفریق د جمعې له لارې وکړئ.
- نامعلوم جز او د مجموعې بدلوننامعلوم جمع کېدونکی، کمېدونکی او کمونکی د قاعدې له مخې پیدا کړئ، افادې پرته له حسابولو پرتله کړئ او وګورئ چې مجموعه څنګه بدلېږي.
- دوه رقمي عددونه: د رقمونو، د برخو او د ګردولو چلدوه رقمي عددونه د رقمونو او د برخو له مخې جمع او تفریق کړئ، او ۳۸ + ۹ د ۱۰ له لارې حساب کړئ، زیاته شوې ۱ بېرته کم کړئ.
- د ضرب جدول او د پایلو تړاو له عددونو سرهد ضرب جدول وڅېړئ، یو په بل پسې ضرب او تقسیم وکړئ، او وګورئ چې د ضرب حاصل او د وېش حاصل له خپلو برخو سره څنګه تړلی دی.
- شفاهي لارې: د رقمونو له مخې، ګردول، په برخو وېشد رقمونو له مخې او د ګردولو په لار جمع او تفریق کړئ، عددونه په ویشلو سره ووېشئ او ګرد عددونه د ځای ارزښت په واحدونو ووېشئ.
- د ضرب او تقسیم هوښیارې لارېپه ۵، ۲۵، ۵۰، ۱۱، ۱۰۱، ۹ او ۹۹ ضرب او تقسیم په اسانو لارو کړئ.
- د عملیو قوانین او اسانه حسابد بدلون، اتحادي او توزیعي قوانین د اسانه حساب لپاره وکاروئ، او په ناطقو عددونو کې افادې ساده کړئ.
- افاده، مساوات، نامساويافاده، مساوات او نامساوي له یو بل بیل کړئ، غلط مساوات پرې کړئ او افادې پرته له حسابولو سره پرتله کړئ.
- پر ۱۰ او ۱۰۰ وېش له پاتې سرهپر ۱۰ او ۱۰۰ د ښي لوري رقمونه پټ کړئ او پاتې ومومئ، او هغه عددونه چې په صفر پای ته رسېږي د ورته صفرونو په پرې کولو سره ووېشئ.
- د حسابي عملیو ځنځیرونهتیرونه تعقیب کړئ: په دایره کې عدد، پر بیرغ عملیه. د ځنځیر په پای کې عدد ومومئ او پاک شوی بیرغ بېرته ولیکئ.
- د جمعې جدولونهد ۱، ۲، ۵ او ۷ د جمعې جدولونه ولولئ، حاصلونه پټ کړئ او ولیکئ یې. بیا د دویم لسیز جمعې.
- د ۶، ۷، ۸، ۹ تفریقد کمېدونکي عدد پر ځای د اسانو جمع کېدونکو مجموعه ولیکئ چې یو یې د کمونکي عدد سره برابر وي. بیا بل جمع کېدونکی پاتې کېږي.
- د مجموعې جمع او تفریقیوه مجموعه له یوه عدد سره جمع کړئ، مجموعه له عدد څخه او عدد له مجموعې څخه کم کړئ، او برابري په قوسونو سره ولیکئ.
- په برخو ضرب او وېشدوه رقمي عدد په یو رقمي عدد کې ضرب او وېش کړئ، عدد په اسانو برخو ووېشئ او په معکوس عمل یې وارسي کړئ.
- د حساب څارنه: اټکل او معکوس عملمخکې له حساب اټکل وکړئ، په ستون کې حساب وکړئ، په معکوس عمل یې وارسي کړئ او پرېکړه وکړئ چې پایله (د کیلکولیټر هم) معقوله ده که نه.
کسرونه
۱۸
- کسر څه شی دی؟یو شی په مساوي برخو ووېشئ او په کسر سره وښیئ چې څو برخې مو اخیستې دي.
- کسر د عددونو پر خطکسرونه هم عددونه دي او هر یو د عددونو پر خط خپل ځای لري. له صفر څخه تر یو پورې واټن په مساوي برخو وګورئ او نقطه کېږدئ.
- معادل کسرونهیوه اندازه په بېلابېلو کسرونو ښودل کېدای شي. وګورئ چې کله برخې کوچنۍ یا لویې شي، کسر بدلېږي، خو اندازه نه بدلېږي.
- د کسرونو پرتلهکوم کسر لوی دی؟ پټۍ یوه د بلې لاندې کېږدئ او وګورئ چې د کومې رنګ وړاندې تللی دی.
- د کسرونو جمع او تفریقکسرونه په پټو کې یو تر څنګ کېږدئ، جمع او تفریق یې کړئ. کله چې مخرجونه توپیر ولري، لومړی برخې سره برابرې کړئ.
- د کسرونو ضرب او وېشد پټو په مرسته وګورئ چې په کسر کې ضرب یعنې «څو ځله» یا «د یو شي کوم کسر»، او پر کسر وېش یعنې «څو واره پکې شامل دی».
- اعشاري کسرلسمې او سلمې د عددونو پر خط پیدا کړئ او وګورئ چې اعشاري کسر څنګه لیکل کېږي او لوستل کېږي.
- وېش او کسروېش رقم په رقم ولیکئ او وګورئ چې هر کسر په اصل کې یو وېش دی چې په اعشاري کسر بدلېدای شي.
- د یوه مقدار کسري برخهمڼې مساوي ووېشئ او څو برخې یې واخلئ. بیا د خوړو یوه نسخه لویه او کوچنۍ کړئ.
- فیصد او د کسر، اعشاري او فیصد بدلولفیصد یعنې «له سلو څخه څو». د سلخانهیي مربع او ۱۰۰٪ پټې په مرسته وګورئ چې کسر، اعشاري عدد او فیصد د یوه مقدار درې نومونه دي.
- د مخلوطو کسرونو ضرب او وېشد پټو په مرسته وګورئ چې د مخلوط عددونو ضرب او وېش څنګه کار کوي، او په یوه افاده کې لومړی کومه عملیه ترسره کړئ.
- د اعشاري کسرونو وېش او متوالي اعشاري کسرونهاعشاري وېش د صحیح عددونو په وېش واړوئ، وېش ته دوام ورکړئ تر څو وګورئ چې رقمونه چېرته تکرارېږي، او یو متوالي اعشاري کسر په عام کسر واړوئ.
- کسرالکسرهغه کسر چې صورت یا مخرج یې کسر وي: یو کسر پر پټۍ وویشئ، په کسر کې کسر وشمېرئ او د لاندنۍ کسر په معکوس سره ویش وکړئ.
- د مخلوط عددونو تفریق او د کسرونو سره محاسبهمخلوط عددونه تفریق کړئ، یو واحد خلاص کړئ، مرکب کسر لرونکې افادې حل کړئ او د خوړو د جوړولو اندازه لویه کړئ.
- د یو عدد برخه او له برخې څخه عددد یو عدد برخه ومومئ او له برخې څخه ټول عدد ومومئ: لومړی یوه برخه، بیا ټول یا څو برخې.
- غیر واقعي کسر، د کسر له قیمت څخه عدد، فیصدي نسبت، اعشاري اټکلغیر واقعي کسر په پټو کې وښیئ، د یوې برخې یا فیصد له قیمت څخه ټول عدد پیدا کړئ، د دوو عددونو فیصدي نسبت حساب کړئ او کسر تر سلمې پورې وګردوئ.
- د اندازې د واحدونو کسرونه۶ سانتی متره د یو متر کوم برخه ده، او ۳ میاشتې د یو کال کومه برخه؟ د یوه واحد کسر په کوچنیو واحدونو واړوئ او له یوه نومول شوی عدد سره یې پرتله کړئ.
- پنځمه برخه او لسمه برخهیو ټول په ۵ او په ۱۰ مساوي برخو ووېشئ، ۱۵ او ۱۱۰ پرتله کړئ، او د یو مقدار پنځمه او لسمه برخه ومومئ.
نسبت او تناسب
۱۷
- نسبت او په متناسبو اجزاوو وېشد دوهرنګه پټې په مرسته وګورئ چې ۲:۳ څه معنا لري، نسبتونه ساده کړئ، او یو مقدار په ورکړل شوي نسبت ووېشئ.
- تناسب او احدیتد تناسب په جدول مجهول مقدار پیدا کړئ: لومړی د یو واحد لپاره، بیا د هر بل مقدار لپاره. په پای کې معکوس تناسب.
- لویول او ورته شکلونهیو شکل په ټاکلي نسبت لوی کړئ، ورته شکلونه پیدا کړئ، د ورته والي نسبت ولولئ او یو ورته شکل رسم کړئ.
- د بدلون فیصدي، ضریب او اصلي بیهلومړنۍ اندازه یوه ۱۰۰٪ پټه ده. زیاتوالی پټه اوږدوي (۱۲۰٪) او کموالی یې لنډوي (۸۵٪). په پټو ضریب، د بدلون فیصدي او اصلي بیه پیدا کړئ.
- په هر واحد کې اندازه، د یوه واحد بیه او کثافتد نسبت په جدول کې «د هر یوه لپاره» اندازه پیدا کړئ: د هر کیلوګرام بیه، د هرو ۱۰ افغانیو لیټر، او د هر مکعب سانتي متر کتله.
- نقشه او په مقیاس رسمپه خطکش سره پر نقشه او د کور پر نقشه اندازه وکړئ او په مقیاس سره حقیقي اندازه پیدا کړئ.
- د مستقیم تناسب او معکوس تناسب ګرافونهله جدول څخه د مستقیم تناسب ګراف رسم کړئ، k له یوه ټکي پیدا کړئ، د y = kx منحني په لغزنده له یوه ټکي تېره کړئ، د مستقیم تناسب ګراف وپېژنئ او یو معکوس تناسب رسم کړئ.
- اضافي: مرکب تناسبپه مرکب تناسب کې درې اندازې سره بدلېږي. په جدول کې هر ځل یوازې یوه اندازه بدله کړئ او پرېکړه وکړئ چې تناسب مستقیم دی که معکوس.
- واټن، چټکتیا، وخت: s = v · tواټن، چټکتیا او وخت له جدول او له فورمولونو s = v · t، v = s : t، t = s : v پیدا کړئ.
- د دوو جسمونو حرکت او ګډ کارد دوو جسمونو واټن چې یو ځای حرکت کوي، او د ګډ کار وخت، له جدول او د حل له پلان څخه پیدا کړئ.
- متناسب وېش او ثابت مقدارپه بیه، شمېر، لګښت لنډ لیک سره مسئلې حل کړئ: متناسب وېش او د دوو توپیرونو یا دوو مجموعو څخه د ثابت مقدار موندل.
- څلورم متناسب او دوه ځلې د یو واحد موندلمسئلې د نسبتونو په طریقه او د یو واحد د اندازې په موندلو سره حل کړئ، او هغه مسئلې چې دوه بدلونه لري.
- ورته شکلونه: اوږدوالی، مساحت او حجمکله چې یو شکل د ورته والي په نسبت k لوی شي، اوږدوالي k چنده، مساحتونه k² چنده او حجمونه k³ چنده کېږي. د نسبت په جدول کې نامعلومه اندازه پیدا کړئ.
- کار: بازده، وخت، تولیدد کار مسئلې حل کړئ: بازده · د کار وخت = ټول تولید، په جدول او د مثلث په انځور کې.
- څلورم متناسب: ثابت مقدارهغه مسئلې حل کړئ چې یو مقدار ثابت پاتې کېږي (د یوه بکس وزن، بیه، ټول وزن): لومړی هغه پیدا کړئ، بیا پوښتنې ته ځواب ورکړئ.
- بهیرونه: حرکت او کارد یو وخت حرکت او ګډ کار مسئلې په یوه پلان حل کړئ: چټکتیا · وخت = واټن، بازده · وخت = تولید.
- فیصد: ټول، برخه او کچهد فیصدۍ پټې، د درې قاعدې او د W = G · p٪ فورمول په مرسته برخه W، فیصدي p٪ یا ټول G پیدا کړئ.
پیسې او مالي حسابونه
۷
- له پیسو سره بلدتیا: سکې او نوټونهسکې او نوټونه وپېژنئ، ورسره یو اندازه پیسې جوړې کړئ او وګورئ چې ډېرې سکې تل ډېرې پیسې نه دي.
- سودا اخیستل او پاتې پیسېد څو شیانو بیه سره جمع کړئ، پیسې یې ورکړئ او پاتې پیسې د مخ پر وړاندې شمېرلو په مرسته حساب کړئ.
- په پېر او پلور کې فیصد: تخفیف، ګټه او تاواند ۱۰۰٪ پټۍ په مرسته وګورئ چې تخفیف له بیې څومره کموي، او د دکاندار ګټه او تاوان د پېر د بیې څو فیصده دي.
- ساده ربح او مرکبه ربحسرمایه کال په کال تعقیب کړئ: په ساده ربح کې هر کال همغه اندازه ورزیاتېږي، او په مرکبه ربح کې هر کال په همغه عدد ضربېږي. بیا وګورئ چې د یو شي بیه څنګه هر کال کمېږي.
- پلور مالیه، نغدي تخفیف، د پلور بیه او په زرو کېپرته له مالیې او له مالیې سره بیه (۱۹٪ او ۷٪)، د پلورنځي تخفیف او بیا نغدي تخفیف، د پلور د بیې جدول، او په زرو کې.
- فیصد او واحد فیصد«۵٪ زیات شو» له «۵ واحد فیصد زیات شو» څخه څه توپیر لري: ۲۰٪ له ۲۵٪ سره، د ممتازو زده کوونکو برخه، د بانک مسئله.
- پور: توپیر لرونکې او مساوي قسطونهپور واخلئ او وګورئ چې پور څنګه زیاتېږي او کمېږي: د پور په مساوي برخو یا په مساوي قسطونو. پرتله کړئ چې پور اخیستونکی په پای کې څومره ورکوي.
اندازه کول
۳۳
- د اندازو پرتله: اوږد، دروند، ډککوم یو اوږد دی؟ کوم یو دروند دی؟ په ګیره، لوېشت او ګیلاس اندازه واخلئ.
- د اوږدوالی، کتله او ظرفیت اندازه کولپه خط کش، ترازو او درجه لرونکي لوښي اندازه واخلئ. لومړی اټکل وکړئ، بیا اندازه واخلئ.
- ساعت او جنتريد ساعت ښودونکي وګرځوئ، د غرمې وروسته وخت د موبایل په څېر ولیکئ او په جنتري کې ورځې پیدا کړئ.
- محیط او مساحتد شکل شاوخوا وګرځئ چې محیط پیدا کړئ، شکل د سطحې په واحدونو پټ کړئ چې مساحت پیدا کړئ، او وګورئ چې دوه شکلونه له مساوي مساحت سره بېل محیطونه لرلای شي.
- څلورمه برخه ساعت او د وخت ترتیبپه ساعت کې څلورمه برخه تېره او څلورمه برخه پاتې وښیئ، یو وخت په دوو ډولونو ولیکئ او وټاکئ چې کوم کار ډېر وخت ونیو.
- د واحدونو بدلولمتر په سانتي متر، ګرام په کیلو ګرام او لیتر په ملي لیتر بدل کړئ. د تبدیلۍ چارټ له تاسو سره مرسته کوي.
- د مثلث، متوازي الاضلاع، ذوزنقه او دایره مساحتټوټې ځای پر ځای کړئ چې وګورئ ولې د متوازي الاضلاع مساحت «قاعده × ارتفاع» دی، ولې مثلث د هغه نیمایي دی، ذوزنقه د بلې ذوزنقې سره بشپړه کړئ او د دایرې مساحت اټکل کړئ.
