Огляд
Усі майстерні, від простих до складних.
Числа і розряди
48
- лічба і порівняння в межах 10Розклади яблука по одному, порахуй їх і порівняй. Потім познайомся зі знаками <, > і =.
- Числа до 20: десяток і одиниціЧитай і утворюй числа від 10 до 20 за допомогою двох рамок по десять. На один більше, число між і перший, другий, третій.
- Числова пряма, лічба групами, парні й непарніЗнаходь числа на числовій прямій, лічи двійками, п'ятірками й десятками та дізнайся, які числа парні, а які непарні.
- Десятки й одиниці: числа до 100Збирай десять одиниць у десяток. Утворюй і читай числа до 100 з десятків і одиниць.
- Сотні й тисячі: розряди і сума розрядних доданківУтворюй, читай і записуй числа до 10 000 за допомогою брусків, розкладай їх на розрядні доданки й порівнюй, починаючи з вищого розряду.
- Багатоцифрові числа, округлення і прикидкаЧитай і утворюй числа до мільйонів за класами з трьох цифр, округлюй до десятків, сотень або тисяч за наступним розрядом і роби прикидку суми до точного обчислення.
- Прикидка й округлення до десятків і сотеньОкруглюй числа до найближчого десятка або сотні та прикидай суми й різниці без точного обчислення.
- Від'ємні та цілі числаПродовж координатну пряму ліворуч від нуля. Познач температуру нижче нуля й глибину нижче від рівня моря, а потім додавай і віднімай стрибками.
- Округлення десяткових дробівЗбільш відрізок між двома сусідами числа й подивись, до якого з них воно ближче: округлення до одиниць, до десятих і до сотих. Потім знайди всі числа, які округлюються до того самого значення.
- Дільники, кратні і прості числаВикладай фішки прямокутником і знаходь дільники числа. Подивися, чому деякі числа дають лише один прямокутник.
- Подільність, НСД, НСК і степеніЗафарбовуй кратні в сотенній таблиці і відкрий ознаки подільності. Потім спільні кратні й дільники, квадрати і степені.
- Множення і ділення цілих чисел; модуль числаМнож і діли від'ємні числа стрибками по координатній прямій, знайди закономірність у знаках і вимірюй відстань до нуля.
- Раціональні числа: порівняння і чотири діїПознач від'ємні звичайні й десяткові дроби на одній координатній прямій, порівняй їх, потім додавай їх як переміщення і множ як розтягування та стискання.
- Решето для простих чиселЗапиши числа від 1 до 50 і викреслюй кратні, доки не залишаться лише прості числа. Потім з'ясуй, де можна зупинитися.
- Віднімання від'ємного числаЗамінюй кожне віднімання додаванням, побач віднімання від'ємного числа на прямій і обчислюй двоцифрові різниці за розрядами.
- Степені від'ємних чисел і зростання подвоєннямДотримуйся порядку дій зі степенями, зрозумій різницю між (−3)² і −3², і побач, чому послідовне подвоєння так швидко дає великі числа.
- Прості множники, НСД · НСК і точні кореніРозклади два числа на прості множники за допомогою дерева. Склади з простих множників НСД і НСК і знайди квадратний і кубічний корінь, розбиваючи множники на пари й трійки.
- Степінь із нульовим і цілим від'ємним показникомРозпиши степені у вигляді множників над рискою дробу й під нею, щоб побачити, чому a⁰ = 1 і чому від'ємний показник означає дріб. Потім застосуй властивості степеня з цілим показником.
- Властивості степеня з натуральним показникомРозпиши степені у вигляді множників над рискою дробу й під нею: при множенні множники збираються разом, при діленні однакові множники згори й знизу скорочуються.
- Ділення раціональних чиселЗнаходь обернене число до раціонального й заміняй ділення чисел із різними знаками множенням. Зрозумій, чому на нуль ділити не можна.
- Корені n-го степеня і степені з раціональним показникомВивчай корені n-го степеня через степені: парні й непарні показники, добуток коренів, а потім дробові показники, як-от 2713 і 823.
- Стандартний вигляд числаЗсувай цифри кнопками :10 і ·10, поки перед комою не залишиться одна ненульова цифра, і дивись, як показник степеня десяти показує кількість зсувів.
- Оцінка квадратних коренів; ірраціональні числа на прямійЗнайди, між якими натуральними числами лежить квадратний корінь, уточни його до десятих і сотих, підносячи до квадрата, і відрізни раціональні числа від ірраціональних на координатній прямій.
- Вирази з квадратними коренями та їх спрощенняРозклади підкореневий вираз на множники й винеси з-під знака кореня кожну пару: √12 = 2√3. Перемножуй корені, додавай подібні корені й звільняйся від ірраціональності в знаменнику дробу.
- Алгоритм Евкліда: найбільший спільний дільник (НСД)Знайди найбільший спільний дільник двох чисел ланцюжком ділень, не виписуючи дільників.
- Модуль дійсного числа та наближені обчисленняПобач модуль як відстань від початку відліку, пізнай три випадки, порівняй |a + b| із |a| + |b| і обчислюй із наближеними значеннями коренів.
- Властивості кореня, степені з раціональним показником, ірраціональні рівнянняЗнайди корінь із частки та корінь із кореня, порівняй корені різних степенів, розв'яжи ірраціональне рівняння через рівняння-наслідок із перевіркою (сторонні корені) і методом заміни змінної. Розділ: 10 клас, алгебра і початки аналізу, §1 (корінь n-го степеня, степінь із раціональним показником, ірраціональні рівняння); квадратний корінь 8 класу — в іншій студії.
- Числа словами: десятки тисяч, сотні тисяч і мільярдиБудуй і читай великі числа: п'ятицифрові, сто тисяч і числа за мільйон.
- Корені: квадратний і кубічний, знакиПорахуй, скільки чисел у квадраті дають додатне число. Подивись, чому з від'ємного числа не існує квадратного кореня, а кубічний корінь існує, і чому √(a²) дорівнює модулю числа a.
- Округлення на числовій прямійЗнайди число на числовій прямій і подивись, до якого десятка, сотні чи тисячі воно ближче. Число, що лежить точно посередині, округлюють до більшого.
- Числа словамиБудуй двоцифрові й трицифрові числа з десятків та одиниць, читай їх і записуй словами.
- Подільність цілих чиселДілення з остачею, властивості подільності та НСД двох чисел, записаний як їхня лінійна комбінація.
- Таблиця чисел і лічба групамиЛічи по 3, по 4, по 6 і по 7 на таблиці чисел і подивись на додавання однакових доданків за допомогою смужок.
- Порівняння цілих чисел за модулемЧисла, які дають однакову остачу при діленні на m, порівнянні за модулем m. Побач, як з ними обчислювати.
- Розряди десяткового дробуЗаписуй і читай десяткові дроби в розрядній таблиці з одиницями, десятими й сотими, будуй їх у вигляді суми розрядних доданків і порівнюй.
- Наближення: округлення і відкидання цифрНаближай число до десятків, сотень, одиниць або десятих двома способами — округленням і відкиданням цифр, визнач, яке значення округлене, наближай дріб і прикидай добуток.
- Наближені значення і похибкаЗнайди абсолютну й відносну похибку, порівняй точність вимірювань та оціни похибку суми.
- Склад чисел 6–10 і число нульРозкладай числа 6, 7, 8, 9 на дві частини фішками. Потім дізнайся, що буде, коли забрати всі або нічого не забрати.
- Склад числа на картці і смужкиЗапиши, з яких двох чисел складається число 6, і збудуй смужку із 7 клітинок.
- Властивості арифметичного квадратного кореняОбчислюй корінь із квадрата, добутку, частки і степеня за властивостями арифметичного квадратного кореня, як у підручнику 8 класу. Розділ: 8 клас, алгебра, §2 п. 15 (арифметичний квадратний корінь); корені n-го степеня — в студії 10 класу.
- Натуральний ряд і координатний проміньЗнайди число перед даним, дізнайся, чому немає найбільшого натурального числа, познач точку K(5) на координатному промені й прочитай шкалу.
- Ділення з остачею, ознаки подільності на 9 і 3Дізнайся, чому остача менша від дільника, склади ділене за формулою a = bq + r і перевір подільність на 9 і на 3 за сумою цифр.
- Вкладені корені: √(a ± 2√b)Позбудься кореня під коренем: подай підкореневий вираз як квадрат суми або різниці й добери числа за сумою та добутком.
- Порівняння й порядок багатоцифрових чиселПорівнюй числа до мільйона за розрядами, розташовуй їх по порядку й збільшуй на тисячі.
- Двійкові числа і римські цифриЧитай і записуй двійкові числа з розрядами 1, 2, 4, 8, 16 та порівняй римські цифри з нашою позиційною системою числення.
- Відстань між точками та рівняння з модулемЗнаходь відстань між точками числової прямої як |a − b| і розв'язуй рівняння вигляду |x − a| = b, позначаючи точки на прямій.
- Подільність суми, різниці та добутку; ознаки на 4, 8, 6 і 11Дізнавайся, чи ділиться сума, різниця або добуток, не обчислюючи їх, і користуйся ознаками подільності на 4, 8, 6 і 11.
- Метод Герона та ірраціональні числаЗнайди наближене значення квадратного кореня методом Герона (прямокутник, що стає квадратом), а потім побач, чому √2 не дріб.
Обчислення
30
- Додавання і віднімання в межах 10Складай яблука разом, забирай частину й порівнюй. Потім склади 10 із двох чисел.
- У межах 20: перехід через десяток і зв'язок додавання та відніманняСпочатку доповни до десяти, потім додай решту. Додай три числа, переставляй доданки й знайди чотири рівності з тими самими числами.
- Усне додавання і віднімання стрибкамиПокажи кожне додавання і віднімання стрибками по числовому променю: спочатку десятки, потім одиниці, або спочатку до круглого числа.
- Рівні групи: множення і діленняРозкладай яблука на рівні групи, викладай фішки рядами й подивися, як пов'язані множення і ділення.
- Таблиця множенняВивчай таблицю множення за малюнками й тренуйся в короткій грі: спочатку 2, 5 і 10, потім 0 і 1, потім решту до 10 · 10.
- Множення і ділення на 10, 100 і 1000Під час множення на 10 кожна цифра зсувається на один розряд ліворуч, під час ділення на 10 — на один розряд праворуч. Подивися на це в таблиці розрядів: спочатку з натуральними числами, потім з десятковими дробами.
- Додавання і віднімання стовпчикомЗапиши числа стовпчиком і додавай або віднімай по одному розряду: переноси десяток у наступний розряд, бери одиницю із сусіднього розряду й виконуй перевірку.
- Множення стовпчикомВиконуй письмове множення стовпчиком: на одноцифрове число з переходом через розряд, на двоцифрове число з двома неповними добутками, а потім множ десяткові дроби.
- Ділення з остачею і ділення куточкомДіли куточком цифру за цифрою, дізнайся, що таке остача і що з нею робити в задачі, і перевір ділення множенням.
- Додатково: додавання і віднімання на рахівниціДодавай і віднімай двоцифрові числа: тобі допоможе рахівниця з кісточками. Міняй десять кісточок одиниць на одну кісточку десятків і навпаки.
- Множення круглих чисел і дії з десятковими дробамиМнож числа, що закінчуються нулями (40 · 30, 650 · 300), додавай і віднімай десяткові дроби стовпчиком, а два десяткові дроби множ, рахуючи цифри після коми.
- Письмове множення на багатоцифрові та кругле числоМнож у стовпчик на трицифрове число, на число з нулем і на кругле число: за неповними добутками.
- Множення брусками: розкладаємо на розрядиСпочатку круглі десятки, потім багатоцифрове число на одноцифрове з брусками сотень, десятків і одиниць: помнож кожен розряд і додай.
- Додавання і віднімання чотирицифрових чисел: бруски тисячДодавай і віднімай чотирицифрові числа в таблиці розрядів із брусками одиниць, десятків, сотень і тисяч. Якщо в розряді стає десять, обмінюй їх на один з наступного розряду.
- Лічба групами та задачі на множенняЛічба по 7 і по 200, задачі «у кілька разів більше», вартість кількох однакових наборів у гривнях і задачі на швидкість із машиною, що множить.
- Частини рівності: доданок, сума, різницяДодавай і віднімай частинами на числовому промені, називай частини рівності й відніми через додавання.
- Невідомий компонент і зміна сумиЗнаходь невідомий доданок, зменшуване й від'ємник за правилом, порівнюй вирази без обчислень і стеж, як змінюється сума.