- د مکعب مستطیل حجمله مکعبي واحدونو څخه صندوقونه جوړ کړئ، مکعبونه پوړ په پوړ وشمېرئ او وګورئ چې ولې د مکعب مستطیل حجم «اوږدوالی × عرض × ارتفاع» دی.
- اضافي: د د تودوخې درجه لوستل په ترمامترترمامتر ولولئ او له صفر لاندې تودوخه وښیئ.
- د منشور او استوانه مساحت او حجممنشور او استوانه وګرځوئ، قاعده یې پیدا کړئ، پوړ په پوړ یې ډک کړئ چې وګورئ ولې «حجم = د قاعدې مساحت × ارتفاع» دی، او خلاص شوی شکل یې خلاص کړئ چې د جانبي سطحې مساحت او کلي مساحت یې حساب کړئ.
- دقیقه اندازه کول او د واحد برخهپه خپل واحد اندازه کړئ، د سانتي متر کوچنۍ برخې وشمېرئ او د کرښې منځ پیدا کړئ.
- د هرم، مخروط او کره مساحت او حجمهرم په خپل منشور کې او کره په خپله استوانه کې اوبه کړئ ترڅو وګورئ چې ۱۳ او ۲۳ له کومه راځي. مخروط خلاص کړئ ترڅو د دایرې قطاع ووینئ، مولد د د فیثاغورث قضیه په مرسته پیدا کړئ او د یوه برج حجم او مساحت حساب کړئ.
- نل، ټین او بکس: د حجم او سطحې پوښتنېیو پاڼه د نل په شکل ونغاړئ او ظرفیت یې په لیتر ووایاست، د ټین او بکس لپاره د پاڼې اندازه پرتله کړئ او د پرانیستي بکس حجم پیدا کړئ.
- د اندازې دقت: پورتنی او ښکتنی حدتقریب شوې اندازه په حقیقت کې په یوه واټن کې ده. واټن رسم کړئ او د حدونو په مرسته تر ټولو لوی او تر ټولو کوچنی ځواب پیدا کړئ.
- د وخت اندازه کول: دقیقې او ثانیېد رسېدو وخت ومومئ، د دوو ساعتونو ترمنځ وخت د وخت غشو سره حساب کړئ او ثانیې، دقیقې او ساعتونه یو بل ته واړوئ.
- کیلومتر، ظرفیت او د اوبو کتلهمتر او کیلومتر سره بدل کړئ، د لوښي ظرفیت له هغه مایع د حجم څخه جلا کړئ او وګورئ چې یو لیتر اوبه ۱۰۰۰ مکعب سانتي متره دي او ۱ کیلوګرام کتله لري.
- د معین او دایرې مساحتد معین مساحت په څلورو مثلثونو او قطرونو پیدا کړئ، وګورئ ولې معین د شاوخوا مستطیل نیمایي دی، او د دایرې مساحت له سکتورونو او د π × شعاع × شعاع فورمول څخه حساب کړئ.
- متر له سانتي متر سره، کیلوګرام له ګرام سرههغه اندازې ولولئ او ولیکئ چې دوه واحدونه لري (۳۲۵ سانتي متره = ۳ متره او ۲۵ سانتي متره)، مناسب واحد وټاکئ او په خط کش کې نیم سانتي متر ولولئ.
- دیسي متر او په اندازو عمل کولزده کړئ چې ۱ دیسي متر = ۱۰ سانتي متره دی، ربنونه په دیسي متر اندازه کړئ او هغه اوږدوالي سره جمع کړئ چې په دیسي متر او سانتي متر ورکړل شوي دي.
- نومول شوي عددونه: له هغوی سره حسابنومول شوي عددونه جمع، تفریق، ضرب او تقسیم کړئ: په یوه واحد یې ولیکئ، حساب وکړئ او پایله په دوو واحدونو ولیکئ.
- د مستطیل مساحت او د مساحت واحدونهد مستطیل مساحت په S = a·b ومومئ، نامعلومه ضلع ومومئ او د مساحت واحدونه زده کړئ: cm²، dm²، m²، آر، هکتار. آر او هکتار د افغاني درسي کتابونو له لوستونو پورته توسعه ده.
- وخت: د نومول شویو عددونو جمع او تفریقد وخت لوی واحدونه کوچنیو ته واړوئ، جمع یا تفریق یې کړئ او ځواب په دوو واحدونو ولیکئ. د یوې پېښې دوام د پیل او پای له مخې ومومئ.
- منشورونه، متوازي السطوح او هرمونه: ځانګړتیاوې، مقطعونه، پرې شوی هرمد مکعب مستطیل قطر، د مایل منشور حجم، د منظم هرم جانبي مساحت، د پرې شوي هرم حجم او د هرم مقطع پیدا کړئ.
- د استوانې، مخروط او ګولۍ مقطعونه، د ګولۍ معادلهد محوري مقطع قطر، د مخروط او ګولۍ د مقطع شعاع پیدا کړئ او د ګولۍ له معادلې څخه مرکز او شعاع ولولئ.
- منشورونه: د زاویو او قطرونو پوښتنېد قطر او زاویې له مخې د قایم منشور ارتفاع او جانبي ضلعه پیدا کړئ، جانبي مساحت حساب کړئ او ځوابونه له جذر سره ولیکئ.
- هرمونه: د راس تصویر چېرته دیله مساوي جانبي ضلعو یا مساوي دوهوجهي زاویو څخه وټاکئ چې راس د قاعدې کوم مرکز ته تصویر کېږي، بیا ارتفاع او جانبي مساحت پیدا کړئ.
- د جسمونو حجم: مسئلېد اوبو د پورته کېدو له مخې د یوې ټوټې حجم ومومئ، د ویلې شوې ګولۍ شعاع او هغه جسم حجم ومومئ چې د مثلث یا ذوزنقې په څرخولو جوړ شي. π په ځواب کې وساتئ.
- د مضلع محیطد ABC مثلث او DMPK مستطیل محیط د ټولو ضلعو د اوږدوالي د مجموعې په توګه پیدا کړئ.
- د قوس اوږدوالی، د سکتور مساحت او د قطعې مساحتد n درجو قوس اوږدوالی، د دایروي سکتور او قطعې مساحت له l = πRn/180 او S = πR²n/360 سره پیدا کړئ.
- قطاع، کمان او قطعهقطاع د دایرې α/۳۶۰° برخه ده: د کمان اوږدوالی او مساحت یې ومومئ، له کمان څخه زاویه ومومئ او د دایرې د قطعې مساحت حساب کړئ.
- د کرې برخې او مایل منشورد کروي کمربند مساحت، د کروي قطعې او کروي قطاع حجم، او د مایل منشور حجم ومومئ. ځوابونه له π سره ولیکئ: ۲۰π د 20π په توګه.
- د کتلې، چټکتیا او مساحت واحدونهټن، کوینټال او کیلوګرام، کیلومتر په ساعت او متر په ثانیه، هکتار او مربع کیلومتر سره بدل کړئ او مناسب واحد وټاکئ.
- ټن، بوجۍ او پېړۍټن او د ۱۰۰ کیلوګرامو بوجۍ په کیلوګرام واړوئ، او پیدا کړئ چې هر میلادي کال په کومه پېړۍ کې دی.
هندسه او شکلونه
۸۲
- هندسي شکلونه او تناظرپه نقطهلرونکې تخته مثلث او مربع جوړ کړئ، مثلثونه پیدا کړئ او د تناظر محور رسم کړئ.
- کنجونه، دایره، مستطیل او تناظرکنجونه وشمېرئ، هغه شکل ومومئ چې کنج نه لري، مستطیل رسم کړئ، شکل دوه پوړه کړئ او یو شکل په مساوي برخو پرې کړئ.
- اجسام: مکعب، استوانه، کره…مکعب، مکعب مستطیل، استوانه، مخروط، کره او هرم وپېژنئ، سطحې او ضلعې وشمېرئ او د مکعب خلاص شوی شکل جوړ کړئ.
- مستقیم خط، نیم خط، قطعه خط او زاویهنیم خطونه پیدا کړئ، په نقطهلرونکې تخته موازي او عمود خطونه رسم کړئ او زاویې له یوه قایم کونج سره پرتله کړئ.
- مثلثونه او څلور ضلعي شکلونهمثلثونه د ضلعو او زاویو له مخې ډلبندي کړئ، د څلور ضلعي شکلونو کورنۍ وپېژنئ او د معین قطرونه رسم کړئ.
- څو ضلعي او د زاویو مجموعهمنظم څو ضلعي پیدا کړئ، د مثلث د زاویو مجموعه ومومئ او څو ضلعي په مثلثونو ووېشئ چې د زاویو مجموعه یې پیدا کړئ.
- د زاویه اندازه کول په نقالهزاویه په نقاله ولولئ او رسم یې کړئ. د یوې کرښې پر سر زاویې، متقابل په راس زاویې او د زاویې ناصف پیدا کړئ.
- دایره، شعاع، قطر او د π عددد دایرې قطر او شعاع اندازه کړئ. یوه فیته د دایرې شاوخوا تاو کړئ او وګورئ چې د دایرې محیط د قطر څو چنده دی.
- د پرکار او خطکش هندسي ترسیمونهد پرکار او خطکش په مرسته وتر او قوس وپېژنئ، عمودي ناصف او ناصف الزاویه ترسیم کړئ او مثلث د ضلعو له مخې جوړ کړئ.
- د دوو موازي کرښو او یوه قاطع خط زاویېدوه موازي کرښې او یو قاطع خط کش او وګرځوئ او وګورئ چې کومې زاویې تل سره مساوي پاتې کېږي، کومې متممې دي، او کله چې کرښې موازي نه وي څه کېږي. بیا د یوې موازي کرښې په مرسته وښیئ چې د مثلث د زاویو مجموعه ۱۸۰ درجې ده.
- د مثلث د ضلعو اړیکه، میانه، ارتفاع، ناصف الزاویه او عمودي ناصفپه درېیو لرګیو مثلث جوړ کړئ او وګورئ چې کوم درې اوږدوالي مثلث جوړوي او کوم یې نه جوړوي. بیا میانه، ارتفاع او عمودي ناصف په داسې مثلث وازمویئ چې شکل یې تاسو پخپله بدلوئ، او وګورئ چې درې میانې تل چېرته سره یو ځای کېږي.
- انطباق منونکی شکلونه او د مثلثونو د انطباق مننې حالتونهیو شکل انتقال کړئ، وڅرخوئ او چپه یې کړئ چې پر بل شکل پروت شي. بیا د دوو مثلثونو متناظر راسونه پیدا کړئ، د انطباق حالت وټاکئ، یو کرښه په کرښه ثبوت ولیکئ او په یوه نفي مثال وښایئ چې «ض ض ز» د انطباق حالت نه دی.
- د فیثاغورث قضیه او معکوس یېد یوه قایمالزاویه مثلث پر ضلعو مربعې جوړې کړئ او مساحتونه پرتله کړئ، په څلورو برابرو مثلثونو وګورئ چې د فیثاغورث قضیه ولې سمه ده، نامعلوم ضلع پیدا کړئ، د قضیې په معکوس سره معلوم کړئ چې مثلث قایمالزاویه دی که نه، او √۲ په پرکار سره پر محور وښیئ.
- په هندسه کې استدلال او ثبوتیو متساوي الساقین مثلث کش کړئ او وګورئ چې د قاعدې زاویې یې تل سره مساوي پاتې کېږي. بیا دا په دلیل ثابت کړئ، په یو نوي ثبوت کې ترې کار واخلئ او په یو د نفي مثال وښایئ چې یوه بله ادعا غلطه ده.
- د تالس قضیه او د مثلثونو ورته والید مثلث له یوې ضلعې سره موازي کرښه وخوځوئ او وګورئ چې پر نورو دوو ضلعو یې د جلا شویو برخو نسبت تل مساوي پاتې کېږي. بیا د قضیې معکوس، ورته مثلثونه او د ورته والي نسبت وازمویئ.
- هندسي محلټولې هغه نقطې پیدا کړئ چې له یوې نقطې، یوې قطعه کرښې، دوو نقطو یا د یوې زاویې له دوو ضلعو ټاکلی واټن لري او وګورئ چې کوم شکل جوړوي. بیا په پرکار هغه سیمه رنګ کړئ چې دوه شرطونه لري.
- د دایرې سره د مستقیمې کرښې حالتونه، مرکزي زاویه، محیطي زاویه او مماس کرښهیوه مستقیمه کرښه پر دایره پورته او ښکته کړئ او وګورئ چې کله دایره قطع کوي، کله ورسره مماس ده او کله ترې جلا ده. دوې دایرې یو بل ته ورسوئ، یوه مماس کرښه د دایرې شاوخوا وګرځوئ او وګورئ چې محیطي زاویه تل د مرکزي زاویې نیمایي ده.
- محیطي او محاطي دایره، په دایره کې مرسوم څلور ضلعي او د اوږدوالي اړیکېد یوه مثلث محیطي او محاطي دایره جوړه کړئ او وګورئ چې مرکز یې چېرته دی. بیا د دایرې پر سر د یوه مرسوم څلور ضلعي راسونه کش کړئ او دوه متقاطع وترونه وازمویئ: کومه اړیکه تل سمه پاتې کېږي؟
- د جسم منظرې او په فضا کې فیثاغورثد مکعبونو یو برج وګرځوئ، مخکنۍ، پورتنۍ او اړخیزه منظره یې پیدا او په جال کې یې رسم کړئ. بیا د مکعب مستطیل قطر په دوه ځله د فیثاغورث قضیه پیدا کړئ.
- بشپړوونکی: د قایم الزاویه مثلث قضیېپه هغه قایم الزاویه مثلث کې چې یوه زاویه یې °۳۰ وي، د هغې مقابله ضلعه د وتر نیمایي ده؛ او پر وتر ورغلې میانه هم د وتر نیمایي ده. دا دوې قضیې وګورئ، یوه یې ثابته کړئ او کار ترې واخلئ.
- اکسیومونه، قطعه خطونه او قضیېووینئ چې له دوو نقطو یوازې یوه کرښه تېرېږي او AB = AC + CB دی؛ د قطعه خط منځنی ټکی ومومئ او قضیه له معکوسې قضیې سره توپیر کړئ.
- بشپړونکی: د مضلعو سره کاشي کاريد یوې منظمه مضلع کاپۍ د یوې نقطې شاوخوا کېږدئ او وګورئ کومې پرته له تشې او پرته له یو پر بل لوېدو ځاییږي، ولې منظم پنځه ضلعي تشه پرېږدي، او د دوو ډوله مضلعو سره کاشي کاري وکړئ.
- بشپړونکی: منظم څو مخیز او مقطعمنظم څو مخیز وګرځوئ، وجهې، راسونه او ضلعې یې وشمېرئ او د V − E + F = ۲ اړیکه پیدا کړئ. بیا یو مکعب په چاړه پرې کړئ او وګورئ چې مقطع کوم شکلونه کېدای شي.
- خارجي زاویه، ضلعې او زاویې، قایم الزاویه مثلثونهوګورئ چې خارجي زاویه د دوو داخلي زاویو له مجموعې سره مساوي ده، لویه زاویه د اوږدې ضلعې مخې ته ده، او د قایم الزاویه مثلثونو د انطباق قاعدې وکاروئ.
- وترونه، هندسي محلونه او د ترسیم څلور پړاوونهووینئ چې له مرکز څخه د وتر منځنی ټکی ته قطعه خط پر وتر عمود دی، تر وتر پورې واټن ومومئ او د هندسي محل په ترسیم کې د حلونو شمېر وشمېرئ.
- مخروطي مقاطع: د مخروط پرېکولمخروط په بېلا بېلو مستويو پرې کړئ او ووینئ چې دایره، بیضوي، پارابولا او هایپربولا له کومه راځي. بیا ووینئ چې د محراق او دایرکټریکس تر واټنونو نسبت څه جوړوي.
- منظمې مضلعې او د مثلث بهرنۍ محاطي دایرهد یوې منظمې مضلع ضلعه او اپوتیم د محیطي یا محاطي دایرې له شعاع څخه ومومئ، او د مثلث د بهرنۍ محاطي دایرې شعاع.
- په فضا کې کرښه او مستويد یو مکعب مستطیل په مرسته پیدا کړئ چې په فضا کې دوې کرښې سره څنګه موقعیت لري: موازي، متقاطع که متنافر. بیا کرښه او مستوي، پر مستوي عمود کرښه او د دوو متنافرو کرښو تر منځ زاویه وڅېړئ.
- د فضا د هندسې اصول او مقطعېله درېیو نقطو مستوي تېره کړئ، هغه خط ومومئ چېرته چې دوې مستوې سره رسېږي، له مستوي سره موازي خط وپېژنئ او د مکعب د مقطع شکل ونوموئ.
- موازي مستوې، تصویر او عمودوګورئ چې دوه مستوې موازي دي که نه، د موازي مستویو تر منځ قطعه خطونه پرتله کړئ، د موازي تصویر اوږدوالی ومومئ او له یوه ټکي څخه تر مستوي واټن وټاکئ.
- د مضلعو تناظر، داخلي او خارجي زاویېد منظمو مضلعو د تناظر محورونه وشمېرئ، د هر کونج زاویه ومومئ او وګورئ چې خارجي زاویې ولې تل ۳۶۰ درجې کېږي.
- د دایرې قضیې او د مثلث د زاویې د ناصف قضیهثابته کړئ چې له یوه ټکي نه دوه مماسونه مساوي دي او زده کړئ چې د مثلث د زاویې ناصف مقابله ضلعه د نورو دوو ضلعو په نسبت ویشي.
- د ټکي له لارې عمود او موازي، او له ورکړل شویو معلوماتو ترسیمد کرښې له بهر ټکي څخه عمود او موازي رسم کړئ، بیا په پرکار سره معین او متساوي الساقین مثلث جوړ کړئ، خو لومړی مسئله تحلیل کړئ.
- د زاویې او مثلثونو ترسیم په پرکار او خط کشله ورکړل شوې زاویې سره مساوي زاویه رسم کړئ؛ مثلث د دوو ضلعو او تر منځ زاویې، د یوې ضلعې او دوو ګاونډیو زاویو، او قایم الزاویه مثلث د ضلعې او وتر په مرسته جوړ کړئ.
- په ترسیمي مسئلو کې هندسي محلونه: نقطه، دایره، مثلثغوښتل شوې نقطه د دوو هندسي محلونو د تقاطع په توګه ومومئ. درې دندې: پر کرښه نقطه چې له بلې کرښې څخه ورکړل شوی واټن ولري، هغه دایره چې په ورکړل شوي ټکي کې کرښه لمس کړي، او مثلث له یوې ضلعې او د محیطي دایرې شعاع څخه.
- غیر مستقیم ثبوتزده کړئ چې قضیې په غیر مستقیم ثبوت سره ثابتې کړئ: فرض کړئ چې حکم ناسم دی، تضاد ته ورسېږئ او پایله ترې واخلئ.
- سیوا، منلاوس، بطلمیوس او د اویلر کرښهاختیاري کیسې: کله درې سیوایي کرښې په یوه نقطه کې سره ګډېږي، کله درې نقطې پر یوه کرښه پرتې وي، د دایرې په منځ کې د څلور ضلعي د قطرونو ضرب، او د اویلر کرښه.
- نیم خطونه، قطعه خطونه او قطرونهټکي په توريو ونومئ، نیم خطونه او قطعه خطونه وپېژنئ، د ورکړل شوي اوږدوالي قطعه خط رسم کړئ او د مضلع قطرونه د لږ ساده مسئلې په حل سره وشمېرئ.
- تناظر او د کاغذ ونیمولهغه شکلونه وشمېرئ چې د تناظر محور لري، انعکاسي نیمایي یې رسم کړئ او وړاندوینه وکړئ چې کاغذ ونیمه کړو او پرې کړو، څه جوړېږي.
- د هندسې د مسئلو حل: فرض، حکم او پلانفرض له حکم څخه جلا کړئ، د ثبوت له لیکلو مخکې پلان جوړ کړئ، په عمود او د فیثاغورث په قضیې تر ټولو لنډه لاره ومومئ، او د دایرې کارونې وګورئ.
- د څلورضلعیو کورذوزنقې، پتنګ ډوله څلورضلعي، متوازي الاضلاع، معین، مستطیل او مربع د تناظر او قطرونو له مخې ترتیب کړئ، او یو پتنګ ډوله څلورضلعی رسم کړئ.
- په قایم الزاویه مثلث کې متریکې اړیکې او د تناسب خاصیتونهپه قایم الزاویه مثلث کې پر وتر ارتفاع رسم کړئ او وګورئ چې AH² = BH×HC؛ په دې سره ضلعه ومومئ، د تناسب د جمع خاصیت وکاروئ او د همدې شکل له مخې د فیثاغورث قضیه جوړه کړئ.
- تالس، محیطي دایره او مماسد تالس قضیه او د هغې عکس ثابت کړئ، د مثلث محیطي دایره ومومئ او د تالس دایرې په مرسته مماس رسم کړئ.
- دایره او قرصدایره له قرص څخه توپیر کړئ، مرکز او شعاعګانې ومومئ او هغه نقطې وښیئ چې پر دایره پرتې دي.
- د پلان له مخې د مثلث رسمولد مثلث رسمولو لپاره پلان انځور، شمېرل شوی توضیح او د حلونو شمېر، همدارنګه له ارتفاع سره.
- جمله، عکس او ثبوتقضیه په معلومه او غوښتل شوي وویشئ، د قضیې عکس جوړ کړئ او په یوه مخالفې بېلګې یې رد کړئ، او د فیثاغورس قضیه ثابته کړئ او وکاروئ.
- د جامدو جسمونو مایل انځورد ژوروالي څنډې د q په پیمانه لنډې کړئ، غلط مایل انځورونه ومومئ او د مایل انځور له مخې ریښتینې اندازې ولولئ.
- د تناظر سطحې او مقطعونهد جسمونو د تناظر سطحې وشمېرئ، د استوانې او مخروط محوري مقطعونه ومومئ او د فضا د قطر لپاره درې بعدي کوردینات وکاروئ.
- په مختصاتي سیستم کې تجانسد تجانس له وکتوري قاعدې سره د ټکو او کرښو تصویرونه حساب کړئ، نسبت k پیدا کړئ او د مثلث د ثقل مرکز پیدا کړئ.
- عمود او مایل خط، د کرښې او مستوي تر منځ زاویه، دوه اړخیزه زاویهله عمود او تصویر څخه مایل خط ومومئ، د کرښې او مستوي تر منځ زاویه او دوه اړخیزه زاویه د خطي زاویې په مرسته اندازه کړئ، بیا وښیئ چې دوه مستويې عمود دي.
- متوازي الاضلاع، مستطیل، معین او مربعد څلور ضلعي عنصرونه، د متوازي الاضلاع ځانګړتیاوې او معیارونه، او د مستطیل او معین قطرونه زده کړئ.
- ذوزنقه، منځنۍ کرښه، محیطي څلورضلعي او د ذوزنقې مساحتد متساوي الساقین ذوزنقې ځانګړتیاوې، منځنۍ کرښه، د هغه څلورضلعي شرط چې دایره پکې ږدل کېږي، او د ذوزنقې مساحت زده کړئ.
- د مثلثونو د ورته والي دویم او دریم حالتورته مثلثونه د دوو ضلعو او د هغو تر منځ زاویې په وسیله، یا د درېیو ضلعو په وسیله ومومئ، نامعلومه ضلعه حساب کړئ، او د هغې زاویې له غلطۍ ځان وساتئ چې د ضلعو تر منځ نه وي.
- قطعه خط، اوږدوالی یې او مستقیم خطقطعه خطونه د یو پر بل ایښودلو په وسیله پرتله کړئ، د AB اوږدوالی له دوو برخو ومومئ، د نقطو تر منځ واټن اندازه کړئ او ووایاست چې له دوو نقطو څو خطونه تېرېږي.
- مضلعې، مساوي شکلونه، مساحت، آر او هکتارمضلع د راسونو په نومونو ونومئ، په سر پر سر ایښودلو سره مساوي شکل ومومئ، مساوي شکلونه له مساوي مساحت لرونکو شکلونو څخه توپیر کړئ او د ځمکې مساحت په هکتار بدل کړئ. S = a·b فورمول په څلورم ټولګي کارځای کې دی.
- استوانه او مخروط: قاعدې او خلاص شوی شکلد استوانې او مخروط قاعدې ومومئ او د استوانې جانبي مساحت د خلاص شوي شکل له مخې حساب کړئ.
- نقطه، مستقیم خط، منحني خط، نیم خط، قطعه خط، منکسره کرښهپه انځور کې نقطې، مستقیم خطونه او منحني خطونه ومومئ. د هغو برخو نومونه ووایاست چې نقطې یې په خط کې جوړوي او د منکسرې کرښې اوږدوالی اندازه کړئ.
- قاطعونه او مماسله یوه بهرني ټکي P نه پر دایره دوه قاطعونه، یا یو قاطع او یو مماس رسمېږي. د برخو حاصل ضربونه سره مساوي دي: PA · PB = PC · PD او PT² = PA · PB.
- هغه موازي کرښې چې مستوي پرې کوي او موازي تصویرد هغو موازي کرښو د قطعه خطونو اوږدوالي ومومئ چې مستوي پرې کوي، او د موازي تصویر لاندې د قطعه خطونو نسبتونه.
- د منځنۍ خط دوه چنده کول او د وارینیون قضیهمنځنۍ خط وغځوئ چې متوازي الاضلاع ترلاسه شي او د منځنۍ خط لپاره حد ثابت کړئ؛ د هر څلورضلعي د ضلعو منځني ټکي سره ونښلوئ او وګورئ چې کوم شکل جوړېږي.
- د مثلثونو د مساحتونو نسبتونهمساحتونه پرته له حساب کولو سره پرتله کړئ: هغه مثلثونه چې ګډ ارتفاع لري، مساحتونه یې د قاعدو په نسبت وي؛ میانه مثلث نیمایي کوي؛ او په موازي کرښه حرکت کوونکی راس مساحت نه بدلوي.
- په عمل کې ورته والی: د سیوري له مخې لوړوالی، ناخوړل شوی واټنورته مثلثونه په ځمکه کې د اندازه کولو لپاره وکاروئ: د ونې لوړوالی د سیوري له مخې، د سیند پر مخ واټن او د ورته شکلونو د مساحتونو نسبت. حل داسې ولیکئ: راکړل شوي، غوښتل شوي، حل، ځواب.
- د وترونو، قاطعونو او مماس تر منځ زاویېهغه زاویه چې راس یې پر دایره نه وي، په قوسونو اندازه کېږي: د دوو متقاطعو وترونو تر منځ د قوسونو د مجموعې نیمایي؛ د دوو قاطعونو تر منځ د قوسونو د توپیر نیمایي؛ د مماس او وتر تر منځ د قوس نیمایي.
- دوې دایرې او د دوی ګډ مماسونهد دوو دایرو موقعیت د مرکزونو تر منځ واټن d او شعاعګانو R او r پورې تړلی دی: یوه دایره وخوځوئ او وګورئ چې څو ګډ ټکي او څو ګډ مماسونه لري.
- د فضايي هندسې بیاکتنهد متنافرو خطونو د ثبوت سم راتلونکی ګام وټاکئ، بیا د خطونو تر منځ زاویې، موازي تصویر او پر مستوي عمود خط پوښتنې حل کړئ.
- ځان وازمویئ: څو مخیزونه، دورانی جسمونه، حجمونهد الف، ب، ج، د انتخابونو سره ازموینې د منشور، استوانې او مخروط د جانبي سطحې مساحت او د کرې د حجم په اړه.
- څو مخیزونه: مخونه، ضلعې، راسونهد هرم، منشور او مکعب مستطیل قاعدې، جانبي مخونه او ضلعې ومومئ، او مخونه او ضلعې یې وشمېرئ.
- د مضلع د قایم تصویر مساحتد تصویر د مساحت قضیه S′ = S·cosα وکاروئ او د تصویر یا پخپله د مضلع مساحت ومومئ.
- چېرته چې خط مستوي سره رسېږي، چېرته چې دوې مستوې سره رسېږيد فضا د هندسې د اصولو په وسیله هغه ټکی رسم کړئ چېرته چې خط د مکعب قاعده مستوي سره رسېږي، او هغه خط چېرته چې د څلور مخیز دوې مستوې سره رسېږي.
- هغه نقطه چې د مضلع له راسونو یا ضلعو څخه په مساوي واټن دهکه M د مثلث له راسونو څخه په مساوي واټن وي، د هغې تصویر د محیطي دایرې مرکز دی؛ که له ضلعو څخه په مساوي واټن وي، د داخلي دایرې مرکز. له M څخه تر مستوي پورې واټن ومومئ.
- زاویه، قایمه زاویه، مستطیل او مربعزاویه په توریو نوم کړئ، قایمه زاویه په نمونې سره ومومئ، مستطیل له نورو څلور ضلعیو او مربع له نورو مستطیلونو وپېژنئ.
- منظمې مضلعې: زاویه، د ضلعو شمېر، رسمد یوې منظمې مضلع د ضلعو شمېر د هغې له زاویې ومومئ، وګورئ چې داسې مضلع شته که نه، او په R وترونو شپږ ضلعي او ۲n ضلعي جوړه کړئ.
- په فضا کې تناظر او هوموتیتي (لوی کول)د یوه ټکي انځور په سطحه کې ومومئ، وګورئ چې په لوی کولو کې حجم څنګه زیاتېږي، او د مکعب او کرې ټولې د تناظر سطحې ومومئ.
- څو مخیزونه، پرانیستل شوي شکلونه او تر ټولو لنډه لاروټاکئ چې کوم څو مخیزونه محدب دي، د اویلر فورمول وکاروئ، یو منشور خلاص کړئ او په خښتې باندې د میږي تر ټولو لنډه لار ومومئ.
- محاط او محیط جسمونهد مکعب یا مخروط په دننه کې د محاطې کره شعاع، د مکعب مستطیل شاوخوا د کرې شعاع او د منشور شاوخوا د استوانې حجم پیدا کړئ.
- پر مربعدار کاغذ رسموللکه په تمرین کتابچه کې، پر مربعدار کاغذ رسم کړئ: ورکړل شوي اوږدوالي قطعه خط، مربع، مستطیل او هغه شکل چې ورکړل شوی محیط ولري.
- گونیا او د مستطیلونو شکلونهد گونیا په مرسته قایمه زاویه او عمود رسم کړئ او د هغه شکل مساحت ومومئ چې له مستطیلونو جوړ وي.
- د مکعبونو ودانۍ: نقشې او لیدونهد ارتفاع لرونکې نقشه ولولئ، مخکینی او پورتنی لید رسم کړئ او حساب کړئ چې یوه ودانۍ تر ټولو ډېره څو مکعبونه لرلای شي.
- مربعدار کاغذ: جوړول، لارې او د خانو له مخې مساحتپر شبکه یو مستطیل جوړ کړئ، د یوې لارې اوږدوالی اندازه کړئ، د یو شکل مساحت د خانو له مخې پیدا کړئ او د ګرد شکل مساحت په شفاف شبکه اټکل کړئ.
- گونیا، مسطره او زاویهپیماد گونیا په مرسته عمود او موازي کرښه رسم کړئ، د زاویهپیما په مرسته زاویې اندازه او رسم کړئ، او د مثلث ارتفاع رسم کړئ.