- Двоцифрові числа: порозрядно, частинами, прийом округленняДодавай і віднімай двоцифрові числа порозрядно й частинами, а 38 + 9 рахуй через 10 і поверни зайву одиницю. Розділ: 2 клас; усні способи 3 класу — в іншій студії.
- Таблиця Піфагора і залежності між результатами дійДосліджуємо таблицю множення, множимо і ділимо послідовно, дивимось, як добуток і частка залежать від компонентів.
- Усні способи: за розрядами, округлення, ділення частинамиДодаємо і віднімаємо за розрядами та способом округлення, ділимо числа на частини й круглі числа розрядними одиницями. Розділ: 3 клас; двоцифрові числа 2 класу — в іншій студії.
- Раціональні способи множення і діленняМножимо й ділимо на 5, 25, 50, 11, 101, 9 і 99 зручними способами, як у підручнику.
- Властивості дій і зручні обчисленняКористуйся переставною, сполучною й розподільною властивостями, щоб обчислювати зручно, а також спрощуй вирази з раціональними числами.
- Вираз, рівність, нерівністьРозрізняємо вирази, рівності та нерівності, викреслюємо хибні рівності й порівнюємо вирази без обчислення. 2 клас: числові вирази, знаки =, < і >.
- Ділення з остачею на 10 і 100Ділимо з остачею на 10 і 100, закриваючи цифри справа, а числа з нулями в кінці — викреслюючи однакову кількість нулів. 4 клас.
- Ланцюжки арифметичних дійІди за стрілками: у кружечку число, на прапорці дія. Знайди число в кінці ланцюжка і віднови стертий прапорець. 1 клас.
- Таблиці додаванняЧитай таблиці додавання числа 1–8, закривай результати й записуй їх. Потім склад чисел другого десятка. 1–2 класи.
- Віднімаємо числа 6, 7, 8, 9Заміни зменшуване сумою зручних доданків: один із них дорівнює від'ємнику. Тоді після віднімання залишиться інший доданок. 1 клас.
- Додаємо і віднімаємо сумуДодай суму до числа, відніми суму від числа й число від суми, пиши рівності з дужками, як у підручнику 2 класу.
- Позатабличне множення й ділення частинамиМнож і діли двоцифрові числа на одноцифрові, розбиваючи число на зручні доданки, і перевіряй результат оберненою дією.
- Перевірка обчислень: прикидка й обернена діяПрикинь відповідь до обчислення, обчисли у стовпчик, перевір оберненою дією й вирішуй, чи правдоподібний результат, зокрема на калькуляторі.
Дроби
18
- Що таке дріб?Поділи одне ціле на рівні частини і запиши дробом, скільки частин узято.
- Дроби на числовій прямійДроби — це теж числа, і кожен дріб має своє місце на прямій. Поділи відрізок від 0 до 1 на рівні частини і познач точки.
- Рівні дробиТу саму частину можна записати різними дробами. Подивися, як змінюється дріб, коли частини стають дрібнішими або більшими, а частина цілого залишається тією самою.
- Порівняння дробівЯкий дріб більший? Постав смужки одну під одною і подивися, чиє зафарбування сягає далі.
- Додавання і віднімання дробівПоклади дроби поруч на смужках, додай і відніми їх. Якщо знаменники різні, спочатку зроби частини однакового розміру.
- Множення і ділення дробівЗа допомогою смужок побачиш, що помножити на дріб — означає взяти «стільки разів» або «таку частину від», а поділити на дріб — дізнатися, «скільки разів уміщується».
- Десяткові дробиЗнайди десяті й соті на числовій прямій і подивися, як записують і читають десяткові дроби.
- Ділення і дробиПоділи куточком цифру за цифрою і переконайся, що кожен дріб — це насправді ділення, яке можна перетворити на десятковий дріб.
- Дріб від числаПоділи яблука порівну і візьми кілька частин. Потім збільш і зменш рецепт.
- Відсотки: дріб, десятковий дріб, відсотокВідсоток — це «одна сота». За допомогою квадрата зі ста клітинок і смужки в 100 % побачиш, що дріб, десятковий дріб і відсоток — три назви тієї самої частини.
- Множення і ділення мішаних чиселЗа допомогою смужок побачиш, як множать і ділять мішані числа і яку дію у виразі виконують першою.
- Ділення десяткових дробів і періодичні дробиЗведи ділення десяткових дробів до ділення натуральних чисел, ділити далі, доки цифри не почнуть повторюватися, і перетвори періодичний дріб у звичайний.
- Багатоповерхові дробиДріб, у чисельнику або знаменнику якого є дріб: поділи дріб на смужці, полічи дроби всередині дробів і ділуй, перевертаючи нижній дріб.
- Віднімання мішаних чисел і обчислення з дробамиВіднімай мішані числа, роздроблюй одиницю, коли треба, обчислюй вирази з багатоповерховими дробами й збільшуй рецепт.
- Частина від числа і число за його частиноюЗнаходимо частину від числа та число за його частиною: спочатку одну частину, потім ціле або кілька частин. Розділ: 3 клас (частина від числа й число за його частиною); дроби 5–6 класів — в іншій студії.
- Неправильні дроби, число за дробом, відсоткове відношення, десяткове наближенняПокажи неправильний дріб на смужках, знайди ціле за значенням його частини чи відсотків, обчисли відсоткове відношення двох чисел і округли дріб до сотих. Розділ: 5–6 класи; частина від числа й число за частиною для 3 класу — в іншій студії.
- Дроби від одиниць виміруЯку частину метра становить 6 см, а частину року — 3 місяці? Дріб від одиниці виміру переводимо в менші одиниці й порівнюємо з іменованим числом. 4 клас, розділ «Вивчаємо дроби».
- П'ята і десята частиниПоділи ціле на 5 і на 10 рівних частин, порівняй частки 15 і 110 та знайди п'яту й десяту частину величини.
Відношення і пропорції
17
- Відношення і поділ числа в заданому відношенніЗа допомогою двоколірних смужок зрозумій, що означає 2 : 3, скорочуй відношення і діли число в заданому відношенні.
- Пропорція і зведення до одиниціЗнайди невідому величину за допомогою таблиці: спочатку значення для однієї одиниці, потім для будь-якого числа. Наприкінці — обернена пропорційність.
- Коефіцієнт подібності і подібні фігуриЗбільш фігуру в задану кількість разів, знайди подібні фігури, визнач коефіцієнт подібності і побудуй подібну фігуру за однією стороною.
- Зміна у відсотках, множник і знаходження числа за його відсоткамиПочаткова величина — смужка 100 %. При збільшенні смужка стає довшою (120 %), при зменшенні — коротшою (85 %). За смужками знаходь множник, зміну у відсотках і початкову ціну.
- Величини «на одиницю»: ціна і густинаЗа допомогою таблиці знаходь, скільки припадає «на одиницю»: ціну 1 кілограма, кількість літрів на 1 гривню і масу 1 кубічного сантиметра.
- Масштаб: плани і картиВиміряй лінійкою відстань на карті і стіну на плані кімнати та за допомогою масштабу знайди справжні розміри.
- Графіки прямої та оберненої пропорційностіПобудуй графік прямої пропорційності за таблицею, знайди k за однією точкою, добери повзунком криву y = kx через точку, упізнай графік прямої пропорційності й побудуй графік оберненої.
- Додатково: задачі на подвійне зведення до одиниціУ цих задачах змінюються одразу три величини. Змінюй у таблиці по одній величині й щоразу вирішуй, пряма це залежність чи обернена.
- Шлях, швидкість, час: s = v · tЗнаходь шлях, швидкість і час руху за таблицею та за формулами s = v · t, v = s : t, t = s : v.
- Рух двох тіл і спільна роботаЗнаходь відстань між двома тілами, що рухаються одночасно, і час спільної роботи за таблицею та планом розв'язування. Розділ: 4 клас, ч. 2, §6 (рух двох тіл) та ч. 1 (спільна робота); четверте пропорційне — в іншій студії.
- Пропорційне ділення і однакова величинаРозв'язуй задачі за короткими записами «ціна — кількість — вартість»: ділення на пропорційні частини та знаходження однакової величини за двома різницями або двома сумами.
- Четверте пропорційне та подвійне зведення до одиниціРозв'язуй задачі способом відношень і зведенням до одиниці, а також задачі з двома змінами. Розділ: 4 клас, четверте пропорційне й подвійне зведення до одиниці; рух і спільна робота — в іншій студії.
- Подібні фігури: довжина, площа й об'ємКоли фігуру збільшують із коефіцієнтом подібності k, довжини зростають у k разів, площі у k² разів, а об'єми у k³ разів. Скористайся таблицею відношень, щоб знайти невідому величину.
- Праця: продуктивність, час, виробітокРозв'язуй задачі на роботу: продуктивність праці · час роботи = загальний виробіток, за таблицею й за схемою-трикутником.
- Четвертий пропорційний: однакова величинаРозв'язуй задачі, у яких є однакова величина (маса 1 ящика, ціна, загальна маса): спочатку знайди її, потім відповідай на запитання.
- Задачі на процеси: рух і працяРозв'язуй задачі на одночасний рух і на спільну роботу одним планом: швидкість · час = шлях, продуктивність · час = виробіток.
- Відсотки: ціле, частина, кількість відсотківЗнаходь частину W, кількість відсотків p % або ціле G за допомогою смужки відсотків, пропорції та формули W = G · p %.
Гроші
7
- Монети і купюриПознайомся з монетами й купюрами, набери суму грошей різними способами і переконайся, що більше монет — не завжди більше грошей.
- Покупки і рештаДодай ціни покупок, заплати і знайди решту, долічуючи від ціни.
- Відсотки і гроші: знижка, прибуток і збитокЗа допомогою смужки «100 %» подивися, скільки знижка забирає від ціни і скільки відсотків від собівартості продавець отримує або втрачає.
- Прості та складні відсоткиСтеж за вкладом рік за роком: за простих відсотків щороку додається та сама сума, а за складних гроші множаться на те саме число. Потім подивися, як річ щороку дешевшає.
- ПДВ, знижки, ціна продажу та промілеЦіна без податку й ціна з податком за ставок 19 % і 7 %, торгова знижка та знижка за швидку оплату, розрахунок ціни продажу і проміле.
- Відсотки й процентні пунктиЧим відрізняється «зросла на 5 %» від «зросла на 5 процентних пунктів»: ставка 20 % → 25 %, частка відмінників, банківська задача. Розділ: 9 клас, алгебра, додаток «Як уникнути неоднозначності в задачах на відсоткові розрахунки».
- Кредити: два види платежівВізьми кредит і подивись, як зростає борг і як він погашається: рівними частками боргу або рівними платежами. Порівняй, скільки в підсумку переплатить позичальник.
Величини і вимірювання
33
- Порівнюємо: довший, важчий, місткішийЩо довше? Що важче? Вимірюємо скріпками, п'ядями і склянками.
- Вимірюємо довжину, масу і місткістьВимірюй лінійкою, терезами і мірним глечиком. Спочатку прикинь, потім виміряй.
- Годинник і календарПовертай стрілки годинника, записуй денний час у 24-годинному форматі і знаходь дні в календарі.
- Периметр і площаОбійди фігуру і знайди її периметр, покрий її одиничними квадратами і знайди її площу, а ще переконайся, що у фігур з однаковою площею периметри можуть бути різними.
- Чверті години й послідовність у часіПокажи на годиннику чверть години, запиши час двома способами й визнач, яка справа тривала довше.
- Перетворення одиниць вимірюванняВирази метри в сантиметрах, грами в кілограмах і літри в мілілітрах. Тобі допоможе смужка одиниць.
- Площа трикутника, паралелограма, трапеції і кругаПерекладай частини фігур і подивися, чому площа паралелограма дорівнює основі, помноженій на висоту, чому трикутник — половина цього, як дві рівні трапеції складаються в паралелограм, і оціни площу круга.
- Об'єм прямокутного паралелепіпедаБудуй коробки з одиничних кубиків, лічи кубики шар за шаром і подивися, чому об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку довжини, ширини і висоти.
- Додатково: термометрВизнач температуру за термометром і покажи на ньому температуру нижче від нуля.
- Об'єм і площа поверхні призми та циліндраПовертай призми й циліндри, знаходь основи, заповнюй тіло шарами і дивися, чому об'єм = площа основи · висота, а потім розкрий розгортку і знайди площу бічної і повної поверхні.
- Точніше вимірювання й частини одиниціВимірюй власною міркою, лічи малі частини сантиметра й знаходь середину відрізка.
- Піраміда, конус, куля і складені тілаПерелий піраміду в її призму, а кулю в її циліндр і подивися, звідки беруться 13 і 23. Розгорни конус у сектор, знайди його твірну за теоремою Піфагора й обчисли об'єм і площу поверхні вежі.
- Труба, бляшанка й коробка: задачі про об'єм і поверхнюСкрути аркуш у трубу й знайди її місткість у літрах, порівняй, скільки жерсті потрібно на бляшанку й на коробку, та знайди об'єм відкритої коробки.
- Межі точності: верхня й нижня межіОкруглений результат вимірювання насправді лежить у деякому проміжку. Зобрази проміжок, а потім використай межі, щоб знайти найбільшу й найменшу відповідь.
- Вимірюємо час: хвилини й секундиЗнайди час прибуття, обчисли час між двома годинниками за стрілками на осі часу та перетворюй секунди, хвилини й години.
- Кілометри, місткість і маса водиПеретворюй метри й кілометри, визначай місткість посудини за об'ємом рідини в ній і побач, що 1 літр води — це 1000 кубічних сантиметрів і важить 1 кг.
- Площа ромба й кругаЗнайди площу ромба за чотирма трикутниками та за діагоналями, побач, чому ромб — половина прямокутника навколо нього, і обчисли площу круга за секторами та за формулою π · r · r.
- Метри із сантиметрами, кілограми з грамамиЧитай і записуй міри з двома одиницями (325 см = 3 м 25 см), добирай зручну одиницю й читай пів сантиметра на лінійці.
- Дециметр і дії з величинамиДізнайся, що 1 дм = 10 см, вимірюй стрічки в дециметрах і додавай довжини, виражені в дециметрах і сантиметрах.
- Іменовані числа: дії з нимиДодавай, віднімай, множ і діли іменовані числа: запиши їх в одній одиниці, виконай дію й запиши результат у двох одиницях.
- Площа прямокутника та одиниці площіЗнаходь площу прямокутника за формулою S = a · b, шукай невідому сторону й вивчай одиниці площі: см², дм², м², ар, гектар. Розділ: 4 клас, площа прямокутника S = a · b та одиниці площі; рівні фігури — в студії 5 класу.
- Час: додаємо й віднімаємо іменовані числаЗаміни більші одиниці часу меншими, додай або відніми, а потім запиши відповідь у двох одиницях. Знайди тривалість події за початком і закінченням.
- Призма, паралелепіпед, піраміда: властивості, перерізи, зрізана пірамідаЗнайди діагональ паралелепіпеда, об'єм похилої призми, бічну поверхню правильної піраміди, об'єм зрізаної піраміди та переріз піраміди площиною.
- Перерізи циліндра, конуса й кулі, рівняння сфериЗнайди діагональ осьового перерізу циліндра, радіус перерізу конуса й кулі та за рівнянням сфери назви її центр і радіус.
- Призма: задачі з кутами й діагоналямиЗнайди висоту й бічне ребро прямої призми за діагоналлю та кутом, обчисли площу бічної поверхні й запиши відповідь із коренем.
- Піраміда: куди проєктується вершинаЗа рівними бічними ребрами або рівними двогранними кутами визнач, у який центр основи проєктується вершина піраміди, і знайди висоту та площу бічної поверхні.
- Об'єми тіл: задачіЗнайди об'єм деталі за підйомом води, радіус переплавленої кулі та об'єм тіла, утвореного обертанням трикутника чи трапеції. Відповідь залиш із π.
- Периметр многокутникаЗнайди периметр трикутника ABC і прямокутника DMPK як суму довжин усіх сторін.
- Довжина дуги, площа сектора й сегментаЗнаходь довжину дуги кола з градусною мірою n°, площу кругового сектора й сегмента за формулами l = πRn/180 і S = πR²n/360.
- Сектор, дуга і сегментСектор — це n/360 круга: знайди довжину його дуги й площу, знайди кут за довжиною дуги та площу кругового сегмента.
- Частини кулі та похила призмаЗнайди площу кульового пояса, об'єм кульового сегмента й кульового сектора та об'єм похилої призми. Відповіді записуй із π: 20π вводиться як 20π.
- Одиниці маси, швидкості та площіПереводь тонни, центнери й кілограми, кілометри за годину в метри за секунду, гектари в квадратні кілометри та обирай відповідну одиницю.
- Центнери, тонни та століттяПеретворюй тонни й центнери на кілограми та визначай, до якого століття належить рік.
Фігури і геометрія
82
- Плоскі фігури і симетріяПобудуй трикутник і квадрат на дошці з точками, знайди трикутники і проведи вісь симетрії.
- Кути, коло, прямокутник і симетріяПолічи кути, знайди фігуру без кутів, намалюй прямокутник, зігни фігуру навпіл і поділи фігуру на рівні частини.
- Просторові фігуриУпізнай куб, прямокутний паралелепіпед, циліндр, конус, кулю і піраміду, полічи грані й ребра та зроби розгортку куба.
- Прямі, промені, відрізки і кутиЗнайди промені, накресли паралельні й перпендикулярні прямі на дошці з точками і порівняй кути з моделлю прямого кута.
- Трикутники і чотирикутникиПоділи трикутники на види за сторонами і кутами, познайомся з родиною чотирикутників і проведи діагоналі ромба.
- Многокутники і сума кутівЗнайди правильні многокутники, дізнайся суму кутів трикутника і поділи многокутники на трикутники, щоб знайти суму їхніх кутів.
- Вимірюємо кути транспортиромВимірюй і будуй кути транспортиром. Знаходь суміжні і вертикальні кути та бісектрису кута.
- Коло: радіус, діаметр і πВиміряй діаметр і радіус кола. Обгорни стрічку навколо кола і знайди, скільки діаметрів становить довжина кола.
- Побудови циркулем і лінійкоюЗа допомогою циркуля і лінійки знайомся з хордами і дугами, будуй серединний перпендикуляр і бісектрису кута, а також трикутники за трьома сторонами.
- Кути при паралельних прямихРухай і повертай дві паралельні прямі та січну: подивися, які кути завжди залишаються рівними, які в сумі дають 180° і що відбувається, коли прямі не паралельні. Потім за допомогою паралельної прямої покажи, чому сума кутів трикутника дорівнює 180°.
- Нерівність трикутника; медіани, висоти і бісектрисиСклади трикутник з трьох паличок і дізнайся, з яких трьох довжин трикутник виходить, а з яких ні. Потім перевір медіану, висоту і серединний перпендикуляр на трикутнику, форму якого можна змінювати, і подивися, де завжди перетинаються три медіани.
- Рівні фігури і рівні трикутникиПересувай, повертай і перевертай фігуру, щоб накласти її на іншу. Потім знайди відповідні вершини двох трикутників, вибери ознаку рівності, запиши доведення рядок за рядком і перетягни контрприклад, який показує, що дві сторони і кут не між ними — не ознака рівності.
- Теорема Піфагора і обернена теоремаПобудуй квадрати на сторонах прямокутного трикутника і порівняй їхні площі, зрозумій за допомогою чотирьох однакових трикутників, чому теорема правильна, знайди невідому сторону, перевір за оберненою теоремою, чи прямий кут, і познач √2 на числовій прямій циркулем.
- Міркування і доведення в геометріїРухай рівнобедрений трикутник і переконайся, що кути при його основі завжди залишаються рівними. Потім доведи це з обґрунтуваннями, застосуй у новому доведенні й покажи, що інше твердження хибне, за допомогою контрприкладу.
- Теорема Фалеса і подібні трикутникиРухай пряму, паралельну стороні трикутника, і переконайся, що відрізки, які вона відтинає на двох інших сторонах, завжди залишаються в одному відношенні. Потім спробуй обернену теорему, подібні трикутники і коефіцієнт подібності.
- Геометричне місце точокЗнайди всі точки, що лежать на заданій відстані від точки, від відрізка, від двох точок або від двох сторін кута, і подивися, яку фігуру вони утворюють. Потім за допомогою циркуля зафарбуй область, де виконуються одразу дві умови.
- Пряма і коло, центральні та вписані кути, дотичнаПересувай пряму через коло і дивись, коли вона перетинає коло, коли лише дотикається до нього, а коли проходить повз. Зближуй два кола, повертай дотичну навколо кола і переконайся, що вписаний кут завжди вдвічі менший від центрального.
- Вписані й описані кола, відрізки хордПобудуй коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в нього, та подивися, де лежать їхні центри. Потім рухай вершини вписаного чотирикутника по колу і перевір дві хорди, що перетинаються: яке співвідношення завжди правильне?
- Види фігури і теорема Піфагора в просторіПовертай башту з кубиків, упізнавай її види спереду, збоку і згори та малюй їх на полі в клітинку. Потім знайди діагональ коробки, двічі застосувавши теорему Піфагора.
- Властивості прямокутного трикутникаУ прямокутному трикутнику катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи, а медіана, проведена до гіпотенузи, теж дорівнює її половині. Переконайся в обох властивостях, доведи одну і застосуй їх.
- Аксіоми, відрізки і теоремиПобач, що через дві точки проходить одна пряма, що AB = AC + CB, знайди середину відрізка й відрізни теорему від оберненої до неї.
- ПаркетиПрикладай копії правильного многокутника навколо точки і дивися, які з них лягають без щілин і накладань, чому правильний п'ятикутник зазазалишає щілину, і викладай паркет з двох видів многокутників.
- Правильні многогранники і перерізиПовертай правильні многогранники, лічи їхні грані, вершини й ребра та відкрий формулу В − Р + Г = 2. Потім розріж куб ножем і подивися, якою фігурою може бути переріз.
- Зовнішній кут, сторони й кути, прямокутні трикутникиПобач, що зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх, що проти більшої сторони лежить більший кут, і застосуй ознаки рівності прямокутних трикутників.
- Хорди, ГМТ і чотири кроки побудовиПобач, що відрізок від центра до середини хорди перпендикулярний до хорди, знайди відстань до хорди й порахуй розв'язки задачі на побудову методом ГМТ.
- Конічні перерізи: розрізаємо конусРозріж конус різними площинами й побач, звідки беруться коло, еліпс, парабола та гіпербола. Потім дізнайся, що будує відношення відстаней до фокуса та до директриси.
- Правильні многокутники та зовнівписане коло трикутникаЗнаходь сторону й радіус вписаного кола правильного многокутника за радіусом описаного або вписаного кола та радіус зовнівписаного кола трикутника.
- Прямі й площини в просторіНа прямокутному паралелепіпеді з'ясуй, як можуть розміщуватися дві прямі в просторі: паралельно, перетинатися чи бути мимобіжними. Потім розглянь пряму й площину, перпендикулярність прямої та площини і кут між мимобіжними прямими.
- Аксіоми стереометрії та перерізиЧерез три точки проведи площину, знайди лінію перетину двох площин, розпізнай пряму, паралельну площині, і визнач вигляд перерізу куба.
- Паралельні площини, проекція та перпендикулярПеревір ознаку паралельності площин, порівняй відрізки між паралельними площинами, знайди довжину паралельної проекції та відстань від точки до площини.
- Симетрія многокутників, внутрішні та зовнішні кутиПолічи осі симетрії правильних многокутників, знайди кут при кожній вершині й побач, чому зовнішні кути завжди дають у сумі 360 градусів.
- Теореми про коло й теорема про бісектрису кутаДоведи, що дві дотичні, проведені з однієї точки, рівні, і дізнайся, що бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону у відношенні двох інших сторін.
- Перпендикуляр і паралельна пряма через точку, побудова за данимиЗ точки поза прямою побудуй перпендикулярні прямі і паралельну пряму, а потім за допомогою циркуля збудуй ромб і рівнобедрений трикутник, спершу розібравши задачу.
- Побудова кута й трикутників циркулем і лінійкоюЗбудуй кут, що дорівнює даному, трикутник за двома сторонами й кутом між ними, за стороною й двома прилеглими кутами та прямокутний трикутник за катетом і гіпотенузою.
- Метод ГМТ у задачах на побудову: точка, коло, трикутникШукану точку знаходимо як перетин двох геометричних місць точок. Розв'яжи три задачі з підручника: точка на прямій на даній відстані від іншої прямої, коло, що дотикається до прямої в даній точці, і трикутник за стороною та радіусом описаного кола.