- کاشيکاري او تزیینی پټۍپه کاشيکارۍ کې د یوه ټکي شاوخوا شکلونه وشمېرئ، تزیینی پټۍ په ښوولو او په انعکاس سره دوام ورکړئ، او د تناظر محورونه ومومئ.
- پرله پسې تبدیلونهدوه تبدیلونه یو په بل پسې وکاروئ، د یوه متحرک ټکي حامل ګراف پیدا کړئ او ترتیب ته پام وکړئ.
ځای، لوری او تناظر
۶
- ځای، لوری او څرخېدلکیڼ او ښي لوری، پورته او لاندې او «ترمنځ» پیدا کړئ. بیا غشی څلورمه برخه، نیمه او درې څلورمې برخې څرخ کړئ.
- مختصات او انتقالټکي د هغوی د مختصاتو له مخې د مختصاتو په مستوي کېږدئ، د یوه شکل ورک شوی راس پیدا کړئ او شکلونه انتقال کړئ.
- انعکاس، دوران او مرکزي تناظرد مختصاتو په څلورو ناحیو کې ټکي کېږدئ، شکلونه د یوه محور په نسبت انعکاس کړئ، د یوه ټکي شاوخوا یې دوران ورکړئ او د تناظر مرکز پیدا کړئ.
- هندسي بدلونونه او تجانسوګورئ کوم بدلونونه اوږدوالي، زاویې او د شکل لوری ساتي، یو شکل له یوه مرکز څخه په ۲ او ۱۲ ضریب تجانس کړئ، د تجانس مرکز پیدا کړئ او وګورئ چې مساحت څو چنده کېږي.
- انعکاس او دورانیو شکل د عمودي کرښې، مایلې کرښې او د x محور په نسبت انعکاس کړئ، شکل له نیمایي څخه بشپړ کړئ، شکلونه د بېلابېلو ټکو شاوخوا وګرځوئ او د انځور مختصات ومومئ.
- د حرکتونو ترکیب، تناظر او د انعکاس چلپرله پسې دوه انعکاسونه، سر خورېدونکی انعکاس، د مضلع د تناظر محورونه او په انعکاس سره د تر ټولو لنډې لارې موندل وپېژنئ.
الګوګانې او ترادفونه
۸
- تکراري بڼې او عددي بڼېهغه شکلونه او عددونه چې د یوه قاعدې سره یو د بل پسې راځي. بڼه پیدا کړئ، دوام یې ورکړئ او سمه یې کړئ.
- د ننوتو او وتو ماشین او د ترادف قاعدهیو عدد ماشین ته ننوځي او بل عدد ترې وځي. د ماشین کار ومومئ، بیا د عددي ترادفونو قاعده.
- د بڼې عمومي حد او هندسي ترادفد اورلګیتونو له بڼې جدول جوړ کړئ، عمومي حد پیدا کړئ او شلم شکل پرته له رسمولو وشمېرئ. بیا هغه ترادفونه وګورئ چې هر ځل ضربېږي.
- ترادف، nم حد او بیرتهراګرځېدونکې اړیکهپه aₙ نښه حدونه حساب کړئ، ترادف د بیرتهراګرځېدونکې اړیکې له مخې جوړ کړئ، متناوب ترادف وپېژنئ او مثلثي عددونه وشمېرئ.
- سیګما او د سلسلو مجموعهد Σ نښه ولولئ، د حسابي او هندسي ترادف د حدونو مجموعه حساب کړئ او وګورئ چې ولې لایتناهي سلسله ځینې وخت عدد کېږي.
- ځانګړې مجموعې، توپیر او ماډل جوړونهد مربعونو مجموعه جوړه کړئ، یوه مجموعه د توپیرونو په طریقه جمع کړئ، د دویمې درجې ترادف nم حد ومومئ او یوه واقعي پوښتنه په حسابي سلسله حل کړئ.
- د ترادف ګراف، صعودي او محدودترادف د نقطو (n, a_n) په توګه رسم کړئ: حسابي ترادف پر کرښه او هندسي پر منحني پروت دی. بیا وټاکئ چې ترادف تل زیاتېږي او که له حده ښکته پاتې کېږي.
- د عددونو بڼې: منظم جمعونه، آینهیي عددونه او د عددونو دیوالمنظم جمعونه دوام ورکړئ، قاعده ومومئ، آینهیي عددونه جوړ کړئ او د عددونو په دیوال کې ورک خښت حساب کړئ.
الجبر
۴۷
- د عملیو ترتیب، د عدد پر ځای توری او فورمولافادې ګام په ګام او په سم ترتیب حساب کړئ. بیا د عدد پر ځای یو توری کېږدئ او له فورمول سره کار وکړئ.
- الجبري افادې، مشابه حدونه او عددي قیمتد الجبري کاشیو په مرسته افادې جوړې کړئ، مشابه حدونه یو ځای کړئ او ساده یې کړئ، بیا د x پر ځای عدد کېږدئ او د افادې عددي قیمت پیدا کړئ.
- معادله او د لومړۍ درجې معادلې حل په تلهمعادله د یوې برابرې تلې په څېر ده. عددونه وازمویئ، بیا هغه معادلې حل کړئ چې x په یوه یا دواړو خواوو کې لري، کسر یا قوس لري؛ هر څه چې له یوې پلې سره کوئ، له بلې سره یې هم وکړئ.
- د متني مسئلو لپاره د معادله جوړولمجهول په یوه توري وښایئ، مسئله په یوه معادله بدله کړئ، حل یې کړئ او ځواب په خپله مسئله کې وازمویئ.
- په قوس کې ضرب او په فکټورونو تجزیهقوس د یوه مستطیل په څېر وګورئ: د ټوټو په مرسته د مستطیل مساحت رنګ کړئ او قوس رفع کړئ؛ بیا سرچپه کار وکړئ او د مستطیل ضلعې پیدا کړئ چې افاده تجزیه کړئ.
- د دوه حده افادو ضرب او مطابقتونهدوه قوسونه د ټوټو د یوه مستطیل په څېر او په جدول کې ضرب کړئ، وګورئ چې ولې د دوو حدونو د مجموعې مربع دوه منځنۍ پټې لري او مطابقت له معادلې څخه توپیر کړئ.
- نامساوات، انتروالونه او د نامساواتو حلد یوه نامساوات حلونه د عددونو پر محور وښیئ: ډکه یا خالي دایره، قطعه خط یا نیم خط. بیا خطي نامساوات حل کړئ او وګورئ چې ولې په منفي عدد ضربول د نامساوات لوری اړوي.
- پولینومونه: معیاري بڼه، تفریق او ضربپولینوم په معیاري بڼه ولیکئ، په قوسونو تفریق کړئ، درې حده په دوو حدونو کې په جال ضرب کړئ او د ضرب حاصل په توان پورته کړئ.
- د دوه مجهوله خطي معادلو سیستمهغه ټکی پیدا کړئ چې په دواړو معادلو کې صدق کوي: د دوو کرښو د تقاطع له ځای یې ولولئ، دویمه کرښه رسم کړئ، یو مجهول افنا کړئ، له موازي کرښو سره آشنا شئ او دقیق حل پیدا کړئ.
- د دویمې درجې افادو تجزیه او نور مطابقتونهد دویمې درجې افادې ټوټې د مستطیل په شکل کېږدئ چې دوه قوسونه یې پیدا شي، د صفر جوړو په مرسته منفي نښې وګورئ، لومړی ګډ فکټور بهر کړئ او د مکعبونو له مجموعې سره بلد شئ.
- د دوو نامعلومو معادلې او سیستمونههغه جوړې ومومئ چې په یوه دوه نامعلومه معادله کې صدق کوي، ګراف یې رسم کړئ، له یوې مسئلې سیستم جوړ کړئ او ځواب یې ومومئ.
- الجبري کسري افادېد یوې کسري افادې صورت او مخرج په فکټورونو تجزیه کړئ او مساوي فکټورونه ساده کړئ. لومړی وګورئ چې x کوم قیمتونه نه شي اخیستلی؛ بیا کسري افادې د ګډ مخرج سره جمع او تفریق کړئ او د ساده کولو له لارې یې تقسیم کړئ.
- په ډلبندۍ تجزیه او د مکعبونو مطابقتونهڅلور حده پولینوم په ډلبندۍ سره تجزیه کړئ، د مکعبونو مجموعه او توپیر تجزیه کړئ او کله چې څو طریقې سره جوړېږي، پوه شئ چې له کوم ځای پیل کړئ.
- دویمه درجه معادله: تجزیه، د مربع تکمیل او د محمد بن موسی فورمولدویمه درجه معادلې د تجزیې په مرسته حل کړئ، د محمد بن موسی خوارزمي په څېر د ټوټو په مرسته مربع بشپړ کړئ او د دیسکریمینانت په مرسته وګورئ چې معادله څو حلونه لري.
- پولینومونه او د هغوی وېشد پولینوم درجه او معیاري ترتیب، بیا د پولینومونو وېش د ضرب د جدول په سرچپه ډکولو، د پاتې سره او د هغو توانونو سره چې نشته.
- د هورنر جدول او تام جذرونهپولینوم په x − a وېشئ د هورنر جدول په مرسته، پاتې ومومئ او د ثابت حد د قاسمونو په منځ کې تام جذرونه ولټوئ.
- د علامو ټاکل او کسري نامساواتومومئ چې یوه افاده چېرې مثبته او چېرې منفي ده: صفرونه یې په نښه کړئ، د محور لاندې د علامو جدول ډک کړئ او د یوه نامساوات لکه x − ۱x + ۲ ≥ ۰ حل ولولئ.
- دوه متحوله خطي نامساوات او د حل ناحیهسرحدي کرښه رسم کړئ، ډکه یا ټکيټکي یې کړئ، یو ټکی وازمویئ او هغه اړخ توروئ چې صدق نه کوي؛ بیا د دوو یا درېیو نامساواتو د حل ناحیه پیدا کړئ.
- عددي نامساوي او ځانګړنې یېعددونه د توپیر a − b په علامې پرتله کړئ، نامساوي ثابتې کړئ، نامساوي خوا په خوا جمع کړئ او د یوې افادې قیمت اټکل کړئ.
- د یو نامعلوم لرونکو خطي نامساوي سیستمد سیستم هره نامساوي حل کړئ، ځوابونه پر کرښه وښیئ او ګډه برخه یې ومومئ: یوه برخه، یو عدد یا تش سیټ.
- د دوو نامعلومو معادلو سیستمد هغه سیستم ځواب چې یوه دویمې درجې معادله لري، د ګرافونو د ګډو نقطو په توګه ومومئ، په تعویضي طریقه یې حل کړئ او له یوې مسئلې سیستم جوړ کړئ.
- د معادلو سیستم: تعویضي طریقهد یوه نامعلوم افاده په بله معادله کې کېږدئ، قوس وساتئ، لومړی یو نامعلوم یوازې کړئ او ځواب په ګراف او په دواړو معادلو کې وازمویئ.
- ناطقې او جذري معادلېکسري معادلې او هغه معادلې چې جذر لري حل کړئ او اضافي جذرونه په آزموینې سره وغورځوئ.
- د جذرونو مجموعه او ضرب، د دویمې درجې ته د اړولو وړ معادلې او د کرښې او پارابولا تقاطعله ضریبونو د جذرونو مجموعه او ضرب ولولئ، د x څلورم توان معادله د متحول په بدلولو حل کړئ او د کرښې او پارابولا تقاطع ومومئ.
- د پاتې مانده قضیه، د فکټور قضیه او د پولینوم جذرونهپاتې مانده پرته له وېشلو پیدا کړئ، فکټور د فکټور په قضیه وپېژنئ، د دریمې درجې معادلې جذرونه ومومئ او ضریبونه له جذرونو ولولئ.
- دوهم درجه نامساوي او پارامتردوهم درجه نامساوي د فکټورونو په علامه حل کړئ او وګورئ چې په معادله کې یو بل توری څنګه د جذرونو پوښتنه په نامساوي بدلوي.
- د فورمول موضوع بدلولپه فورمول کې یو توری یوازې کړئ: د تلې هماغه کارونه د توریو سره وکړئ.
- د بینوم قضیه د کسري توان لپاره او اټکلد بینوم قضیې له څو لومړیو جملو څخه کار واخلئ او د ۱ سره نږدې عددونو جذر او معکوس اټکل کړئ.
- هغه پارابولا چې له درېیو ټکو تیریږيد درېیو نامعلومو a، b، c لپاره د درېیو خطي معادلو سیستم جوړ او حل کړئ او پارابولا په ګراف کې وازمویئ.
- معادله: د نامعلوم عدد د موندلو قاعدهله یوې مسئلې معادله جوړه کړئ، د نامعلوم عدد د موندلو په قاعده یې حل کړئ او په ځای ایښودو یې وازمویئ.
- د ناطقو افادو محاسبې: تفریق، مخالف مخرجونه، توان او مطابقتناطقې افادې د علامې په بدلولو تفریق کړئ، د ګډ مخرج لپاره اړین فکټور ومومئ، له مخالفو مخرجونو سره کار وکړئ، کسر په توان پورته کړئ او مطابقت ثابت کړئ.
- همارزې معادلې، ناطقې معادلې او متنې مسئلېپوه شئ چې همارزې معادلې او اضافي جذر څه دي، ناطقه معادله په آزموینې حل کړئ او د حرکت او کار د مسئلو لپاره معادله جوړه کړئ.
- نیمګړې دویمې درجې معادلې او دویمې درجې درې حدهدرې ډوله نیمګړې دویمې درجې معادلې حل کړئ، د دویمې درجې درې حده جذرونه ومومئ او هغه د تر ټولو لوی توان د ضریب په مرسته تجزیه کړئ.
- فورمول، معادله او د معادلې جذرد واټن فورمول وکاروئ، نامعلوم عدد ومومئ، جذر په ځای ایښودو وازمویئ، حدونه له مخالفې علامې سره بلې خوا ته یوسئ او پوه شئ چې ax = b کله ځواب نه لري.
- د معادلو سیستم، د متنې مسئلو بېلګهد حرکت، کار، رقمونو او مستطیل مسئلې په معادلو واړوئ: نامعلومونه x او y وبولئ، سیستم ولیکئ، حل یې کړئ او وګورئ چې ځواب له کیسې سره جوړېږي که نه.
- په تورو افادهد تشې خونې پر ځای یو توری کېږدو او له توري سره افاده جوړوو. د توري قیمت په ځای کېږدئ او د افادې قیمت حساب کړئ.
- نامساوي له نامعلوم سره: د هر عدد اغېز پر پایلههغه نامساوي چې نامعلوم لري په دوو طریقو حل کړئ: د عددونو په آزموینې او په معادله بدلولو. ځواب په درې ټکو ولیکئ.
- د انتروالونو طریقهجذرونه په عددی کرښه وښایاست، پر هر انتروال علامه کېږدئ او د نامساوی حل ولولئ، لکه (x + ۱)x − ۴x − ۲ ≤ ۰.
- د پارامتر لرونکې معادلېپارامتر هغه عدد دی چې نه دی ورکړل شوی خو ټاکلی دی. ګراف وګورئ او په حالتونو یې وویشئ: د a د کومو قیمتونو لپاره جذرونه شته او څو؟
- د الجبری کسرونو ضرب او تقسیمالجبری کسرونه ضرب او تقسیم کړئ: تجزیه یې کړئ، ساده یې کړئ، تقسیم په معکوس کسر ضرب بدل کړئ او ووایاست چې توری کوم قیمتونه نه شی اخیستلی.