- Доведення від супротивногоНавчися доводити теореми від супротивного: припустити, що висновок неправильний, отримати суперечність і зробити висновок.
- Теореми Чеви, Менелая, Птолемея і пряма ЕйлераДодаткові історії з геометрії 8 класу: коли три чевіани перетинаються в одній точці, коли три точки лежать на одній прямій, добуток діагоналей вписаного чотирикутника й пряма Ейлера.
- Промінь, відрізок і діагональПознач точки буквами, назви промінь і відрізок, накресли відрізок заданої довжини та полічи діагоналі многокутника, спершу розв'язавши простішу задачу.
- Симетрія і згинання паперуЛічи симетричні фігури за віссю симетрії, будуй фігуру, симетричну даній, і передбачай, що вийде, коли скласти папір і вирізати.
- Розв'язування задач з геометрії: дано, довести, планВідділи те, що дано, від того, що треба довести, склади план перед доведенням, знайди найкоротший шлях за допомогою перпендикуляра й теореми Піфагора та побач застосування кола.
- Родина чотирикутниківРозклади трапеції, дельтоїди, паралелограми, ромби, прямокутники й квадрати за симетрією та діагоналями й побудуй дельтоїд.
- Метричні співвідношення в прямокутному трикутнику та властивості пропорціїПроведи висоту до гіпотенузи прямокутного трикутника й переконайся, що CD² = AD·DB. Знайди катет за цією рівністю, використай властивість пропорції та виведи теорему Піфагора з тієї самої фігури.
- Кут на діаметр, описане коло й дотичнаДоведи, що вписаний кут, який спирається на діаметр, прямий, і обернене твердження, знайди описане коло трикутника та побудуй дотичну за допомогою кола на діаметрі.
- Коло і кругРозрізняй коло і круг, знаходь центр і радіуси й познач точки, які лежать на колі.
- Побудова трикутників за планомЕскіз, пронумерований опис побудови та кількість розв'язків у задачах на побудову трикутників, зокрема з висотою.
- Теорема, обернена теорема і доведенняРозбери теорему на умову й висновок, склади обернену теорему та спростуй її контрприкладом, доведи й застосуй теорему Піфагора.
- Зображення тіл у косокутній проєкціїСкорочуй ребра, що йдуть углиб, із коефіцієнтом q, знаходь помилки на кресленнях і визнач за рисунком справжні розміри.
- Площини симетрії та перерізиПорахуй площини симетрії тіл, знайди осьові перерізи циліндра й конуса та використай просторові координати для діагоналі прямокутного паралелепіпеда.
- Гомотетія в системі координатЗнаходь образи точок і прямих при гомотетії за векторним правилом, знаходь коефіцієнт k і точку перетину медіан трикутника.
- Перпендикуляр і похила, кут між прямою та площиною, двогранний кутЗнайди похилу за перпендикуляром і проекцією, виміряй кут між прямою та площиною та двогранний кут за його лінійним кутом, а потім переконайся, що площини перпендикулярні.
- Паралелограм, прямокутник, ромб і квадратДізнайся елементи чотирикутника, властивості й ознаки паралелограма, діагоналі прямокутника і ромба, як у підручнику геометрії 8 класу.
- Трапеція, середня лінія, описаний чотирикутник і площа трапеціїДізнайся властивості рівнобічної трапеції, середню лінію, ознаку чотирикутника, у який можна вписати коло, і площу трапеції.
- Друга і третя ознаки подібності трикутниківЗнайди подібні трикутники за двома сторонами й кутом між ними, за трьома сторонами, обчисли невідому сторону і не потрап у пастку з кутом не між сторонами.
- Відрізок, довжина відрізка, прямаПорівняй відрізки накладанням, знайди довжину відрізка AB із двох частин, виміряй відстань між точками й дізнайся, скільки прямих проходить через дві точки.
- Многокутники, рівні фігури, площа, ар і гектарНазви многокутник за вершинами, знайди рівну фігуру накладанням, дізнайся, чим рівні фігури відрізняються від фігур з рівною площею, і переведи площу поля в гектари. Розділ: 5 клас, §2 п. 13 і §3 п. 21 (рівні фігури, площа, ар і гектар); формула S = a · b — у студії 4 класу.
- Циліндр і конус: основи, розгорткаЗнайди основи циліндра й конуса та обчисли площу бічної поверхні циліндра за його розгорткою.
- Точка, пряма, крива, промінь, відрізок, ламанаЗнайди на малюнку точки, прямі й криві. Назви частини прямої, які утворюють точки, і виміряй довжину ламаної. 1 клас.
- Січні та дотична до колаЧерез точку поза колом проведено дві січні або січну й дотичну. Добуток відрізків січної той самий: PA · PB = PC · PD і PT² = PA · PB.
- Паралельні прямі, що перетинають площину, та паралельне проектуванняЗнайди довжини відрізків паралельних прямих, що перетинають площину, і відношення відрізків за паралельної проекції.
- Подвоєння медіани та теорема ВаріньйонаДобудовуй рисунок: подвой медіану, отримай паралелограм і доведи нерівність для медіани; сполучи середини сторін будь-якого чотирикутника й подивись, яка фігура утворюється.
- Відношення площ трикутниківПорівнюй площі, не обчислюючи їх: у трикутників зі спільною висотою площі відносяться як основи, медіана ділить трикутник навпіл, а вершина на паралельній прямій площі не змінює.
- Подібність на практиці: висота за тінню, недоступна відстаньЗастосуй подібні трикутники для вимірювань на місцевості: висота дерева за його тінню, відстань через річку та відношення площ подібних фігур. Розв'язання оформлюй так: Дано, Знайти, Розв'язання, Відповідь.
- Кути між хордами, січними та дотичноюКут, вершина якого не лежить на колі, вимірюють за дугами: між двома хордами, що перетинаються, — півсума дуг; між двома січними — піврізниця; між дотичною й хордою — половина дуги.
- Два кола та їхні спільні дотичніВзаємне розміщення двох кіл залежить від відстані між центрами d і радіусів R та r: пересувай коло й дивись, скільки є спільних точок і спільних дотичних.
- Повторення стереометрії 10 класуОбери правильний крок доведення про мимобіжні прямі й розв'яжи задачі на кут між прямими, паралельне проектування та перпендикуляр до площини.
- Перевірте себе: многогранники, тіла обертання, об'ємиТести з варіантами відповідей А, Б, В, Г про площу бічної поверхні призми, циліндра й конуса та про об'єм кулі.
- Многогранники: грані, ребра, вершиниЗнайди основи, бічні грані та ребра піраміди, призми й паралелепіпеда та полічи їхні грані й ребра.
- Площа ортогональної проекції многокутникаЗастосовуй теорему про площу проекції: S′ = S · cos α. Знаходь площу проекції й площу самого многокутника.
- Точка перетину прямої з площиною, лінія перетину площинПобудуй точку перетину прямої з площиною основи куба та лінію перетину двох площин тетраедра, спираючись на аксіоми стереометрії.
- Точка, рівновіддалена від вершин або сторін многокутникаЯкщо точка M рівновіддалена від вершин трикутника, її проекція на площину трикутника — центр описаного кола; якщо від сторін — центр вписаного кола. Знайдіть відстань від M до площини.
- Кут, прямий кут, прямокутник і квадратНазви кут за буквами, знайди прямий кут за моделлю, відрізни прямокутник від інших чотирикутників і квадрат від інших прямокутників.
- Правильні многокутники: кут, кількість сторін, побудоваЗнаходь кількість сторін правильного многокутника за його кутом, перевіряй, чи існує такий многокутник, і будуй шестикутник хордами R та 2n-кутник.
- Симетрія й гомотетія в просторіЗнайди дзеркальний образ точки в площині, визнач, як змінюється об'єм при гомотетії, і знайди всі площини симетрії куба та кулі.
- Многогранники, розгортки та найкоротші шляхиЗ'ясуй, які многогранники опуклі, застосуй формулу Ейлера, розгорни призму й знайди найкоротший шлях павука по поверхні цеглини.
- Вписані й описані тілаЗнаходь радіус кулі, вписаної в куб або конус, і кулі навколо прямокутного паралелепіпеда, а також об'єм циліндра навколо призми.
- Малюємо в зошиті в клітинкуМалюй у зошиті в клітинку: відрізок заданої довжини, квадрат, прямокутник і фігуру із заданим периметром.
- Косинець і фігури з прямокутниківКреслимо прямий кут і перпендикуляр косинцем та знаходимо площу фігури, складеної з прямокутників.
- Будівлі з кубиків: плани та виглядиЧитай план будівлі з висотами, малюй вигляд спереду та вигляд зверху й визнач, яку найбільшу кількість кубиків може мати будівля.
- Зошит у клітинку: побудова, маршрути й площа за клітинкамиПобудуй прямокутник на сітці, виміряй довжину маршруту, знайди площу фігури за клітинками й оціни площу круглої фігури палеткою.
- Косинець, лінійка та кутомірПроводь перпендикуляр і паралельну пряму за допомогою косинця, вимірюй і будуй кути кутоміром, проводь висоту трикутника.
- Паркети й орнаменти-стрічкиПорахуй фігури навколо точки в паркеті, продовж орнамент-стрічку зсувом і відбиттям та знайди осі симетрії.
- Перетворення одне за однимВиконуй два перетворення одне за одним, знаходь криву, на якій лежать образи рухомої точки, і стеж за порядком.
Розташування і рух
6
- Розташування, напрямок і поворотиЗнайди ліворуч і праворуч, вище, нижче і між. Потім поверни стрілку на чверть оберту, на пів оберту і на три чверті оберту.
- координати і паралельне перенесенняПозначай точки за координатами, знаходь вершину фігури, якої бракує, і перенось фігури по клітинках.
- Осьова симетрія, поворот і центральна симетріяПознач точки в усіх чотирьох координатних чвертях, відобрази фігури відносно осі, повертай їх навколо точки й знаходь фігури, що мають центр симетрії.
- Переміщення і гомотетіяПодивися, які перетворення зберігають довжини, кути й напрям обходу, побудуй гомотетію з коефіцієнтом 2 і 12, знайди центр гомотетії й дізнайся, що відбувається з площею.
- Осьова симетрія і поворотПобудуй фігуру, симетричну даній відносно вертикальної прямої, похилої прямої та осі x, добудуй фігуру за її половиною, поверни фігури навколо різних точок і знайди координати образу.
- Композиції рухів, симетрія та прийом з відбиттямПознайомся з двома осьовими симетріями поспіль, ковзною симетрією, осями симетрії многокутника та найкоротшим шляхом, який знаходять за допомогою симетрії.
Закономірності і послідовності
8
- Візерунки, що повторюються, і числові візерункиФігури і числа, що підпорядковуються правилу. Знайди закономірність, продовж її і виправ помилку.
- Числові машини і правила послідовностейЧисло входить у машину, а виходить інше. Дізнайся, що робить машина, а потім знайди правило числової послідовності.
- Формула n-го члена і геометрична прогресіяСклади таблицю за візерунком із сірників, знайди формулу n-го члена і за її допомогою порахуй сірники у 20-й фігурі, не малюючи її. Потім ознайомся з послідовностями, у яких щоразу множать.
- Послідовності (aₙ), n-й член і рекурентна формулаКористуйся позначенням aₙ, щоб знаходити члени, будуй послідовність за рекурентною формулою, помічай періодичну послідовність і полічи трикутні числа.
- Сигма і суми рядівЧитай запис із Σ, знаходь суми арифметичних і геометричних рядів і зрозумій, чому нескінченна сума може бути числом.
- Особливі суми, різниці та моделюванняПобудуй суму квадратів, додай ряд методом скорочення, знайди n-й член квадратичної послідовності й розв'яжи життєву задачу за допомогою арифметичної прогресії.
- Графік послідовності, монотонність і обмеженістьЗобрази послідовність точками (n, a_n): арифметична лежить на прямій, геометрична — на кривій. Потім вирішуй, чи завжди послідовність зростає і чи не виходить вона за певну межу.
- Числові закономірності: ланцюжки прикладів, перевертні та пірамідиПродовжуй ланцюжки прикладів, знаходь правило, будуй числа-перевертні й шукай пропущене число в числовій піраміді.
Алгебра
47
- Порядок дій, буквені вирази і формулиОбчислюй значення виразів крок за кроком у правильному порядку. Потім нехай буква позначає число, і користуйся формулами.
- Вирази, подібні доданки і підстановкаБудуй вирази з алгебраїчних плиток, зводь подібні доданки, прибирай нульові пари, а потім підставляй значення x.
- Розв'язуємо лінійні рівняння на терезахРівняння — це терези в рівновазі. Добирай значення, а потім розв'язуй рівняння з x в одній або в обох частинах, з дробами і дужками, роблячи те саме на обох шальках.
- Складання і розв'язування рівнянь за умовою задачіПознач невідоме буквою, переклади умову задачі мовою рівняння, розв'яжи його і перевір відповідь за умовою.
- Розкриття дужок і розкладання на множникиПодивись на дужку як на прямокутник: розкрий дужки, зафарбовуючи його площу плитками, а потім іди назад — знайди сторони прямокутника і розклади вираз на множники.
- Множення двочленів і тотожностіПеремнож два двочлени як прямокутник із плиток і в таблиці, подивись, чому в (a + b)² дві смужки ab, і навчись відрізняти тотожність від рівняння.
- Нерівності, числові проміжки та їх розв'язуванняЗобрази розв'язки нерівності на координатній прямій: зафарбована або виколота точка, відрізок або промінь. Потім розв'язуй нерівності і подивись, чому під час множення на від'ємне число знак змінюють на протилежний.
- Многочлени: стандартний вигляд, додавання, множенняЗведи многочлен до стандартного вигляду, відніми многочлени з дужками, перемнож три члени на два в таблиці та піднеси добуток до степеня.
- Системи лінійних рівняньЗнайди точку, яка підходить одразу до двох рівнянь: прочитай її там, де перетинаються прямі, побудуй другу пряму, виключи одну змінну, розберися з паралельними прямими і отримай точну відповідь там, де графік дає лише наближену.
- Розкладання квадратного тричлена і формули скороченого множенняСклади плитки квадратного тричлена в прямокутник і знайди дві його дужки, використовуй нульові пари для від'ємних чисел, спочатку виноси спільний множник і познайомся із сумою кубів.
- Рівняння з двома змінними і системиЗнайди пари, що задовольняють рівняння з двома змінними, побудуй його графік, склади систему за умовою задачі та знайди її розв'язок.
- Раціональні дробиРозклади на множники чисельник і знаменник раціонального дробу та скороти спільні множники. Знайди значення x, при яких дріб не має змісту, а потім додавай, віднімай і діли раціональні дроби, зводячи їх до спільного знаменника.
- Групування та куби: розклад на множникиРозклади многочлен із чотирьох членів методом групування, розклади суму та різницю кубів і виберіть, з чого починати, коли способів кілька.
- Квадратні рівняння: розкладання на множники, виділення квадрата, формулаРозв'язуй квадратні рівняння розкладанням на множники, виділяй квадрат двочлена з плиток, як аль-Хорезмі, і за дискримінантом дізнавайся, скільки рівняння має коренів.
- Многочлени і ділення многочленівСтепінь многочлена і його стандартний вигляд, а потім ділення многочленів: таблицю множення заповнюють навпаки, з остачею і з пропущеними степенями.
- Схема Горнера і цілі кореніПоділи многочлен на x − a за допомогою таблиці Горнера, знайди остачу й цілі корені серед дільників вільного члена.
- Таблиці знаків і дробово-раціональні нерівностіЗнайди, де вираз додатний, а де від'ємний: познач нулі, заповни таблицю знаків під координатною прямою і прочитай розв'язок нерівності, наприклад x − 1x + 2 ⩾ 0.
- Нерівності з двома змінними і області на площиніПроведи межову пряму, зроби її суцільною або пунктирною, перевір точку і заштрихуй область; потім знайди область, де правильні одразу дві або три нерівності.
- Числові нерівності та їхні властивостіПорівнюй числа за знаком різниці a − b, доводь нерівності, додавай нерівності почленно й оцінюй значення виразу.
- Системи лінійних нерівностей з однією змінноюРозв'яжи кожну нерівність системи, зобрази розв'язки на прямій і знайди їхню спільну частину: відрізок, одне число або порожню множину.
- Системи рівнянь із двома зміннимиЗнаходь розв'язки системи, де є рівняння другого степеня, як спільні точки графіків, розв'язуй її підстановкою й складай систему за умовою задачі.
- Системи рівнянь: спосіб підстановкиПідстав вираз для однієї змінної в друге рівняння, збережи дужки, спершу виразь одну змінну й перевір відповідь на графіку та в обох рівняннях.
- Раціональні та ірраціональні рівнянняРозв'язуй рівняння з дробами та рівняння з квадратними коренями й відкидай сторонні корені за допомогою перевірки.
- Сума й добуток коренів, приховані квадратні рівняння, перетин прямої та параболиПрочитай суму й добуток коренів за коефіцієнтами, розв'яжи рівняння четвертого степеня заміною змінної та знайди, де пряма перетинає параболу.
- Теорема Безу, наслідок з неї та корені многочленівЗнайди остачу без ділення, побачи дільник за наслідком з теореми Безу, знайди корені многочлена третього степеня й прочитай коефіцієнти за коренями.
- Квадратні нерівності та параметриРозв'язуй квадратні нерівності за знаками множників і побач, як буква в рівнянні перетворює питання «скільки коренів?» на нерівність.
- Перетворення формулВиріши формулу відносно однієї букви: використовуй ті самі дії, що й на терезах, але з буквами.
- Біном Ньютона для будь-якого степеня: наближені обчисленняВикористай перші члени розкладу бінома, щоб наближено обчислити корені та обернені числа, близькі до 1.
- Парабола через три точкиСклади й розв'яжи систему трьох лінійних рівнянь для a, b, c та перевір параболу на графіку.
- Рівняння: правило невідомого компонентаСкладаємо рівняння за текстом, розв'язуємо за правилом знаходження невідомого компонента й перевіряємо підстановкою. Розділ: 3–4 клас, рівняння з невідомим компонентом; формули й корінь рівняння 5–7 класів — в іншій студії.
- Дії з раціональними дробами: віднімання, протилежні знаменники, степінь, тотожностіВіднімай раціональні дроби зі зміною знаків, знаходь додаткові множники, працюй із протилежними знаменниками, підноси дріб до степеня і доводь тотожності, як у підручнику 8 класу.
- Рівносильні рівняння, раціональні рівняння і задачі на складання рівняньДізнайся, що таке рівносильні рівняння і сторонній корінь, розв'яжи раціональне рівняння з перевіркою і складай рівняння до задач на рух і на роботу.
- Неповні квадратні рівняння і квадратний тричленРозв'язуй неповні квадратні рівняння трьох видів, знаходь корені квадратного тричлена і розкладай його на множники з урахуванням першого коефіцієнта.
- Формули, рівняння, корінь рівнянняКористуйся формулою шляху, знаходь невідомі компоненти дій, перевіряй корінь підстановкою, переноси доданки з протилежним знаком і дізнайся, коли рівняння ax = b не має коренів. Розділ: 5–7 класи, формули, корінь рівняння, ax = b; рівняння 3–4 класів — в іншій студії.
- Системи рівнянь як моделі задачПерекладаємо задачу про рух, роботу, цифри й прямокутник мовою рівнянь: називаємо невідомі x і y, складаємо систему, розв'язуємо її й перевіряємо, чи відповідь підходить за змістом. Розділ: 9 клас, алгебра, §14.
- Вирази зі змінноюЗамість квадратика пишемо букву: так з'являється вираз зі змінною. Підставляємо значення змінної й обчислюємо значення виразу. 2 клас.
- Нерівності зі змінною: залежність результату від компонентаРозв'язуємо нерівності зі змінною двома способами: добором і зведенням до рівняння. Записуємо відповідь із трикрапкою. 3–4 клас.
- Метод інтервалівПознач корені на числовій прямій, постав знак на кожному проміжку й прочитай розв'язок нерівності, наприклад (x + 1)x − 4x − 2 ⩽ 0.
- Рівняння з параметромПараметр — це не задане, але фіксоване число. Дивись на графік і розглядай випадки: при яких a є корені і скільки їх?
- Множення і ділення раціональних дробівМнож і діли раціональні дроби: розклади на множники, скороти, заміни ділення множенням на обернений дріб і скажи, яких значень літери брати не можна.
- Ціла частина дробу та рівняння в цілих числахВиділи цілу частину раціонального дробу, знайди останні цифри й остачі степенів за їхнім циклом та розв'яжи рівняння в цілих числах.
- Квадратне рівняння з параметромРухай a і дивись, як парабола йде вгору й униз: кількість коренів залежить від дискримінанта, а знаки коренів — від теореми Вієта.
- Ірраціональні нерівності та рівносильні системиРозв'язуй нерівності з квадратним коренем, замінюючи їх рівносильною системою з урахуванням області допустимих значень і знака правої частини.
- Системи й сукупності нерівностей; показникові та логарифмічні системиВідрізняй «і» (система, спільна частина) від «або» (сукупність, об'єднання), розв'язуй змішані системи та системи показникових і логарифмічних рівнянь.
- Задачі на суміші, сплави й відсоткиСклади таблицю «було / стало» для розчину, сплаву й ціни, добери x за умовою та перевір, чи відповідь підходить за змістом.
- Будова виразу і порядок дійНазви останню дію виразу, виконуй дії в правильному порядку й став дужки, щоб змінити результат.
- Рівняння з віконцем і обернені діїЗапиши історію як рівняння з віконцем, знайди число оберненою дією, розв'язуй загадки з кінця й перевіряй підстановкою.
Координати
12
- Кутовий коефіцієнт і рівняння прямої y = kx + bВиміряй нахил прямої за допомогою трикутника-сходинки, задай k і b повзунками, побудуй пряму за таблицею значень і знайди рівняння прямої, що проходить через дві точки.
- Рівняння прямої, паралельні прямі і перпендикулярні прямі, відстань і середина відрізкаЗведи загальне рівняння прямої до вигляду y = kx + b, побудуй паралельну й перпендикулярну прямі, знайди відстань між двома точками за теоремою Піфагора і середину відрізка як середнє арифметичне.
- Поділ відрізка в заданому відношенні та відстань від точки до прямоїЗнайди точку, яка ділить відрізок у заданому відношенні, і відстань від точки до прямої за формулою.
- Площа трикутника за координатами та геометричні задачіЗнайди площу трикутника за координатами трьох вершин і розв'язуй геометричні задачі методом координат.
- Коло: рівняння, пряма і коло, дотичнаСклади й прочитай рівняння кола, знайди спільні точки прямої та кола і попрацюй з дотичною та її довжиною.
- Конічні перерізи та параболаДізнайся, що парабола — це множина точок, однаково віддалених від фокуса і директриси, і прочитай її рівняння з вершиною в початку координат та в будь-якій точці.
- Еліпс, гіпербола і пряма відносно нихЗнайди фокуси еліпса й гіперболи за рівнянням, побудуй еліпс із довільним центром, проведи асимптоту гіперболи й дослідь взаємне розміщення прямої та параболи.
- Параметричні рівняння та полярні координатиПобудуй криву за параметричними рівняннями за точками, виключи параметр, змоделюй рух і перейди від полярних координат до декартових.
- Кутовий коефіцієнт прямої та колінеарні векториЗнайди кутовий коефіцієнт k за кутом нахилу прямої (k = tg α, в тому числі для тупого кута), перпендикулярні прямі та вектор, колінеарний даному.
- Пряма та осі координат: трикутник, периметр і площаЗнайди точки перетину прямої ax + by = c з осями, периметр і площу трикутника, який вона відтинає, та точку перетину двох прямих.
- Площа за допомогою визначникаОбчисли площу паралелограма й трикутника за векторами та координатами за допомогою визначника другого порядку.
- Координати точки в просторіВизнач, де лежить точка, знайди відстань між точками, середину відрізка й симетричну точку за координатами.
Функції і графіки
32
- Відповідності, упорядковані пари і функціїЗобрази відповідність схемою зі стрілками, познач її упорядковані пари на площині, виріши, які відповідності є функціями, і перевір графік вертикальною прямою.
- Графіки в житті: швидкість і зростанняПрочитай за графіком руху зупинки і швидкості, побудуй графік прогулянки, добери графік до пляшки, яку наповнюють, і порівняй подвоєння з рівномірним зростанням.
- Графіки квадратичної функціїЗаповни таблицю для y = x2 − 2x − 3 з від'ємними x і побудуй графік, з'ясуй, чому низ параболи заокруглений, знайди за графіком корені рівняння, точку перетину з віссю Oy і вершину параболи та подивися, що робить a в y = ax2.