- د کسر تامه برخه او په تامو عددونو کې معادلېد الجبری کسر تامه برخه جلا کړئ، د توانونو وروستی رقمونه او پاتې په دور سره ومومئ او په تامو عددونو کې معادلې حل کړئ.
- د پارامتر لرونکې دویمه درجه معادلهلغزونکی a حرکت ورکړئ او وګورئ چې پارابولا پورته او ښکته ځی: د جذرونو شمېر د دیسکریمینانت پیروی کوی او د جذرونو علامې د ویټا قضیې.
- غیر ناطق نامساوی او معادل سیستمونههغه نامساوی چې جذر لری په معادل سیستم بدل کړئ او حل یې کړئ، د تعریف ناحیې او د ښی خوا د علامې په پام کې نیولو سره.
- د نامساوی سیستمونه او سټونه؛ توانی او لوګاریتمی سیستمونه«او» (سیستم، ګډه برخه) له «یا» (سټ، اتحاد) سره توپیر کړئ، ګډ سیستمونه او د توانی او لوګاریتمی معادلو سیستمونه حل کړئ.
- د مخلوطونو، مسبوکو او فیصدیو متني مسئلېد محلول، مسبوکې او بیې لپاره د «مخکې او وروسته» جدول جوړ کړئ، x داسې وټاکئ چې شرط سم شي او وګورئ چې ځواب له کیسې سره جوړېږي.
- د افادې جوړښت او د عملیو ترتیبد افادې اصلي عملیه ونوموئ، ګامونه په سم ترتیب وکړئ او قوسونه داسې کېږدئ چې حاصل بدل شي.
- د تشې لرونکې معادلې او معکوسې عملیېکیسه د تشې لرونکې معادلې په ډول ولیکئ، ورک عدد د معکوسې عملیې په مرسته ومومئ، د عددونو مستونه له پای نه پیل کړئ او ځواب په ځای کولو سره وازمویئ.
مختصات او د مستقیمې کرښې معادله
۱۲
- د مستقیمې کرښې میل، د y محور سره تقاطع او د مستقیمې کرښې معادلهد کرښې میل د زینې په مثلث اندازه کړئ، د y = mx + h په معادله کې m او h په لغزنده بدل کړئ، کرښه له جدول څخه رسم کړئ او د هغې کرښې معادله پیدا کړئ چې له دوو ټکو تېرېږي.
- د مستقیمې کرښې د معادلې عمومي شکل، موازي او عمود کرښې، واټن او منځنی ټکید کرښې د معادلې عمومي شکل د y = mx + h په شکل ولیکئ، موازي او عمود کرښې رسم کړئ، د دوو ټکو واټن د فیثاغورث په مرسته او منځنی ټکی د اوسط په مرسته پیدا کړئ.
- د کرښې ټوټې ویشل په یو نسبت او له کرښې نه د ټکي واټنهغه ټکی پیدا کړئ چې یوه کرښه ټوټه په ورکړل شوي نسبت ویشي، او له مستقیمې کرښې نه د ټکي واټن د فورمول په مرسته ومومئ.
- د مثلث مساحت د رأسونو له مختصاتو او هندسي مسایلد مثلث مساحت د درېو رأسونو له مختصاتو پیدا کړئ او هندسي مسایل د مختصاتو په مرسته حل کړئ.
- دایره: معادله، کرښه او دایره، مماسد دایرې معادله جوړه او ولولئ، د یوې کرښې تقاطع له دایرې سره ومومئ او مماس او د مماس اوږدوالی پیدا کړئ.
- مخروطي مقاطع او پارابولاپارابولا د هغو ټکو هندسي محل په توګه وپېژنئ چې له محراق او هادي کرښې نه یې واټن مساوي وي، او معادله یې د مبدأ په رأس او په اختیاري رأس سره ولولئ.
- بیضوي، هایپربولا او کرښه د هغوی په اړهد بیضوي او هایپربولا محراقونه له معادلې پیدا کړئ، بیضوي له اختیاري مرکز سره جوړ کړئ، د هایپربولا مجانب رسم کړئ او د کرښې نسبي حالت له پارابولا سره وڅېړئ.
- پارامتري معادلې او قطبي مختصاتمنحني د پارامتري معادلو له مخې ټکي په ټکي رسم کړئ، پارامتر لرې کړئ، یوه خوځښت ته نمونه جوړه کړئ او قطبي مختصات په قایمو مختصاتو واړوئ.
- د کرښې میل او همکرښه وکتورونهد کرښې د تمایل له زاویې څخه میل k پیدا کړئ (k = tan α، د منفرجې α په ګډون)، عمود کرښې وڅېړئ، او داسې وکتور رسم کړئ چې له ورکړل شوي وکتور سره همکرښه وي.
- کرښه او محورونه: مثلث، محیط او مساحتومومئ چې کرښه ax + by = c محورونه په کوم ټکو کې پرې کوي، هغه مثلث چې جوړوي یې محیط او مساحت پیدا کړئ، او دوې کرښې په کوم ټکي کې یو بل پرې کوي.
- د دیترمینانت په مرسته مساحتد دوه کتارې دیترمینانت په مرسته له وکتورونو او همبستو څخه د متوازي الاضلاعو او مثلثونو مساحت حساب کړئ.
- په فضا کې د ټکي کوارډینېټونهوټاکئ چې ټکی چیرې پروت دی، بیا د دوو ټکو تر منځ واټن، د قطعې منځنی ټکی او متناظر ټکی د کوارډینېټونو له مخې پیدا کړئ.
تابع او ګراف
۳۲
- رابطه، مرتبه جوړه او تابعرابطه د غشي په ډیاګرام وښایئ، مرتبې جوړې کارتیزیني مستوي ته یوسئ، وټاکئ چې کومه رابطه تابع ده او د عمودي کرښې ازموینه پر یو ګراف وازمویئ.
- واقعي ګرافونه، چټکتیا او ودهله د واټن ـ وخت ګراف نه ولولئ چې کله درېدلي یو او په کومه چټکتیا تللي یو، د یوې پلي تګ ګراف رسم کړئ، د بوتل ډکېدل له ګراف سره سمون کړئ او دوه چنده کېدونکې وده له ثابتې ودې سره پرتله کړئ.
- د دویمه درجه تابع ګراف (پارابولا)د y = x۲ − ۲x − ۳ جدول له منفي xونو سره ډک او رسم کړئ، وګورئ چې د پارابولا لاندې برخه ولې ګردې ده، جذرونه، د y محور سره تقاطع او د پارابولا راس له ګراف نه ولولئ او وګورئ چې په y = ax۲ کې a څه کوي.
- د f(x) علامه، د تعریف ناحیه او د قیمتونو ناحیهد تابع قیمت له قاعدې نه حساب کړئ، د یوې وتلې ورودي پیدا کړئ، د یو کسر او یوه جذر د تعریف ناحیه ولیکئ او د قیمتونو ناحیه له ګراف نه ولولئ.
- د مطلقه قیمت تابع او د صحیح جز تابعمطلقه قیمت په جدول او ګراف کې وګورئ، د مطلقه قیمت معادله د ګراف او کرښې له دوو تقاطعګانو سره حل کړئ، د صحیح جز زینې ولولئ او د موټر کرایه چې زینهزینه پورته ځي رسم کړئ.
- متزایده او متناقصه تابعونه، جفته او طاقه تابعونههغه انتروالونه پیدا کړئ چې ګراف پکې پورته یا ښکته ځي، ټکي د y محور او مبدأ په اړه قرینه کړئ او د f(−x) په مرسته وازمویئ چې تابع جفته ده، طاقه ده که هېڅ یو.
- د تابعونو جمع، ترکیب او معکوسدوه تابعګانې سره جمع کړئ، د مرکبه تابع په ترکیب کې ترتیب مراعات کړئ، د یوې ماشین معکوس د ګامونو په ګرځولو پیدا کړئ، د معکوس ګراف د y = x په اړه په قرینه کولو جوړ کړئ او د افقي کرښې په مرسته وازمویئ کومه تابع معکوس لري.
- د ګراف انتقال، انعکاس او کششپه لغزندو د y = (x − h)۲ + k ګراف انتقال کړئ، د پارابولا راس له ګراف نه ولولئ، وګورئ چې f(۲x) ټکی چېرته وړي او څو تبدیلۍ سره یو ځای پر یوه پارابولا پلي کړئ.
- دریمه درجه تابع، د پولینوم رسم او مجانبد یوې دریمې درجې تابع جدول ډک او رسم کړئ، د یو پولینوم ګراف د جذرونو او د y له محور سره د تقاطع په مرسته جوړ کړئ او د یوې ناطقې تابع عمودي او افقي مجانبونه په کرښه وښایاست.
- خطی تابع: فورمول، جدول، ګرافتابع په فورمول، جدول او ګراف وښایاست، کرښه د a او b له مخې رسم کړئ، د تابع صفر ومومئ او وګورئ چې تابع چېرته مثبته ده.
- دویمه درجه تابع او د تابع ځانګړتیاوېد پارابولا راس په فورمول ومومئ، د تابع ځانګړتیاوې له ګراف څخه ولولئ، دویمه درجه نامساوات په ګراف حل کړئ او د y = |f(x)| او y = f(|x|) ګرافونه رسم کړئ.
- عدد e، اکسپوننشیل ودې او کمښتوګورئ چې ولې (۱ + ۱n)n e ته نږدې کېږي، د y = a×ex ګراف د ورکړل شوي ګراف پر سر کېږدئ او د ودې او کمښت ماډل جوړ کړئ.
- د هر اساس اکسپوننشیل تابع او اکسپوننشیل معادلېد y = ۲x جدول ډک کړئ، وګورئ چې له ۱ څخه لوی اساس پورته ځی او د ۰ او ۱ تر منځ اساس ښکته راځی، او اکسپوننشیل معادله داسې حل کړئ چې دواړه خوا په یوه اساس ولیکئ.
- لوګاریتم او د لوګاریتم جدولوګورئ چې لوګاریتم هغه طاقت دی چې قاعده باید ورته ورسول شي، د لوګاریتم ګراف د اکسپوننشیل ګراف له هینداره جوړ کړئ او د کرکټرستیک او مانتیس په مرسته له لوګاریتم جدول او انتي لوګاریتم نه کار واخلئ.
- د لوګاریتم قوانین او معادلېد لوګاریتم د ضرب او طاقت قانون وګورئ، یوه لوګاریتمي معادله حل کړئ او د لوګاریتم په مرسته ډېټا په مستقیمه کرښه واړوئ.
- څو ضابطهیی توابع او د نښې تابع، د مطلقې قیمت ځانګړتیاوېد څو برخو تابع قیمت ولولئ، د نښې د تابع ګراف رسم کړئ، د y = |x − ۱| + ۲ ګراف د V په لیږدولو جوړ کړئ او د مطلقې قیمت نامساوات په ګراف ولولئ.
- اعظمی او اصغری قیمتونه، طاقتی توابعپه یوه سیټ کې د تابع تر ټولو لوی او تر ټولو کوچنی قیمت ومومئ، د جفت او تاق n لپاره د y = xn ګرافونه پرتله کړئ او د y = x−n ګراف وپېژنئ.
- خوځول شوی هایپربولهایپربول په b او c وښوروئ، مجانبونه، د تعریف ساحه او د قیمتونو ساحه ولولئ او د y له محور سره تقاطع حساب کړئ.
- د کرښو او پاراپولاګانو کورنۍد یوې کورنۍ پارامتر وښوروئ، د رأسونو حامل ګراف (هندسي ځای) ومومئ او د مماس پوښتنه په ممیز حل کړئ.
- اکسپوننشیل معادلې او نامساوات: لارېګډ طاقت بهر کړئ، د t = ۲ˣ په عوضولو معادله ساده کړئ، له ګراف څخه جذر ولولئ او وپوهېږئ چې نامساوات کله خپله نښه ساتی.
- د y = kx او y = √x توابع او ګرافونههایپربولا د جدول له مخې رسم کړئ، وګورئ چې څانګې یې په کومو ربعونو کې دی، له یوه ټکی څخه k ومومئ او د y = √x ګراف رسم کړئ.
- لوګاریتمی مساوات، د قاعدې بدلول او لوګاریتمی تابعد لوګاریتم اصلی مساوات وکاروئ، قاعده بدله کړئ او هغه لوګاریتمونه پرتله کړئ چې قاعده یې د ۰ او ۱ تر منځ ده.
- لوګاریتمی معادله او نامساواتهغه معادلې حل کړئ چې د لوګاریتمونو مجموعه لری، جذرونه د تعریف له ناحیې سره وسنجوئ، په t = log x عوض وکړئ، نامعلومه قاعده ومومئ او هغه نامساوات حل کړئ چې قاعده یې د ۰ او ۱ تر منځ ده.
- تابع y = x² او ګراف یېد y = x² لپاره د قیمتونو جدول جوړ کړئ، ټکی رسم کړئ، د ګراف ځانګړتیاوې وپېژنئ او معادلې x² = 4 او x² = x + 2 په ګراف حل کړئ.
- د تابع ځانګړتیاوې له ګراف څخهد یوې تابع له ګراف څخه په [−۴, ۷] کې جذرونه، هغه انتروالونه چې د تابع نښه پکې ثابته ده، متزایده انتروال او تر ټولو لوی قیمت ومومئ.
- د y = ⁿ√x ګراف او ناطق توانونهد ³√x، ⁴√x او √x ګرافونه پرتله کړئ، د n-م جذر او ناطق توان د تعریف ناحیه ومومئ او عددونه د متزایده توب په مرسته پرتله کړئ.
- ودې او کمښت: B(t) = B0 · q^tخطي، دویمې درجې او توانی (نمایي) جدولونه سره بېل کړئ، د دوه برابرېدو وخت او نیم عمر په لوګاریتم ومومئ او وګورئ چې توانی ماډل کله له واقعیت سره نه ورتهېږي.
- پولینومي تابع ګانې: پایونه، صفرونه او قاعدهد درجې او مخکښ ضریب له مخې د ګراف پایونه ولولئ، ساده او دوه ګونی صفرونه سره بېل کړئ، دوه مربعي معادله حل کړئ او د ګراف له مخې قاعده ومومئ.
- د اعظمي قیمت پوښتنې پرته له مشتقد یوې کرل شوې مستطیل، په درېیګوني کې د یوې مستطیل او د یوه بکس لپاره هدفي تابع جوړه کړئ او اعظمي قیمت د راس یا جدول له مخې ولولئ. د متغیر ساحه ولیکئ.
- د تابع ګانو کورنۍ او پارامترونهتوانی او نمایي تابع ګانې په لغزندو وښوروئ، د تعریف ساحه، د قیمتونو ساحه او مجانب ولولئ، معکوسه تابع د انعکاس په توګه ومومئ او ګراف له خپلې قاعدې سره ورته کړئ.
- ناطقې تابع ګانېعمودي مجانب له ټکي سوري سره سره بېل کړئ، حدونه ولولئ، مجانبونه ومومئ او له ځانګړتیاوو نه قاعده جوړه کړئ.
- د شرطونو له مخې د تابع قاعدهځانګړتیاوې د f، f′ او f″ په معادلو بدلې کړئ، پارامتر ومومئ او د یوې کورنۍ د اعظمي او اصغري ټکو ځای (هندسي ځای) ومومئ.
وکتورونه
۱۶
- جهت لرونکې قطعه خط، وکتور او د انتقال وکتوروکتور د پیل له ټکي څخه د پای تر ټکي پورې رسم کړئ او مختصات یې ولولئ، مساوي او معکوس وکتورونه پیدا کړئ او یو شکل د یوه وکتور په واسطه انتقال کړئ.