- Запис функції, область визначення та область значеньОбчисли значення f(x) за правилом, знайди аргумент за заданим значенням, запиши область визначення дробу та квадратного кореня й прочитай область значень за графіком.
- Модуль і ціла частина числаПобачи модуль у таблиці та на графіку, розв'яжи рівняння з модулем як два перетини з прямою, прочитай сходинки функції «ціла частина числа» й побудуй вартість поїздки в таксі, що зростає сходинками.
- Зростаючі, спадні, парні й непарні функціїЗнайди проміжки, де графік іде вгору або вниз, відобрази точки відносно осі ординат і початку координат та перевір за f(−x), чи функція парна, непарна, чи жодна з них.
- Сума, композиція та обернена функціяДодай дві функції, збережи порядок у складеній функції, знайди обернену функцію до «машини», скасовуючи її кроки, побудуй графік оберненої функції симетрією відносно прямої y = x і за горизонтальною прямою визнач, які функції мають обернену.
- Паралельне перенесення, симетрія та розтягування графіківПересувай графік y = (x − h)² + k повзунками, прочитай вершину параболи, подивись, куди переходить точка при f(2x), і поєднай кілька перетворень на одній параболі.
- Графіки кубічних функцій, ескіз многочлена та асимптотиЗаповни таблицю значень кубічної функції й побудуй її графік, накресли графік многочлена за коренями та точкою перетину з віссю ординат, проведи вертикальну й горизонтальну асимптоти дробово-раціональної функції.
- Лінійна функція: формула, таблиця, графікЗадай функцію формулою, таблицею й графіком, побудуй пряму за k і b, знайди нуль функції та проміжки, де вона додатна.
- Квадратична функція та властивості функційЗнайди вершину параболи за формулою, прочитай властивості функції за графіком, розв'яжи квадратну нерівність графічно й побудуй графіки y = |f(x)| та y = f(|x|).
- Число e, зростання та спаданняДізнайся, чому (1 + 1n)n наближається до e, поклади графік y = a·ex на задану криву та побудуй моделі зростання й спадання.
- Показникові функції з довільною основою та показникові рівнянняЗаповни таблицю значень 2^x, переконайся, що за основи більшої за 1 крива зростає, а за основи між 0 і 1 спадає, і розв'яжи показникове рівняння, записавши обидві частини з однаковою основою.
- Логарифм і логарифмічна функціяПереконайся, що логарифм — це показник степеня, у який підносять основу, побудуй графік логарифмічної функції як симетричний графіку показникової, і знайди десяткові логарифми степенів числа 10.
- Властивості логарифмів та рівнянняПознайомся з логарифмом добутку та логарифмом степеня, розв'яжи логарифмічне рівняння та «випрями» дані за допомогою логарифмів.
- Кусково-задані функції, функція знака та властивості модуляПрочитай кусково-задану функцію, побудуй точки функції знака, побудуй графік y = |x − 1| + 2 зсувом літери V та прочитай нерівності з модулем за графіком.
- Найбільше і найменше значення, степенева функціяЗнайди найбільше й найменше значення функції на множині, порівняй графіки y = xⁿ для парного й непарного n та вивчи графік y = x⁻ⁿ.
- Зсув гіперболиРухай гіперболу за допомогою b і c, читай асимптоти, область визначення й область значень та обчислюй точку перетину з віссю y.
- Сім'ї прямих і параболРухай параметр сім'ї, знайди лінію, на якій лежать усі вершини, і розв'яжи задачу про дотик за допомогою дискримінанта.
- Показникові рівняння й нерівності: способи розв'язанняВиноси спільний степінь за дужки, заміни 2ˣ на t, прочитай корінь на графіку й дізнайся, коли знак нерівності зберігається, а коли змінюється.
- Функції y = k/x і y = √x та їхні графікиПобудуй гіперболу за таблицею, дізнайся, у яких чвертях лежать її гілки, знайди k за точкою і побудуй графік функції y = √x.
- Основна логарифмічна тотожність, нова основа, властивості логарифмічної функціїОбчисли значення виразів за основною логарифмічною тотожністю, перейди до нової основи й порівняй логарифми з основою між 0 і 1. Розділ: 11 клас, алгебра, §4–5 (логарифм, його властивості, логарифмічна функція); логарифмічні рівняння — в іншій студії.
- Логарифмічні рівняння й нерівності: умови існування, заміна, змінна основаРозв'язуй рівняння із сумою логарифмів, перевіряй корені за умовами системи, вводь нову змінну (нехай lg x = t), знаходь змінну основу й розв'язуй нерівності з основою між 0 і 1.
- Функція y = x² та її графікСклади таблицю значень функції y = x², побудуй точки, дізнайся властивості графіка й розв'яжи рівняння x² = 4 та x² = x + 2 за графіком.
- Властивості функції за графікомЗа графіком функції на проміжку [−4; 7] знайди нулі функції, проміжки знакосталості, проміжок зростання та найбільше значення. Розділ: 9 клас, алгебра, §8 «Властивості функції».
- Графіки y = ⁿ√x та степеня з раціональним показникомПорівняй графіки ³√x, ⁴√x, √x, знайди область визначення кореня n-го степеня й степеня з раціональним показником, порівнюй числа за зростанням функції.
- Зростання і спадання: B(t) = B0 · q^tВідрізни лінійну, квадратичну й показникову таблиці, знайди час подвоєння та період піврозпаду за допомогою логарифма й подивись, де показникова модель перестає бути реалістичною.
- Многочлени: поведінка на кінцях, нулі та формулаВизначай поведінку графіка на кінцях за степенем і старшим коефіцієнтом, відрізняй прості нулі від двократних, розв'язуй біквадратне рівняння й знаходь формулу за графіком.
- Задачі на найбільше значення без похідноїСклади цільову функцію для огородженого прямокутника, прямокутника в трикутнику та коробки й знайди найбільше значення за вершиною параболи або за таблицею. Вкажи область визначення змінної.
- Сім'ї функцій та їхні параметриЗсувай степеневі й показникові функції повзунками, знаходь область визначення, область значень та асимптоту, будуй обернену функцію як відображення й добирай формулу за графіком.
- Дробово-раціональні функціїВідрізняй вертикальну асимптоту від виколотої точки, читай границі, знаходь асимптоти й складай формулу за властивостями.
- Формула функції за умовамиПереклади властивості графіка в рівняння для f, f′ і f″, знайди параметри та геометричне місце точок екстремуму сім'ї функцій.
Вектори
16
- Напрямлені відрізки, вектори і паралельне перенесенняМалюй вектори від початку до кінця і записуй їхні координати, знаходь рівні й протилежні вектори і виконуй паралельне перенесення фігури на вектор.
- Додавання векторів, множення вектора на число, координатні векториДодавай вектори за правилом трикутника і за правилом паралелограма, віднімай один вектор від іншого, розтягуй і повертай вектор множенням на число і записуй будь-який вектор через i та j.
- Вектори в русіДодай переміщення робота в одне переміщення, поверни його додому протилежним вектором і подивись, як течія річки змінює шлях плавчині.
- Вектори в просторі: координати, модуль, відстаньВектор у просторі — діагональ прямокутного паралелепіпеда. Знайди за координатами модуль вектора, відстань між точками та середину відрізка.
- Скалярний добуток векторівСкалярний добуток двох векторів — число, яке показує кут між ними. Обчисли його та скористайся ним, щоб знайти кут або перпендикулярність.
- Площа й об'єм за допомогою векторного добуткуДовжина векторного добутку двох векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на них. Для трьох векторів визначник дає об'єм паралелепіпеда.
- Рівняння прямої та площини в просторіПряму в просторі задають точкою й напрямним вектором, а площину — точкою й вектором нормалі. Запиши їхні рівняння й перевір, чи лежать точки на них.
- Кути, перетини та відстані в просторіЗнайди кут між прямою та площиною, точку перетину прямої з площиною, відстань від точки до площини й кут між двома площинами за допомогою скалярних добутків і рівнянь.
- Вектори в доведеннях і задачахЗнайди точку рівноваги точок із вагами (центр мас), векторне доведення (відрізок, що сполучає середини двох сторін трикутника) і розв'яжи задачі про швидкість та паралелограми, малюючи вектори.
- Вектор на площині: координати, модуль, скалярний добутокЗнайди координати й модуль вектора, скалярний добуток за координатами та за кутом, умову перпендикулярності та кут між векторами.
- Скалярний добуток векторів: модулі, кут, координатиОбчисли скалярний добуток за модулями й кутом, піднеси суму векторів до квадрата, знайди косинус кута між векторами й кут трикутника за координатами вершин.
- Вектори в просторі: сума та добуток на числоДодавай вектори за правилом паралелепіпеда й у координатах, множ вектор на число та перевір, чи колінеарні вектори.
- Вектори на призмі й паралелепіпеді: рівні, сума, колінеарніРозпізнавай рівні, співнапрямлені й протилежно напрямлені вектори на призмі, додавай вектори за правилом трикутника, виражай вектор через інші та знаходь колінеарні вектори за координатами.
- Розклад вектора за двома неколінеарними векторамиБудь-який вектор на площині можна скласти з двох неколінеарних векторів: p = xa + yb. Побудуй частини розкладу на сітці, знайди коефіцієнти, розкладі вектор AM у паралелограмі та знайди довжину проєкції вектора.
- Взаємне розташування прямих і площин у просторіПеревірка належності точки прямій, вектор нормалі через векторний добуток, взаємне розташування двох прямих і точка перетину прямої з площиною.
- Відстані в просторіВідстань від точки до площини за формулою, основа перпендикуляра, паралельні площини та мимобіжні прямі.
Тригонометрія
20
- Синус, косинус і тангенс гострого кута прямокутного трикутникаЗбільшуй і зменшуй прямокутний трикутник із кутом 35° і подивись: сторони змінюються, а їхнє відношення — ні. Потім знайди протилежний і прилеглий катети та гіпотенузу для кожного кута, а також сторону й кут за таблицею значень, без калькулятора.
- Значення синуса, косинуса і тангенса кутів 30°, 45° і 60°Розріж навпіл рівносторонній трикутник і квадрат і знайди точні значення синуса, косинуса і тангенса кутів 30°, 45° і 60°, пов'яжи тангенс із кутовим коефіцієнтом прямої і розв'яжи рівняння на зразок sin x = 12.
- Кути довільної величини, одиничне коло та радіаниПовертай точку по одиничному колу на кути більші за 90°, зокрема від'ємні, читай синус і косинус за її положенням, вимірюй кут у радіанах і знаходь точні значення, наприклад sin7π6.
- Пов'язані кути, дуги та секториВідобрази точку на одиничному колі й побач, як пов'язані синус і косинус кутів α і 180° − α, за допомогою гострого кута знайди cos 120°, а потім обчисли довжину дуги й площу сектора з кутом у радіанах.
- Графіки синуса і косинуса, період і амплітудаЧитай графіки синуса й косинуса: де косинус дорівнює нулю, як змінюються період і найбільше значення в y = sin 2x та y = 2sinx + 1.
- Тригонометричні тотожності та доведенняЗа допомогою sin2α + cos2α = 1 і tgα = sinαcosα знаходь одну тригонометричну функцію за іншою, знайди хибний рядок у «доведенні» і дізнайся, що вважають доведенням тотожність.
- Формули додавання і подвійного аргументуЗастосуй формули додавання з точними значеннями, щоб знайти sin 75° і cosπ12, потім формули подвійного аргументу.
- Тригонометричні рівняння: квадратні та системиРозв'язуй тригонометричні рівняння, знаходячи всі кути від 0° до 360°: tg x = −1, квадратні рівняння відносно sin x або cos x (в одному спершу потрібна тотожність) і систему двох рівнянь з x та y.
- Теорема синусів, теорема косинусів, теорема тангенсів і 3DРозв'язуй трикутники, намальовані в масштабі, за допомогою теорема синусів, теорема косинусів і теореми тангенсів, а потім за прямокутними трикутниками знайди кут у прямокутному паралелепіпеді.
- Площа трикутника: синус, формула Герона і колаЗнайди площу трикутника за двома сторонами й кутом між ними або за трьома сторонами за формулою Герона, а потім за площею знайди радіуси вписаного та описаного кіл.
- Тангенс: графік, область визначення та періодЧитай графік y = tg x: його знак у кожній чверті, де він не визначений, його період і розв'язки рівняння tg x = 1.
- Парність і формули зведенняДізнайся, що синус і тангенс непарні, а косинус парний, а потім застосуй правило формул зведення: коли функція змінює назву і який знак вона має.