- د وکتورونو جمع، په وکتور کې د عدد ضرب او واحد وکتورونهوکتورونه د مثلث او متوازي الاضلاع په طریقه جمع کړئ، تفریق یې کړئ، په عدد یې اوږد یا سرچپه کړئ او هر وکتور په i او j ولیکئ.
- اضافي: وکتور په حرکت او ځای بدلون کېد یوه روبوټ حرکتونه جمع کړئ، په مخالف وکتور یې بېرته راوګرځوئ، او وګورئ چې د سیند جریان د لامبو وهونکي لاره څنګه بدلوي.
- په فضا کې وکتور: اوږدوالی، واټن او د جهت کوساینونهپه فضا کې وکتور د یو مکعب مستطیل قطر دی. د وکتور اوږدوالی، د دوو ټکو واټن، منځنی ټکی او د جهت کوساینونه د دوی له مختصاتو پیدا کړئ.
- سکالري او وکتوري ضربد دوو وکتورونو سکالري ضرب یو عدد دی او د دوی تر منځ زاویه ښیي؛ وکتوري ضرب یو وکتور دی چې پر دواړو عمود وي. دواړه محاسبه کړئ او وکاروئ.
- د وکتوري ضرب په مرسته مساحت او حجمد دوو وکتورونو د وکتوري ضرب اوږدوالی د هغوی د متوازي الاضلاع مساحت دی. د درېو وکتورونو لپاره یو دیترمینانت د متوازي السطوح حجم ورکوي.
- په فضا کې د کرښې او مستوي معادلهپه فضا کې کرښه د یوه ټکي او یوه د جهت وکتور په مرسته او مستوي د یوه ټکي او یوه نورمال وکتور په مرسته ټاکل کېږي. معادلې یې ولیکئ او ټکي وازمویئ.
- په فضا کې زاویې، تقاطع او واټند کرښې او مستوي تر منځ زاویه، د کرښې او مستوي تقاطع، د یوه ټکي واټن تر مستوي او د دوو مستوي ګانو زاویه د سکالري ضرب او معادلو په مرسته پیدا کړئ.
- په ثبوت او مسئلو حل کې وکتورونهد وزن لرونکو ټکو د ثقل مرکز، په وکتور هندسي ثبوت (د مثلث د دوو ضلعو د منځنیو ټکو نښلوونکې ټوټه) او د سرعت او متوازي الاضلاع مسئلې د وکتور په رسمولو حل کړئ.
- په سطحه کې وکتور: مختصات، اوږدوالی، سکالري ضربد وکتور مختصات او اوږدوالی، سکالري ضرب له مختصاتو او زاویې، د عمود وکتورونو شرط او د وکتورونو ترمنځ زاویه پیدا کړئ.
- د وکتورونو سکالري ضرب: اوږدوالی، زاویه، مختصاتسکالري ضرب له اوږدوالي او زاویې پیدا کړئ، د وکتورونو د مجموعې مربع حساب کړئ، د وکتورونو ترمنځ د زاویې کوساین او د مثلث زاویه له راسونو پیدا کړئ.
- په فضا کې وکتورونه: مجموعه، ضرب، همخطي او همسطحيوکتورونه د متوازي السطوح په قاعده او په مختصاتو جمع کړئ، وکتور په عدد کې ضرب کړئ او پیدا کړئ چې درې وکتورونه کله په یوه سطحه کې دي.
- په منشور او مکعب مستطیل کې وکتورونه: مساوي، مجموعه، همخطيپه منشور کې مساوي، یو لوري او مخالف لوري وکتورونه سره بېل کړئ، وکتورونه د مثلث په قاعده جمع کړئ، یو وکتور د نورو په مټ ولیکئ او همخطي وکتورونه له مختصاتو پیدا کړئ.
- وکتور د دوو وکتورونو په مرسته لیکلپه مستوي کې هر وکتور له دوو وکتورونو جوړېدای شي چې پر یوې کرښې نه وي: p = xa + yb. برخې پر جال وکاروئ، ضریبونه ومومئ، په متوازي الاضلاع کې AM ولیکئ او د تصویر اوږدوالی ومومئ.
- په فضا کې د کرښو او مستوي ځاید کرښې لپاره د ټکي ازموینه، د وکتوري ضرب په مرسته نورمال وکتور، د دوو کرښو ځای او د کرښې او مستوي غوڅېدل.
- په فضا کې واټنونهد ټکي او مستوي واټن د هیسې نورمال بڼې په مرسته، د عمود پښه، موازي مستوي او متنافره کرښې.
مثلثات
۲۰
- په قایمالزاویه مثلث کې مثلثاتي نسبتونهیو قایمالزاویه مثلث چې ۳۵ درجې زاویه لري لوی او کوچنی کړئ او وګورئ چې ضلعې بدلېږي خو نسبت یې نه بدلېږي. بیا د هرې زاویې لپاره مقابله ضلع، مجاوره ضلع او وتر پیدا کړئ او د مثلثاتي جدول په مرسته، له ماشین حساب پرته، یوه ضلع او یوه زاویه حساب کړئ.
- د ځانګړو زاویو مثلثاتي نسبتونهد یوه متساوي الاضلاع مثلث او یوې مربع په نیمایي کولو سره د ۳۰، ۴۵ او ۶۰ درجو زاویو د ساین، کوساین او تانجنت دقیق قیمتونه پیدا کړئ، تانجنت د کرښې له میل سره وتړئ او sin x = ۱۲ معادله حل کړئ.
- لوی زاویې، مثلثاتي دایره او راډیانیو ټکی په مثلثاتي دایره باندې له ۹۰ درجو لویو زاویو سره، حتا منفي زاویو سره وڅرخوئ، ساین او کوساین د هغه له ځای ولولئ، زاویه په راډیان وپیمئ او دقیق قیمتونه لکه sin۷π۶ پیدا کړئ.
- اړوندې زاویې، قوس او قطاعیو ټکی په مثلثاتي دایره باندې انعکاس کړئ چې د θ او ۱۸۰ − θ زاویو د ساین او کوساین اړیکه وګورئ، د مرجع زاویې په مرسته cos ۱۲۰° پیدا کړئ او د قوس اوږدوالی او د قطاع مساحت هغه وخت حساب کړئ چې زاویه په راډیان وي.
- د ساین او کوساین ګرافونه، دوره او د نوسان پراخوالید ساین او کوساین ګرافونه ولولئ: کوساین چېرته صفر کېږي، دوره او تر ټولو لوی قیمت په y = sin ۲x او y = ۲sin x + ۱ کې څنګه بدلېږي، او سیکانت او معکوس ساین له همدې منحنیاتو ولولئ.
- مثلثاتي مطابقتونه او ثبوتد sin۲θ + cos۲θ = ۱ او tanθ = sinθcosθ په مرسته یو نسبت له بل نسبت څخه پیدا کړئ، د یو «ثبوت» غلطه کرښه ومومئ او پوه شئ چې د یوې مطابقت ثبوت څه معنا لري.
- مرکبې زاویې، دوه چنده او درې چنده، مجموعه او د ضرب حاصلد زاویو د مجموعې فورمولونو او دقیقو قیمتونو په مرسته sin ۷۵° پیدا کړئ، له دوه چندې او درې چندې زاویې سره کار وکړئ، د ساینونو مجموعه د ضرب حاصل ته واړوئ او √۳sin x + cos x د یو ساین په بڼه ولیکئ.
- مثلثاتي دویمه درجه معادلې او سیستمونهمثلثاتي معادلې د ۰ څخه تر ۳۶۰ درجو د ټولو زاویو په موندلو سره حل کړئ: tan x = −۱، په ساین یا کوساین کې دویمه درجه معادلې (یوه لومړی مطابقت غواړي) او د دوو مجهولو x او y دوه معادلو سیستم.
- د ساین، کوساین، تانجنت قانون او فضایي مسایلپه مقیاس رسم شوي مثلثات د د ساین قانون، د کوساین قانون او د تانجنت قانون په مرسته حل کړئ، بیا له قایمالزاویه مثلثاتو کار واخلئ څو په مکعب مستطیل کې یوه زاویه پیدا کړئ.
- د مثلث مساحت: ساین، هیرون او دایرېد مثلث مساحت له دوو ضلعو او د هغوی ترمنځ زاویې یا له درېیو ضلعو د هیرون په فورمول پیدا کړئ، بیا د مساحت په مرسته د مثلث د دننه او بهر د دایرې شعاع حساب کړئ.
- تانجنت: ګراف، د تعریف ناحیه او دورهy = tan x ولولئ: په هر ربع کې نښه یې، چېرته تعریف شوی نه دی، دوره یې او د tan x = ۱ حلونه.
- جفت او تاق والی او د تقلیل فورمولونهوګورئ چې ساین، تانجنت او کوتانجنت تاق دي او کوساین جفت دی، بیا د تقلیل قاعده وکاروئ: تابع کله نوم بدلوي او کومه نښه اخلي.
- د مثلثاتي تابع ګانو ځانګړتیاوېد ساین، کوساین او کوتانجنت ځانګړتیاوې له ګرافونو ولولئ: دوره، جفت یا تاق والی، صفرونه، د کمېدو انتروالونه، د تعریف ناحیه او د قیمتونو ناحیه.
- د مثلثاتي معادلو عمومي حلونهکرښه y = b د ساین، کوساین یا تانجنت ګراف په بېشمېره ټکو کې پرې کوي. ټول حلونه په یوه فورمول سره د n ∈ ℤ لیکئ، او په هغه معادله کې چې دوهدرجهیي ته راځي، هغه جذر وغورځوئ چې کېدای نه شي. دا موضوع د افغانستان د درسي کتابونو له منځپانګې زیاتونه ده.
- د ۰° څخه تر ۱۸۰° پورې د زاویې ساین، کوساین او تانجنتساین او کوساین د واحد نیم دایرې د ټکي په کوآرډینېټونو تعریف کړئ، د پراخو زاویو قیمتونه ومومئ او sin۲α + cos۲α = ۱ وکاروئ.
- د مثلثونو حلمثلث په څلورو حالتونو کې حل کړئ: یوه ضلعه او دوې زاویې، دوې ضلعې او د هغوی ترمنځ زاویه، درې ضلعې، او دوې ضلعې له یوې داسې زاویې سره چې د یوې په مقابل کې ده. دلته هر مثلث حل کېږي؛ قایمالزاویه مثلثونه په بل کارځای کې دي.
- د کوساین د قانون پایلېد مثلث ډول د تر ټولو اوږدې ضلعې له مخې (تېز، قایم یا پراخ)، د متوازي الاضلاع د قطرونو د مربعاتو مجموعه او د AB او BC ضلعو یوه مسئله. دا د افغانستان د درسي کتابونو له منځپانګې زیاتونه ده.
- کوتانجنت، پوپاڼې او د قایمالزاویه مثلث حلکوتانجنت او اصلي مثلثاتي پوپاڼه زده کړئ، قایمالزاویه مثلثونه د وتر او زاویې یا د دوو ضلعو له مخې حل کړئ او عملي مسئلې حل کړئ. هر مثلث په نهم ټولګي کې حل کېږي؛ قایمالزاویه مثلثونه دلته دي.
- مثلثاتي نابرابرۍ او د ریښو غوراویپه ګراف کې وګورئ چې ساین یا کوساین چېرته له یوه عدد څخه پورته یا ښکته دی، او د معادلې هغه ریښې وټاکئ چې په ورکړل شوي قطعه کې پرتې دي.
- f(x) = a · sin(b · (x + c)) + dد ساین منحني امپلیتیوډ، منځنۍ کرښه، دوره او لیږد بدل کړئ، د قوس دننه لیږد سم ولولئ او ماډل د یوه ډنډ د اوبو د کچې لپاره وکاروئ.
احصائیه او ګراف
۳۲
- د ډیټا راټولول، د شمېرنې کرښې او تصویري ګرافد ټولګي له زده کوونکو وپوښتئ، په کرښو یې وشمېرئ او تصویري ګراف رسم کړئ.
- میله یي ګراف او د منکسرې کرښې ګرافله جدول څخه میلهیي ګراف او د منکسرې کرښې ګراف رسم کړئ، ویې لولئ او د هرې پوښتنې لپاره مناسب ګراف وټاکئ.
- د شمېرنې کرښې، په کرښو جمع او د لسګونو تصویري ګرافد شمېرنې کرښو په مرسته دستې کړئ او وشمېرئ، په کرښو جمع او تفریق کړئ او داسې تصویري ګراف رسم کړئ چې یو انځور ۱۰ وي.
- دایروي ګراف او اوسطدایروي ګراف رنګ کړئ او ویې لولئ، ستونونه برابر کړئ چې اوسط ومومئ، او د ډیټا ډولونه وپېژنئ.
- موډ، میانه، اوسط او د تحول ساحهد ډیټا کارتونه ترتیب کړئ چې میانه ومومئ، موډ او د تحول ساحه له ټکيلرونکي ګراف څخه ولولئ، وګورئ چې کله یو قیمت بدلېږي اوسط څنګه خوځېږي، او غوره مرکزي مقیاس وټاکئ.
- لرې پرته ډیټا او د ډیټا د دوو ټولګو پرتلهد دوو ټولګیو جوړه ټوپونه د یو مرکزي مقیاس او د تحول ساحې په مرسته پرتله کړئ، یو قیمت ډېر لرې یوسئ او وګورئ چې اوسط، میانه او د تحول ساحه څه کوي، او پرېکړه وکړئ چې یوه لرې پرته ډیټا تېروتنه ده که ریښتینې.
- د ډیټا دسته بندي، مستطیلي ګراف او د فریکونسي څو ضلعي ګرافد زدهکوونکو قدونه په مساوي اوږدوالي دستو کې کېږدئ، د کثرت او نسبي کثرت جدول بشپړ کړئ، داسې مستطیلي ګراف رسم کړئ چې مستطیلونه یې یو له بل سره نښتي وي، او د دستو منځونه سره وصل کړئ.
- د دستهبندي شوې ډیټا اوسط او ډله ییز کثرتد «د دستې منځ × کثرت» ستون په مرسته د دستهبندي شوې ډیټا اوسط ومومئ، د دوو ټولګیو اوسط سم سره یو ځای کړئ، د تجمعي کثرت ستون او ګراف یې جوړ کړئ او میانه له ګراف څخه ولولئ.
- دوه متحوله ډیټا او د تیتوالي ګرافد ډیټا جوړې رسم کړئ، د ډیټا ډول ووایئ، پیوستون تشریح کړئ، تر ټولو مناسبه کرښه وکاږئ، پرې وړاندوینه وکړئ او پیوستون د علت او معلول له اړیکې جلا کړئ.
- ټولنه او نمونه، تصادفي نمونه او د معلوماتو د راټولولو طریقېد یوه ښوونځي له ۶۰۰ زدهکوونکو څخه ۱۰ کسیزه او ۵۰ کسیزه تصادفي نمونه واخلئ او پایله یې له ټول ښوونځي سره پرتله کړئ. یو اړخیزه نمونه پیدا کړئ او د هرې پوښتنې لپاره د معلوماتو د راټولولو مناسبه طریقه وټاکئ.
- بشپړوونکی: د انحراف اوسطد هر ټکي واټن تر اوسط پورې وګورئ، د دغو واټنونو اوسط پیدا کړئ، پوه شئ چې ولې د علامه لرونکو توپیرونو مجموعه تل صفر ده، او د ډیټا دوې ټولګې د هغو د خپرېدو له مخې پرتله کړئ.
- ربعي او صندوقچه یي ګرافترتیب شوې ډیټا په څلورو برخو وویشئ، Q₁ او Q₃ ومومئ، د صندوقچه یي ګراف پنځه شمېرې په ګراف کې وښایاست او د ډیټا منځنۍ نیمایي د ربعي ګانو تر منځ واټن سره اندازه کړئ.