- Властивості тригонометричних функційПрочитай за графіками синуса, косинуса і тангенса їхні властивості: період, парність, нулі, проміжки спадання, область визначення і значень.
- Загальні розв'язки тригонометричних рівняньПряма y = b перетинає графік синуса, косинуса чи тангенса в нескінченній кількості точок. Запиши всі розв'язки формулою з n ∈ ℤ, а в рівнянні, що зводиться до квадратного, відкинь корінь, якого не буває.
- Синус, косинус і тангенс кута від 0° до 180°Визнач синус і косинус кута за координатами точки одиничного півкола, знайди значення для тупих кутів і використай рівність sin²α + cos²α = 1.
- Розв'язування трикутниківРозв'яжи трикутник у чотирьох випадках: за стороною й двома кутами, за двома сторонами й кутом між ними, за трьома сторонами та за двома сторонами й кутом, що лежить проти однієї з них. Розділ: 9 клас, геометрія, §4 (довільні трикутники); прямокутні — в студії 8 класу.
- Наслідки з теореми косинусівВид трикутника за найбільшою стороною (гострокутний, прямокутний чи тупокутний), сума квадратів діагоналей паралелограма й задача зі сторонами AB і BC. Розділ: 9 клас, геометрія, §2 «Теорема косинусів».
- Котангенс, тотожності та розв'язування прямокутних трикутниківДізнайся про котангенс і основну тригонометричну тотожність, розв'язуй прямокутні трикутники за гіпотенузою і кутом або за двома катетами і розв'язуй практичні задачі. Розділ: 8 клас, геометрія, §3 (прямокутні трикутники); довільні трикутники — в студії 9 класу.
- Тригонометричні нерівності та добір коренівЗнайди за графіком, де синус або косинус більший чи менший за число, і добери корені рівняння на заданому відрізку.
- f(x) = a · sin(b · (x + c)) + dЗмінюй амплітуду, середню лінію, період і зсув синусоїди, правильно читай зсув у дужці та застосуй модель до припливу.
Статистика
32
- Збираємо дані: палички і піктограмиЗапитай клас, полічи відповіді паличками і намалюй піктограму.
- Стовпчасті діаграми і графікиПобудуй за таблицею стовпчасту діаграму і графік, прочитай їх і вибери діаграму, яка підходить до запитання.
- Підрахунок рисками, додавання рисками та піктограми по 10Сортуй і рахуй рисками, додавай і віднімай рисками та будуй піктограму, де один малюнок — це 10.
- Кругові діаграми і середнє арифметичнеРозфарбовуй і читай кругові діаграми, вирівнюй стовпчики, щоб знайти середнє арифметичне, і відрізняй числові дані від даних, виражених словами.
- Мода, медіана, середнє значення вибірки і розмахРозклади картки з даними по порядку, щоб знайти медіану, знайди моду і розмах за точковою діаграмою, подивись, як зсувається середнє арифметичне, коли змінюється одне значення, і вибери найкращий показник.
- Викиди і порівняння двох рядів данихПорівняй стрибки в довжину з місця у двох класах за медіаною і розмахом, відсунь одне значення далеко і подивись, як змінюються середнє арифметичне, медіана і розмах, і виріши, чи викид — помилка, чи справжнє значення.
- Групування даних, гістограми і полігони частотРозподіли значення зросту на рівні інтервали, склади частотну таблицю з відносними частотами, побудуй гістограму, у якій стовпчики дотикаються, і з’єднай середини інтервалів у полігон частот.
- Середнє для згрупованих даних і накопичена частотаОціни середнє арифметичне згрупованих даних за допомогою стовпця «середина · частота», правильно об’єднай середні значення двох класів, заповни стовпець накопиченої частоти, побудуй графік і знайди за ним медіану.
- Парні дані та діаграми розсіюванняПознач пари даних, визнач вид даних, опиши кореляцію, проведи пряму найкращого наближення, зроби за нею прогноз і відрізни кореляцію від причини та наслідку.
- Генеральна сукупність, вибірка і збирання данихЗроби випадкові вибірки з 10 і з 50 учнів школи, де навчається 600 дітей, і порівняй їх з усією школою. Знайди нерепрезентативну вибірку і вибери правильний спосіб збирання даних для кожного запитання.
- Додатково: середнє абсолютне відхиленняПодивись, як далеко кожна точка від середнього арифметичного, знайди середнє цих відстаней, дізнайся, чому різниці зі знаками завжди дають у сумі нуль, і порівняй два ряди даних за розкидом.
- Квартилі та діаграма розмахуПоділи впорядковані дані на чотири рівні частини, знайди Q₁ і Q₃, познач п'ять чисел діаграми розмаху та виміряй середню половину даних міжквартильним розмахом.
- Дисперсія, середнє квадратичне відхилення і коефіцієнт варіаціїВимірюй розкид даних за квадратами відстаней до середнього: дисперсія, середнє квадратичне відхилення і коефіцієнт варіації, за яким порівнюють розкид у різних одиницях.
- Форма даних і нормальна криваПрочитай форму гістограми (симетрична чи скошена), побач, як скошеність відводить середнє від медіани, і застосуй правило 68–95–99,7 до даних дзвоноподібної форми.
- Кореляція та пряма регресіїВизнач силу кореляції за коефіцієнтом r, знайди середню точку, задай пряму регресії її кутовим коефіцієнтом і вільним членом та зроби прогноз у межах даних.
- Діаграми «стовбур і листя» та часові рядиЗапиши дані у діаграмі «стовбур і листя» й прочитай її, а потім побудуй часовий ряд як лінійну діаграму та згладь його ковзним середнім.
- Класи різної ширини та дані з двома зміннимиПобудуй гістограму з класами різної ширини за допомогою густини частоти, віднови частоту за стовпчиком і прочитай дві змінні тих самих людей на одній діаграмі.
- Межа бідності, індекс цін та інфляціяЗнайди межу бідності за медіаною доходів, обчисли індекс цін і побач, що робить інфляція.
- Тенденція, інтерполяція та екстраполяціяПрочитай закономірність і тенденцію часового ряду, оціни значення між даними (інтерполяція) і за їхніми межами (екстраполяція).
- Збір даних, масштаб і лінійні діаграмиПідрахуй рисками відповіді опитування, добери зручний масштаб осі діаграми та прочитай лінійну діаграму температури за 12 місяців.
- Відсотки в статистиці та ймовірностіЗапиши результат опитування у відсотках, знайди відсоток за кутом сектора, побудуй відсоткову кругову діаграму й запиши ймовірність у відсотках.
- Види змінних, збір даних і оцінюванняРозрізняй якісні й кількісні, дискретні й неперервні змінні, зроби розшаровану вибірку, обери справедливе запитання анкети та оціни середнє генеральної сукупності за вибіркою.
- Таблиці даних: читаємо й заповнюємоПрочитай просту таблицю, знайди найбільше значення, обчисли різницю та заповни таблицю за даними.
- Групуємо за ознакоюРозклади предмети на групи за кольором і за формою, полічи кожну групу й знайди найбільшу.
- Розклад: початок, кінець, тривалістьЧитай розклад уроків і потягів, знаходь кінець уроку, тривалість перерви та поїздки і вибирай потяг за умовою.
- Перевірка простих гіпотез, коваріація і метод найменших квадратівВизнач, скільки гербів робить гіпотезу про правильну монету неправдоподібною, знайди коваріацію та коефіцієнт кореляції для п'яти точок і пряму з найменшою сумою квадратів похибок.
- Спільна ознака і класифікаціяЗнайди спільну ознаку набору, розклади фігури на групи за двома ознаками одразу і знайди зайву.
- Критичне читання данихПорівнюй групи, помічай ефект Сімпсона, оцінюй вибірку, відрізняй відсотки від відсоткових пунктів і кореляцію від причини.
- Абсолютна і відносна частотаПолічи відповіді опитування паличками, знайди відносні частоти дробом, десятковим дробом і відсотками та порівняй групи різного розміру.
- Діаграми, що вводять в омануЗнайди обрізану вісь, малюнки різного розміру і перебільшені заголовки та побудуй чесну діаграму.
- Статистика, що вводить в оману: осі, діаграми, вибіркаЗнайди обрізану вісь, обери доречну діаграму, відрізни представницьку вибірку від зручної й побач, чому середнє саме по собі може обманювати.
- Крива Гауса: μ і σНалаштуй μ і σ, щоб крива збіглася із заданою, застосуй правила сигм і знайди межі проміжків для нормального розподілу.
Ймовірність
18
- Шанс: достовірна, можлива, неможлива подіяДіставай фішки з мішечка, крути вертушку й кидай гральний кубик. Визнач, яка подія достовірна, яка можлива, а яка неможлива.
- Частота і ймовірністьКрути вертушку, підкидай кришечку від пляшки й гральний кубик: 10 разів, 100 разів, 1000 разів. Подивися, як відносна частота наближається до ймовірності.
- Рівноможливі результати, два експерименти разом і протилежна подіяПерелічи всі результати для монети й вертушки, для двох монет і для двох кубиків. Знайди сприятливі клітинки в таблиці 6 · 6 і обчисли ймовірність того, що подія не відбудеться, через ймовірність того, що вона відбудеться.
- Діаграми Ейлера, події і таблиці з двома входамиРозподіли клас із 30 учнів за футболом і шахами на діаграмі Ейлера, переведи ті самі дані в таблицю з двома входами і назад, подивися на події як на множини і знайди ймовірності подій «або» за правилом додавання.
- Дерево варіантів, правило добутку і незалежні подіїБудуй дерева, щоб полічити вбрання й місця в забігу, пиши ймовірності на гілках, множ уздовж шляху, додавай шляхи й подивися, що змінюється, коли намистину не повертають у мішечок.
- Правила ймовірності, неперервні результати й очікувана кількістьДодай ймовірності результатів, які не можуть відбутися разом, знайди, які набори чисел можуть бути ймовірностями, обчисли ймовірність як частину довжини та передбач, скільки разів щось станеться.
- Умовна ймовірністьЗа таблицею, діаграмою Ейлера—Венна і деревом знаходь ймовірність однієї події, коли вже відомо про іншу, дізнайся, чому важливий порядок «за умови», і познайомся із залежними подіями.
- Незалежні події та повна ймовірністьПеревір за таблицею, чи незалежні дві події, зрозумій, чому події, що не можуть відбутися разом, не є незалежними, і додай шляхи дерева, щоб знайти ймовірність наслідку, який може виникнути кількома способами.
- Випадкові величини та математичне сподіванняДай кожному наслідку підкидання двох кубиків число, знайди ймовірності значень цього числа, обчисли середнє значення кубика й вирішуй, скільки варта гра за один кидок.
- Нерівні шанси та формула БайєсаДай кожному результату його вагу та додай ваги. Потім прочитай дерево навпаки: знайдено бракований болт, який верстат його виготовив?
- Біноміальний розподіл і розподіл ПуассонаПолічи шляхи дерева, на яких рівно k успіхів, побачи, звідки береться формула біноміального розподілу, і користуйся формулою Пуассона для подій, що трапляються випадково.
- Нормальний розподіл і z-значенняПознач на числовій прямій відстані від середнього в стандартних відхиленнях, скористайся правилом 68–95–99,7, обчисли z-значення й знайди ймовірність у «хвості».
- Вибіркові середні, частки й центральна гранична теоремаПобач, що середні вибірок розкидані значно менше, ніж окремі значення, обчисли стандартну похибку середнього й частки та за центральною граничною теоремою знайди ймовірність.
- Дисперсія випадкової величини, геометричний розподіл і нерівність ЧебишоваОбчислюй дисперсію за таблицею розподілу, знаходь дисперсію суми незалежних величин, рахуй ймовірність «до першого успіху» й оцінюй відхилення від середнього за нерівністю Чебишова.
- Геометрична ймовірність, щільність і неперервні випадкові величиниЗнаходь імовірність потрапляння навмання вибраної точки в частину фігури, відрізка чи дуги як відношення мір, зрозумій щільність розподілу й познайомся з рівномірним та показниковим розподілами.
- Ймовірність і комбінаціїЗнайди ймовірність події за формулою P(A) = mn, коли результати вибору підраховують за допомогою комбінацій Cₙᵏ і розміщень Aₙᵏ.
- Оцінка числа π випадковими точками й смужкамиПорахуй випадкові точки в чверті круга, щоб оцінити π, подивись, як розкид зменшується зі зростанням кількості точок, і порівняй із методом смужок.