- واریانس، معیاري انحراف او د تغییراتو ضریبخپرېدنه د اوسط څخه د واټنونو په مربع اندازه کړئ: واریانس، معیاري انحراف او د تغییراتو ضریب چې د ډیټا خپرېدنه د مختلفو واحدونو سره پرتله کړي.
- د ډیټا شکل او نورمال منحنید مستطیلي ګراف شکل ولولئ (متناظر که کوږ)، وګورئ چې کوږوالی اوسط له میانې څخه څنګه لرې کوي او د زنګولهییزې ډیټا لپاره د ۶۸–۹۵–۹۹,۷ قاعده وکاروئ.
- پیوستون او د ریګرېشن کرښهد پیوستون ځواک له r څخه ولولئ، اوسط ټکی ومومئ، د ریګرېشن کرښه په میل او د محور له پرې کولو سره جوړه کړئ او د موجودې ډیټا دننه وړاندوینه وکړئ.
- د ساقې او پاڼې ګراف او زمانی لړۍډیټا د ساقې او پاڼې په ګراف کې ولیکئ او ولولئ، بیا یوه زمانی لړۍ د کرښیز ګراف په بڼه رسم کړئ او په متحرک اوسط یې همواره کړئ.
- نابرابرې ډلې او د دوو متحولو ډیټاد مستطیلي ګراف د مختلفو پلنو ډلو سره د فریکونسي کثافت په مرسته رسم کړئ، فریکونسي له میلې لولئ او د یوې ډلې دوه متحولونه په یو ګراف کې ولولئ.
- د بې وزلۍ کرښه، د بیو شاخص او انفلاسیوند عاید له میانې څخه د بې وزلۍ کرښه ومومئ، د بیو شاخص حساب کړئ او وګورئ چې انفلاسیون څه کوي.
- رجحان، انټرپولېشن او اکسټرپولېشند وخت لړۍ نمونه او رجحان ولولئ، د ثبت شویو قیمتونو ترمنځ (انټرپولېشن) او تر هغو وروسته (اکسټرپولېشن) قیمت اټکل کړئ.
- د ډیټا راټولول، پیمانه او د منکسرې کرښې ګرافد یوې سروې ځوابونه د کرښو په مرسته وشمېرئ، د ګراف د محور لپاره ښه پیمانه وټاکئ او د ۱۲ میاشتو د تودوخې د منکسرې کرښې ګراف ولولئ.
- په احصایه او احتمال کې فیصدد یوې سروې پایله په فیصدو ولیکئ، د دایروي ګراف د برخې له زاویې فیصد ومومئ، فیصدي دایروي ګراف رسم کړئ او احتمال په فیصدو ولیکئ.
- د متحول ډولونه، د ډیټا راټولول او اټکلکیفي او کمي متحول سره توپیر کړئ، منفصل او متصل متحول وپېژنئ، طبقاتي نمونه واخلئ، عادلانه پوښتنه ومومئ او د یوې نمونه له مخې د ټولنه اوسط اټکل کړئ.
- د ډیټا جدولونه: لوستل او ډکولیو ساده جدول ولولئ، تر ټولو لوی قیمت ومومئ، توپیر حساب کړئ او جدول له ډیټا څخه ډک کړئ.
- د ځانګړتیا له مخې دستې کولشیان د رنګ او شکل له مخې دستې کړئ، هره دسته وشمېرئ او تر ټولو لویه ومومئ.
- مهالویشونه: درسونه او بسونهد ښوونځي او د بسونو مهالویش ولولئ: درس کله پای ته رسېږي، تفریح یا سفر څومره وخت دی، او کوم بس وټاکو.
- د ساده فرضیو آزمېښت، کوواریانس او د لږ تر لږو مربعاتو طریقهوټاکئ چې د سمې سکې فرضیه په څو سرو ناشونې کېږي، د پنځو ټکو لپاره کوواریانس او د پیوستون ضریب حساب کړئ، او هغه کرښه ومومئ چې د خطاوو د مربعونو مجموعه یې تر ټولو کمه وي.
- ګډه ځانګړتیا او طبقهبنديد یوې ډلې ګډه ځانګړتیا ومومئ، شکلونه په یو وخت کې د دوو ځانګړتیاوو له مخې ډلو ته ووېشئ او بېل شکل ومومئ.
- ډیټا په انتقادي ډول لوستلډلې پرتله کړئ، د سمپسن اغېز ومومئ، د نمونې اعتبار وڅېړئ، فیصد او فیصدي نقطې سره بېل کړئ او پیوستون له سبب څخه جلا کړئ.
- مطلق او نسبي کثرتد یوې پوښتنلیک (سروې) لپاره د شمېرنې جدول جوړ کړئ، نسبي کثرت د کسر، اعشاري او فیصد په بڼه حساب کړئ او د بېلابېلو شمېر لرونکو ډلو پرتله کول زده کړئ.
- ګمراه کوونکي ګرافونههغه ګرافونه وپېژنئ چې غلطه تصور ورکوي، لکه پرې شوی محور یا بېلې کچې انځورونه، هغه په ریښتینې بڼه رسم کړئ او داسې سرلیکونه وټاکئ چې د ډیټا سره برابر وي.
- ګمراه کوونکي ګرافونه او نمونېوګورئ چې پرې شوی محور ګراف څنګه بدلوي، د یوې خبرې لپاره ګراف وټاکئ، وڅېړئ چې د پوښتنلیک نمونه استازې ده که نه، او وګورئ چې یو شان اوسط ډېر بېل خپروالی پټولای شي.
- نورمال توزیع او د σ قاعدېد ګاوس کږې μ او σ وټاکئ او د σ قاعدې ۶۸٫۳ فیصد، ۹۵٫۴ فیصد او ۹۹٫۷ فیصد وکاروئ.
احتمال
۱۸
- احتمال: خامخا، شونی، ناشونیله کڅوړې توپونه وباسئ، څرخک وڅرخوئ او د رمل دانه واچوئ. ووایاست چې هره پېښه خامخا ده، شونې ده که ناشونې.
- تجربي احتمال او نظري احتمالڅرخک وڅرخوئ، د بوتل سرپوښ واچوئ او د رمل دانه واچوئ: ۱۰ ځله، ۱۰۰ ځله، ۱۰۰۰ ځله. وګورئ چې نسبي کثرت ورو ورو احتمال ته نږدې کېږي.
- د نمونې فضا، مرکبې پېښې او مکمله پېښهد یوې سکې او یو څرخک، دوو سکو او دوو رمل دانو ټول حالتونه وشمېرئ. مطلوب حالتونه په ۶ په ۶ جدول کې پیدا کړئ او د «نه پېښېدو» احتمال د «پېښېدو» له احتمال څخه لاسته راوړئ.
- د وین دیاګرام، پېښې او دوه اړخیز جدولد یوه ټولګي ۳۰ زده کوونکي د فوټبال او شطرنج له مخې په د وین دیاګرام کې ځای پر ځای کړئ، همغه معلومات دوه اړخیز جدول ته یوسئ او بېرته یې راوړئ، پېښه د سټ په څېر وګورئ او د «یا» احتمال د جمع د قاعدې سره حساب کړئ.
- ونه ییز دیاګرام، د شمېرلو اصول او مستقلې پېښېونه ییز دیاګرام وده ورکړئ چې د جامو جوړې او د سیالۍ پایلې وشمېرئ، احتمالونه پر څانګو ولیکئ، د هرې لارې په اوږدو کې ضرب کړئ، لارې سره جمع کړئ او وګورئ چې کله مهره بېرته نه اچول کېږي څه بدلېږي.
- د احتمال قاعدې، دوامداره حالتونه او تمه شوې شمېرد هغو پایلو احتمالونه جمع کړئ چې یوځای نه پېښېږي، پیدا کړئ کومې لستونه احتمالونه کېدای شي، احتمال د اوږدوالي د برخې په توګه حساب کړئ او وړاندوینه وکړئ څو ځله پېښېږي.
- مشروط احتمالد جدول، وین دیاګرام او ونې په مرسته د یوې پېښې احتمال حساب کړئ کله چې بله مخکې پېژنئ، وګورئ ولې د «په شرط» ترتیب مهم دی او له تړلو پېښو سره آشنا شئ.
- خپلواکې پېښې او ټول احتمالپه یوه جدول وازمویئ چې دوې پېښې خپلواکې دي که نه، وګورئ ولې هغه پېښې چې یوځای نه پېښېږي خپلواکې نه دي، او د ونې لارې جمع کړئ چې د هغې پایلې احتمال پیدا کړئ چې له څو لارو نه راځي.
- تصادفي متحول او تمه شوې ارزښتد دوو تاسونو هرې پایلې ته یو عدد ورکړئ، د هغه عدد د ارزښتونو احتمال پیدا کړئ، د یوه تاس اوسط حساب کړئ او پرېکړه وکړئ چې یوه لوبه په هره اچونه کې څومره ارزښت لري.
- نابرابر چانسونه او د بیز قانونهر حالت ته خپل وزن ورکړئ او جمع یې کړئ. بیا ونه برعکس ولولئ: یو خراب پیچ موندل شوی، له کوم ماشین څخه دی؟
- دوه جملهیي او پواسن توزیعد ونې هغه لارې وشمېرئ چې دقیقاً k بریالیتوبونه لري، وګورئ د دوه جملهیي فورمول له کومه راځي او د هغو پېښو لپاره چې تصادفي رسېږي د پواسن فورمول وکاروئ.
- نورمال توزیع او معیاري نمرهله اوسط نه واټن د معیاري انحراف په حساب پر یوې عددي کرښه وښیئ، د ۶۸–۹۵–۹۹,۷ قاعده وکاروئ، معیاري نمره حساب کړئ او د یوې لکۍ احتمال پیدا کړئ.
- د نمونې اوسط، د نمونې نسبت او د مرکزي حد قضیهوګورئ د نمونو اوسط له یوازیني ارزښتونو نه ډېر لږ خپور دی، د اوسط او نسبت معیاري تېروتنه حساب کړئ او د مرکزي حد په قضیې یو احتمال پیدا کړئ.
- د تصادفي متحول واریانس، هندسي توزیع او د چبیشف نابرابريله توزیع جدول څخه واریانس حساب کړئ، د خپلواکو متحولینو د مجموعې واریانس ومومئ، «تر لومړۍ بریالیتوبه» احتمال پیدا کړئ او انحراف د چبیشف په نابرابرۍ محدود کړئ.
- هندسي احتمال، کثافت او پیوسته تصادفي متحولینپه شکل، پارچه کرښه یا قوس کې د تصادفي ټکي د لوېدو احتمال د اندازو د نسبت په توګه ومومئ، کثافت پوه شئ او یو شان او نمایي توزیع وپېژنئ.
- احتمال او ترکیبونهد یوې پېښې احتمال P(A) = m : n پیدا کړئ، کله چې د یوې ټاکنې حالتونه د ترکیبونو Cₙᵏ او ترتیبونو Aₙᵏ په مرسته شمېرل کېږي.
- د π اټکل په تصادفي ټکو او پټیوپه څلورمه برخه دایره کې تصادفي ټکي وشمېرئ او π اټکل کړئ، وګورئ چې د ټکو په زیاتېدو سره خپرېدنه کمېږي، او د پټیو له طریقې سره یې پرتله کړئ.
- یو اړخیز د معناداري آزموینهH₀ ولیکئ، په ۵ ٪ کچه د ردولو ساحه ومومئ، د لومړي ډول تېروتنه وارزوئ او پایله سم ولولئ.
سټ او منطق
۲۳
- سټونه: عنصر، فرعي سټ، اتحاد، تقاطع او مکملهد عددونو کارتونه د وین د دیاګرام په دایرو کې کېږدئ، سټ د {} قوسونو سره ولیکئ، اتحاد، تقاطع او تفاضل رنګ کړئ او د دیاګرام په مرسته وشمېرئ.
- ترتیبونه او ډلې: ترتیب او ترکیبد حالتونو ونه وده ورکړئ او وشمېرئ څوک کولای شي لومړی او دویم شي، ملګري په یوه کتار کې ودروئ او وګورئ ولې د خلکو یوه ډله له یوه ترتیب نه لږ شمېرل کېږي.
- د بېنوم قضیه او د پاسکال مثلث(a + b)³ درې قوسونه وګورئ او هغه لارې وشمېرئ چې هر جمله جوړوي، ضریبونه د پاسکال له مثلث نه ولولئ او د عددونو لرونکو پراختیاوو لپاره یې وکاروئ.
- پرته له دوه ځلې شمېرلو شمېرل او د کبوتر او ځال اصلد دوو کلبونو زده کوونکي وشمېرئ پرته له دې چې هغه څوک چې په دواړو کې دي دوه ځلې وشمېرئ، د ۲ یا ۳ مضربونه وشمېرئ او د کبوتر او ځال په اصل ډاډه شئ چې دوه شیان په یوه بکس کې راځي.
- بیاننماګانې، فرعي سټونه او د سټونو قوانینبیان له بیاننما څخه توپیر کړئ، د بیاننما د حل سټ جوړ کړئ، فرعي سټونه وشمېرئ، او د توزیعي او جذب قوانین په وین دیاګرام وڅېړئ.
- بیانونه، «او»، «یا»، «نه» او «که … نو …»وټاکئ کومې جملې بیانونه دي، «او»، «یا» او «نه» سم وکاروئ، د «که … نو …» ژمنه وازمویئ او عکسنقیض ومومئ.
- سورونه، معتبر استدلال او د دموارګان قوانین«ټول» نفي کړئ، «د ۶ هر مضرب د ۳ مضرب دی» رسم کړئ، معتبر استدلال له نامعتبر نه جلا کړئ او د دموارګان قوانین پر سیټونو وکاروئ.
- ثبوت: مستقیم، حالتونه، خلف او استقراپه الجبر ثابت کړئ چې د دوو طاقو عددونو مجموعه جفته ده، یو ادعا په حالتونو وېشلو وازمویئ، په برهان خلف ثابت کړئ چې تر ټولو لوی جفت عدد نشته او د طاقو عددونو لپاره د استقرا ګام واخلئ.
- مرتبې جوړې، رابطه او معادل رابطهA × B په ټکو وښایاست، یوه رابطه غوره کړئ، هغه معکوس کړئ ترڅو معکوسه رابطه ومومئ او وګورئ «یو شان پاتې» ولې معادل رابطه ده.
- له تکرار سره شمېرنه: ترتیبونه، ډلې او ستوري او کرښېهمرنګه مرمۍ په قطار کې ږدئ، تکراري رقمونو لرونکي کوډونه وشمېرئ، زده کوونکي په خونو وېشئ، او د ستورو او کرښو په طریقه د ګلونو غولې وشمېرئ.
- د سټ جوړولو علامه او د لامحدودو سټونو جوړه کولℕ، ℤ، ℚ او ℝ وپېژنئ، د سټ غړي له شرط څخه ولیکئ، د سټ لپاره شرط ولیکئ، او وګورئ چې جفت عددونه او طبیعي عددونه ولې «یو شان لوی» دي.
- د دوه حده ضریبونه، د خیام–پاسکال مثلث او په شمېرلو ثبوتد ملګرو ډلې په دوو ډولونو وېشئ، د پاسکال قاعده په شمېرلو ثابته کړئ، او وګورئ چې د هرې کربې مجموعه ولې د ۲ توان دی.
- ګرافونه: راسونه، ضلعې او درجهیو ګراف ولولئ: د هر راس درجه پیدا کړئ، د درجو مجموعه د ضلعو له شمېر سره پرتله کړئ، او وګورئ چې ولې ځینې ګرافونه نه شي کېدای.
- ګرافونه: احاطه کوونکي سټونهستېشنونه داسې کېږدئ چې د نقشې هر ټکی پوښل شي، او لږ تر لږه شمېر پیدا کړئ: د ګراف احاطه شمېره.
- د جمعې او ضرب اصلونه، Pₙ، Aₙᵏ او Cₙᵏد جمعې اصل له ضرب اصل څخه توپیر کړئ، د ځای بدلون، ترتیب او ترکیب فورمولونه وکاروئ، او فکتوریلي معادله حل کړئ.
- شمېرنې مسئلې: لړلیک، ونه او د ضرب اصلټول هغه ډولونه پیدا کړئ چې درې نجونې په پوړونو کې ځای پر ځای کېدای شي، د انتخابونو ونه وروزئ، او ومومئ چې د ډولونو شمېر ولې په ضرب پیدا کېږي.
- د جمعې اصل او د ضرب اصل«a یا b» او «a او b» په څو ډولونو ټاکلای شو: د جمعې اصل، د ضرب اصل، جوړې (a; b)، د سړکونو طرحه او د رقمونو مسئلې.
- سمه ده که ناسمهد میوو په اړه هغه جملې ولولئ چې «ټول»، «هر» او «ځينې» کلمې لري او وټاکئ چې سمې دي که نه.
- که ... نو ...د لارښوونو په مرسته عددونه کرښه کړئ، له «که ... نو ...» قاعدو پایله ترلاسه کړئ او د استدلال زنځیرونه جوړ کړئ.
- جهت لرونکي ګرافونه او په ګرافونو حل کېدونکې مسئلېجهت لرونکي ګرافونه ولولئ، لاس نیونې او په لیګ کې لوبې وشمېرئ او مسئله په ګراف بدلولو سره لنډه لار ومومئ.
- تړلتیا، لاره، دوره او پرته له قلم پورته کولو انځورولد ګراف تړلې برخې وشمېرئ، تاق راسونه ومومئ او وټاکئ چې ګراف پرته له قلم پورته کولو انځورولی شئ که نه.
- اړین او کافي شرطونهوټاکئ چې یو شرط کله اړین دی، کله کافي دی او کله دواړه، او غلط ادعا د نفي په مثال سره رد کړئ.
- ونې او مستوي ګرافونهونې وپېژنئ، د ونې او د پوښوونکې ونې ضلعې وشمېرئ، او د اویلر په فورمول د مستوي ګراف ناحیې وشمېرئ.
مختلط عددونه
۴
- مختلط عددونه: i، جمع، ضرب او وېشله i سره، چې i² = −۱ دی، آشنا شئ، مختلط عددونه په مستوي کې د ټکو په توګه سره جمع کړئ، د قوسونو په څېر یې ضرب کړئ او په مزدوج یې وېشئ.
- د مختلطو ریښو سره دویمه درجه معادلې او پولینومونهوګورئ چې x² + ۴x + ۱۳ = ۰ ولې حقیقي ریښې نه لري، هغه معادلې حل کړئ چې ریښې یې مختلط وي، ریښې په مستوي کې کېږدئ او د دریمې درجې معادلې ورکه ریښه ومومئ.
- د آرګند ډیاګرام: مطلقه اندازه، زاویه او ګرځولمختلط عددونه د آرګند په ډیاګرام کې د ټکو په توګه وګورئ، مطلقه اندازه او زاویه یې ومومئ، د حقیقي محور په نسبت یې عکس کړئ او په ګرځولو او غځولو یې ضرب کړئ.
- په آرګند ډیاګرام کې طاقتونه، ریښې او دایرېله e(iθ) نه د واحد دایرې د ټکي په توګه کار واخلئ، په دموآور قضیه طاقت ورکړئ، د یو عدد څلور ریښې د مربع په توګه کېږدئ او په |z − c| = r دایره رسم کړئ.
ماتریسونه
۶
- متریکس: مرتبه، عنصرونه او ځانګړي ډولونهمتریکس د جدول په څېر ولولئ: عنصر د سطر او ستون په مرسته ومومئ، مرتبه ووایاست او صفر، واحد او قطري متریکسونه جوړ کړئ.
- د متریکسونو جمع، سکالر ضرب، ضرب او ترانسپوزهممرتبې متریکسونه جمع او تفریق کړئ، په یوه سکالر کې ضرب کړئ، سطر په ستون کې ضرب کړئ او سطرونه ستونونه کړئ.
- دیترمینانتد ۲ × ۲ او ۳ × ۳ دیترمینانت حساب کړئ، وګورئ چې د سطرونو ځای بدلول څه کوي او دیترمینانت مساحتونه څنګه بدلوي.
- د متریکس معکوس او د سیستم حلد ۲ × ۲ متریکس معکوس د دیترمینانت په مرسته ومومئ، ۳ × ۳ معکوس د سطري عملیو په مرسته ومومئ او په هغه سیستم حل کړئ.
- د کرامر قاعده او د ګاوس د حذف طریقهسیستم په دیترمینانت (کرامر) حل کړئ، بیا په سطري عملیو (ګاوس) او وګورئ چې صفر دیترمینانت څنګه موازي کرښې ورکوي.
- متریکس د بدلون په توګهمتریکس د مستوي ټکي حرکت ورکوي: پر یوه ټکي یې ترسره کړئ، د i او j له انځور نه یې جوړ کړئ او ثابت ټکي یې ومومئ.
کلکولس (تفاضلي او انتګرالي حساب)
۲۱
- لېمیټ: یو عدد ته نژدې کېدلد هغه تابع د قیمتونو جدول چې په یوه نقطه کې تعریف شوی نه دی، همدې نقطې ته نژدې ډک کړئ، لېمیټ له ګراف نه ولولئ او وګورئ ولې د کیڼې او ښي خوا لېمیټ باید سره مساوي وي.
- د لېمیټ محاسبه: خواص، صفر پر صفر او سایند جمع او ضرب لېمیټ له ګرافونو نه حساب کړئ، د صفر پر صفر مبهم شکل په تجزیې او ساده کولو خلاص کړئ او د ساین لېمیټ وپیژنئ.
- لایتناهي لېمیټ او په لایتناهي کې لېمیټوګورئ ولې ۱x۲ د صفر شاوخوا لوی کېږي، افقي مجانب رسم کړئ، او د ∞ ÷ ∞ او ∞ − ∞ مبهم شکلونه خلاص کړئ.
- متمادیت او د بدلون سرعتوګورئ کله ګراف پرته له قلم پورته کولو رسمولی شو، د متمادي کېدو لپاره k پیدا کړئ او اوسط د بدلون سرعت ورو ورو د شېبې سرعت ته نژدې کړئ.
- له قاطع نه تر مماس: د مشتق تعریفټکی Q په ګراف کې P ته نژدې کړئ، د قاطع کرښې میل په جدول کې وګورئ چې د مماس میل ته رسیږي، مماس رسم کړئ او پوه شئ ولې په یوه کونج کې مشتق نشته.
- د مشتق قوانیند توان، ضرب، تقسیم او مرکب تابع د مشتق قاعدې په یوه نقطه کې په عدد وازمویئ او په ګراف کې د مماس او عمود سره وڅېړئ.
- د ساین، ایکسپونینشل، لوګاریتم او معکوسو توابعو مشتقد sin x مشتق د صفر شاوخوا وکتل، پر ex مماس رسم کړئ، د ln x د ex د عکس په مرسته مشتق یې پیدا کړئ او د معکوس تابع قاعده arctan ته ورسوئ.
- ضمني، پارامتري، دویمه درجه مشتق او تړلي سرعتونهد دایرې میل په یوه نقطه کې د ضمني مشتق په مرسته پیدا کړئ، د پارامتري منحني میل حساب کړئ، دویم مشتق واخلئ او پوه شئ چې د ضلع بدلون د مساحت بدلون څنګه جوړوي.
- د مماس معادله او په انتروال کې تر ټولو لوی او تر ټولو کوچنی قیمتد y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) په مرسته د مماس معادله ولیکئ، له ورکړل شوې کرښې سره موازي مماس او له یوه بهرني ټکي تېر مماس پیدا کړئ، بیا په [a;b] کې د تابع تر ټولو لوی او تر ټولو کوچنی قیمت ومومئ.
- د مشتق نخښه او د ګراف بڼهد f′(x) په نخښې متزایده تابع او متناقصه تابع ځایونه ومومئ، د ګراف پر مخ بحراني ټکي (اعظمي او اصغري) کېږدئ، د انعطاف ټکی د f″(x) په مرسته ومومئ او اعظمي قیمت حساب کړئ.
- د رول قضیه، د هوپیتال قاعده او د مکلورن لړۍهغه ټکی ومومئ چې مماس کرښه یې افقي ده، د منځنۍ قیمت د قضیې ټکی حساب کړئ، د ۰/۰ ډوله لېمیټ په مشتق ونیسئ او د cosh(x) د مکلورن لړۍ ضریب ومومئ.
- د مساحت اټکل، د ریمان مجموعه او د ذوزنقې قاعدهد y = x۲ لاندې مساحت په نري مستطیلونو او ذوزنقو اټکل کړئ او وګورئ چې کله پټۍ نرۍ شي، اټکلونه کوم عدد ته نږدې کېږي.
- له لومړني تابع څخه تر معین انتیګرال پورېلومړنی تابع ومومئ او وګورئ چې ولې +C په کار دی، معین انتیګرال په F(b) − F(a) حساب کړئ، د تابع اوسط ومومئ او له ۱x انتیګرال سره آشنا شئ.
- د انتیګرال نیولو طریقېمتحول او د انتیګرال سرونه یو ځای وبدلوئ، په قسمي طریقې انتیګرال ونیسئ، کسر په قسمي کسرونو ووېشئ، مثلثاتي تعویض وټاکئ او پرېکړه وکړئ چې غیرحقیقي (ناسم) انتیګرال قیمت لري که نه.
- په انتیګرال د مساحت، حجم او د قوس اوږدوالي حسابپه معین انتیګرال سره د یوې منحني لاندې او د دوو منحنیو ترمنځ مساحت، د دورانی جسم حجم، د قوس اوږدوالی او د قطبي ساحې مساحت حساب کړئ.
- دیفرانسیلي معادلېد بدلون یوه سرعت د دیفرانسیلي معادلې په بڼه ولیکئ، د y = Cekx حل په ګراف کې ومومئ او یوه جلا کېدونکې معادله په ابتدايي شرط سره حل کړئ.
- د ګراف رسمول او اعظمي قیمتد یو ګراف مجانبونه او مهم ټکي ومومئ او د اعظمي قیمت په مرسته داسې مسئلې حل کړئ لکه تر ټولو لویه مساحت او تر ټولو لوی حجم.
- د تابع د څېړنې پلان او ګراف رسمولتابع د پلان له مخې وڅېړئ: د تعریف ناحیه، جفت یا طاق والی، جذرونه، زیاتېدل او کمېدل، اکسټریم نقطې؛ بیا د ګراف کلیدي نقطې وټاکئ.
- د یووالي (یوشان بدلون) طرحهد مشتق له نښو څخه په هر انتروال کې په غشیو وښیئ چې تابع چیرې پورته ځي ↗ او چیرې ښکته راځي ↘، او اعظمي او اصغري ټکي پیدا کړئ.
- د f له ګراف څخه د f′ ګراف تهومومئ چېرته f′ صفر دی، د f له ګراف څخه f′ ولولئ، د انعطاف ټکی د f′ د اکسترمم په توګه ومومئ او د تر ټولو چټک زیاتوالي شېبه وټاکئ.
- د انتیګرال تابع او اساسي قضیهتر x پورې مساحتونه سره توازن کړئ، د انتیګرال تابع اکسترمم ومومئ او د J(x) = F(x) − F(a) په مرسته حساب کړئ.
د مسئلې د حل لارې
۱۷
- د مسایلو حل: شکل رسمولمسئله ولولئ. ووایئ چې څه پوهېږئ او څه غواړئ. شکل یې رسم کړئ او ځواب پیدا کړئ.
- د مسایلو حل: د خونې سره عددي جملهمسئله په یوه عددي جمله بدله کړئ. د هغه عدد پر ځای چې نه یې پېژنئ یوه خونه □ کېږدئ او پیدا یې کړئ.
- د مسایلو حل: منظم لیکل، الګو موندل، حالتونه لرې کول، اټکل او امتحاند مسئلې د حل څلور لارې: ټول حالتونه په ترتیب ولیکئ، الګو پیدا کړئ، ناشوني حالتونه کرښه کړئ، او اټکل وکړئ او امتحان یې کړئ.
- د مسایلو حل: پړاو په پړاو مسئلې، اسانه مسئله او منظم لېستلویه مسئله په څو پړاوونو ووېشئ، لومړی یوه اسانه مسئله حل کړئ، ټول حالتونه په ترتیب ولیکئ، او پخپله د حل طریقه وټاکئ.
- د مسایلو حل: د اوم ټولګي تګلارېله پیسو او لویو عددونو سره په مسئلو کې منظم لیست، زیرمسئله او ساده مسئله تمرین کړئ.
- د مسایلو حل: ګټه او بسنه کوونکي معلوماتد دوکاندار ګټه په جدول کې پیدا کړئ، او پریکړه وکړئ چې په مسئله کې کوم عددونه په کار دي، کوم نه دي، یا کوم یو نشته.
- مسئله: لنډ لیک او حلمعلومات لنډ ولیکئ، مساوات جوړ کړئ، مسئله په یوه یا دوو ګامونو حل کړئ او ځواب ولیکئ.
- مسئلې: څو ځله زیات، څومره زیات، معکوسه مسئلهیو عدد څو ځله لوی کړئ، په «څو ځله» پرتله کړئ، غیرمستقیمې مسئلې او معکوسې مسئلې حل کړئ.
- جدولي مسئلې: بیه، شمېر، لګښتلنډ لیک د «بیه، شمېر، لګښت» په جدول کې ولیکئ او د دوو ضربونو د مجموعې، توپیر او نسبت مسئلې حل کړئ.
- څو مرحلې لرونکې مسئلېساده او څو مرحلې لرونکې مسئلې سره توپیر کړئ، بیا حل په عملونو او د قوسونو سره په یوه افاده کې ولیکئ.
- د ضرب او تقسیم سره څو مرحلې لرونکې مسئلېڅو مرحلې لرونکې مسئلې حل کړئ: پاتې، د ضربونو جمع او توپیر، او څو ځله زیات یا لږ.
- مسئلې پرتله کړئ: څه بدل شول؟دوې اړوندې مسئلې پرتله کړئ، وړاندوینه وکړئ چې حل څنګه بدلېږي، او بدل شوې مسئله حل کړئ.
- معلومه، مطلوب، حل او ځوابمسئله په برخو ولیکئ: معلومه، مطلوب، حل (په پوښتنو یا په یوې افادې) او په بشپړه جمله کې ځواب.
- منطقي معمېذهني معمې حل کړئ: له اشارو جدول ډک کړئ، رښتینی او دروغجن پیدا کړئ، د سطلونو ترمنځ اوبه واړوئ او وموئ چې څوک دا کار کړی.
- لارښوونې او الګوریتمونهلارښوونې په پړاو پر پړاو تعقیب کړئ، د الګوریتم ماشین چل کړئ او د یوه پلان پړاوونه په سم ترتیب کېږدئ.
- مصرف او بدلوند ورځني مصرف («ورځنی مصرف × ورځې») او د بدلون («مخکې − وروسته») مسئلې په پړاوونو حل کړئ او ځواب ولیکئ.
- د فرمي مسئلې: اټکل که دقیق؟لوی شمېرې په پړاوونو او د مرجع اندازو په مرسته اټکل کړئ، د چټک اټکل لپاره شمېرې ګردې کړئ او وټاکئ چې کله دقیق ځواب په کار دی.