- Одностороння перевірка гіпотезиЗапиши H₀, знайди критичну область на рівні значущості 5 %, оціни помилку першого роду й правильно прочитай результат.
Множини і логіка
23
- Множина, її елементи, підмножинаРозкладай картки з числами по кругах діаграми Ейлера, записуй множини у фігурних дужках, зафарбовуй об'єднання, переріз і різницю та рахуй за допомогою діаграми.
- Розміщення та групи: перестановки й комбінаціїВирости дерево варіантів, щоб полічити, хто може посісти перше й друге місця, шикуй друзів у ряд, а потім зрозумій, чому групи людей рахують рідше, ніж впорядковані набори.
- Біном Ньютона і трикутник ПаскаляРозглянь (a + b)³ як три дужки й порахуй шляхи, що дають кожен доданок, прочитай коефіцієнти з трикутника Паскаля та користуйся ними для розкладів із числами.
- Рахуємо без повторів і принцип ДіріхлеПолічи учнів у двох гуртках, не рахуючи двічі тих, хто ходить в обидва, полічи числа, кратні 2 або 3, а потім за принципом Діріхле переконайся, що двоє предметів потраплять в одну «клітку».
- Речення зі змінною, підмножини та закони множинВідрізняй твердження від речення зі змінною, знаходь множину розв'язків, рахуй підмножини та перевіряй закони дистрибутивності й поглинання на діаграмі Ейлера.
- Твердження, «і», «або», «не» та «якщо …, то …»Визнач, які речення є твердженнями, правильно користуйся словами «і», «або», «не», перевір обіцянку «якщо …, то …» і знайди твердження, обернене до протилежного.
- Квантори, правильні міркування та закони де МорганаЗаперечуй слово «усі», зображуй твердження «кожне число, кратне 6, кратне й 3», відрізняй правильні міркування від неправильних і застосовуй закони де Моргана до множин.
- Доведення: пряме, за випадками, від супротивного і за індукцієюДоведи алгеброю, що сума двох непарних чисел парна, перевір твердження, розбивши його на випадки, доведи від супротивного, що найбільшого парного числа не існує, і зроби індукційний крок для непарних чисел.
- Впорядковані пари, відношення та еквівалентністьПознач на площині декартів добуток A · B, виділи відношення, переверни його, щоб дістати обернене, і зрозумій, чому «однакова остача» є відношенням еквівалентності.
- Підрахунок із повторами: розташування, групи та «зірочки й риски»Розташуй кульки одного кольору в ряд, порахуй коди з повторюваними цифрами, розподіли учнів по кімнатах і порахуй букети квітів методом «зірочок і рисок».
- Запис множин за умовою та порівняння нескінченних множинЗнай ℕ, ℤ, ℚ і ℝ, записуй елементи множини за її умовою, записуй умову для множини й побач, чому парних чисел «стільки ж», скільки й натуральних.
- Біноміальні коефіцієнти, трикутник Паскаля і доведення рахуваннямПоділи групи друзів на два види, доведи правило Паскаля рахуванням і зрозумій, чому сума чисел у кожному рядку є степенем числа 2.
- Графи: вершини, ребра і степінь вершиниЧитай граф: знаходь степінь кожної вершини, порівнюй суму степенів із кількістю ребер і дізнайся, чому деяких графів не існує.
- Графи: домінівні множиниРозмісти станції так, щоб кожна точка карти була охоплена, і знайди найменшу кількість станцій: число домінування графа.
- Правила суми й добутку, Pₙ, Aₙᵏ і CₙᵏВідрізняй правило суми від правила добутку, обчислюй перестановки, розміщення й комбінації за формулами підручника та розв'язуй рівняння з факторіалами.
- Комбінаторні задачі: перебір, дерево і правило добуткуЗнайди всі способи розставити трьох дівчат по поверхах, збудуй дерево варіантів і дізнайся, чому кількість способів знаходять множенням.
- Правило суми й правило добуткуСкількома способами можна вибрати «a або b» і «a і b»: правило суми, правило добутку, пари (a; b), схема шляхів і задачі про цифри. Розділ: 9 клас, алгебра, §20 «Основні правила комбінаторики».
- Правильно чи неправильноЧитай твердження про фрукти на малюнку зі словами «усі», «кожний», «є» і вирішуй, правильні вони чи ні.
- Якщо..., то...Викреслюй числа за підказками, роби висновки з правил «якщо..., то...» і будуй ланцюжки міркувань.
- Орієнтовані графи й задачі, що розв'язуються графамиЧитай орієнтовані графи, рахуй рукостискання та ігри в турнірі й знаходь найкоротший маршрут, перетворивши задачу на граф.
- Зв'язність, ланцюги, цикли та обхід графаРахуй компоненти зв'язності, знаходь вершини непарного степеня й вирішуй, чи можна обійти граф, не відриваючи олівця.
- Необхідні й достатні умовиДізнавайся, коли умова необхідна, коли достатня, а коли і те, і те, і спростовуй хибне твердження контрприкладом.
- Дерево і плоскі графиВпізнавай дерева, рахуй ребра дерева й остовне дерево, рахуй грані плоского графа за формулою Ейлера.
Комплексні числа
4
- Комплексні числа: i, додавання, множення, діленняПознайомся з числом i, для якого i² = −1, додавай комплексні числа як точки площини, множ їх як дужки й діли за допомогою спряженого числа.
- Квадратні рівняння та многочлени з комплексними коренямиЗрозумій, чому рівняння x² + 4x + 13 = 0 не має дійсних коренів, розв'язуй рівняння з комплексними коренями, познач корені на площині й знайди відсутній корінь кубічного многочлена.
- Комплексна площина: модуль, аргумент і поворотЗображуй комплексні числа точками комплексної площини, знаходь їхні модуль і аргумент, відбивай відносно дійсної осі та множ поворотом із розтягом.
- Степені, корені та кола на комплексній площиніКористуйся e^{iθ} як точкою одиничного кола, підноси числа до степеня за формулою Муавра, знайди чотири корені числа як вершини квадрата й побудуй коло за умовою |z − c| = r.
Матриці
6
- Матриці: розмір, елементи й особливі видиЧитай матрицю як таблицю: знаходь елемент за номерами рядка й стовпця, називай розмір матриці та будуй нульову, одиничну й діагональну матриці.
- Додавання, множення на число, множення й транспонування матрицьДодай і відніми матриці однакового розміру, помнож матрицю на число, помнож рядок на стовпець і перетвори рядки на стовпці.
- ВизначникиОбчислюй визначники 2 · 2 і 3 · 3, дізнайся, що буде, якщо поміняти місцями рядки, і побач, як визначник змінює площі.
- Обернені матриці та розв'язування системЗнайди обернену матрицю 2 · 2 за визначником, обернену матрицю 3 · 3 діями з рядками й розв'яжи систему за допомогою оберненої матриці.
- Правило Крамера та метод ГауссаРозв'яжи систему за допомогою визначників (Крамер), потім діями з рядками (Гаусс) і подивись, як нульовий визначник дає паралельні прямі.
- Матриці як перетворенняМатриця переміщує точки площини: застосуй її до точки, склади матрицю за образами i та j і знайди точки, що лишаються на місці.
Математичний аналіз
21
- Границі: наближення до числаЗаповни таблицю значень поблизу точки, де функція не визначена, прочитай границю з графіка й зрозумій, чому границі зліва і справа мають збігатися.
- Обчислення границь: правила, 0 на 0 і синусЗнаходь границі суми й добутку за графіками, розкривай невизначеність 0 на 0 розкладанням на множники й скороченням і познайомся з границею синуса.
- Нескінченні границі та границі на нескінченностіПобач, чому 1x2 стає величезним поблизу нуля, проведи горизонтальну асимптоту й розкрий невизначеності ∞ : ∞ та ∞ − ∞.
- Неперервність і швидкість зміниПобачи, коли графік можна накреслити, не відриваючи олівця, знайди k, при якому функція неперервна, і стискай середню швидкість зміни до миттєвої.
- Від січної до дотичної: що таке похіднаПосувай точку Q по графіку до точки P, дивись у таблиці, як кутові коефіцієнти січних наближаються до кутового коефіцієнта дотичної, проведи дотичну і дізнайся, чому в точці зламу похідної немає.
- Правила обчислення похіднихВипробуй правила похідної степеня, суми, добутку й частки на числі в одній точці й перевір їх за дотичними на графіку.
- Похідні синуса, показникової, логарифмічної та оберненої функційПеревір похідну sin x поблизу нуля, проведи дотичну до ex, використай ln x як дзеркальне відображення ex, щоб знайти його похідну, і застосуй правило оберненої функції до arctg.
- Неявна, параметрична й друга похідні та пов'язані швидкостіЗнайди кутовий коефіцієнт дотичної до кола в точці за допомогою неявного диференціювання, кутовий коефіцієнт параметричної кривої, другу похідну та подивись, як зміна сторони змінює площу.
- Рівняння дотичної та найбільше й найменше значення на відрізкуСклади рівняння дотичної за формулою y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀), знайди дотичну, паралельну даній прямій, і дотичну через точку поза кривою, а потім знайди найбільше й найменше значення функції на відрізку [a;b].
- Знак похідної та вигляд графікаЗа знаком f′(x) визнач, де графік зростає і спадає, і познач точки, у яких похідна дорівнює нулю.
- Теорема Ролля, правило Лопіталя і ряд МаклоренаЗнайди, де дотична горизонтальна, знайди точку з теореми про середнє значення, обчисли границю 0/0 за допомогою похідних і знайди коефіцієнт ряду Маклорена для cosh x.
- Оцінювання площі, інтегральні суми та формула трапеційОціни площу під графіком y = x² за допомогою вузьких прямокутників і трапецій та подивись, до якого числа прямують оцінки, коли смужки стають вужчими.
- Від первісної до визначеного інтегралаЗнайди первісну й побач, чому потрібне +C, обчисли визначений інтеграл за формулою F(b) − F(a), знайди середнє значення функції й познайомся з інтегралом від 1x.
- Методи інтегруванняЗаміни змінну разом із межами, проінтегруй частинами, розклади дріб на найпростіші, добери тригонометричну підстановку й вирішуй, чи має невласний інтеграл значення.
- Площі, об'єми та довжини дуг за допомогою інтегруванняВикористай визначений інтеграл, щоб знайти площу під кривою та між двома кривими, об'єм тіла обертання, довжину дуги та площу в полярних координатах.
- Диференціальні рівнянняЗапиши швидкість зміни як диференціальне рівняння, знайди на графіку розв'язок y = Cekx і розв'яжи рівняння з відокремлюваними змінними з початковою умовою.
- Побудова графіків і задачі на найбільше та найменше значенняЗнайди точки, у яких похідна дорівнює нулю, і точки екстремуму графіка, а потім за допомогою найбільшого значення розв'яжи задачі на найбільшу площу й найбільший об'єм.
- План дослідження функції і побудова графікаДослідь функцію за планом: область визначення, парність, нулі, зростання і спадання, точки екстремуму — і познач на графіку ключові точки.
- Схема зростання і спаданняЗа знаками похідної на кожному проміжку познач стрілками, де функція зростає ↗ і де спадає ↘, і знайди точки екстремуму.
- Від графіка f до графіка f′Знайди нулі f′, прочитай f′ з графіка f, визнач точку перегину як екстремум f′ і момент найшвидшого зростання.
- Інтегральна функція та основна теоремаПідраховуй баланс площ до x, знаходь екстремуми інтегральної функції та обчислюй за формулою J(x) = F(x) − F(a).
Розв'язування задач
17
- Розв'язуємо задачі: зроби малюнокПрочитай задачу. Скажи, що відомо і що треба знайти. Зроби малюнок, потім розв'яжи задачу.
- Розв'язування задач: запис із віконцемЗапиши задачу числовою рівністю. Постав віконце □ на місце невідомого числа, а потім знайди його.
- Розв'язуємо задачі: перебір, закономірність, вилучення, добірЧотири способи розв'язати задачу: переглянь усі випадки по порядку, знайди закономірність, викресли неможливе, добери відповідь, перевір і уточни.
- Розв'язуємо задачі: за діями, на простіших числах, переборомПоділи велику задачу на кроки, спочатку розв'яжи простішу задачу, переглянь усі випадки по порядку й вибери спосіб розв'язання.
- розв'язування задач: стратегії 7 класуТренуй систематичний перебір, розбиття на прості задачі та розв'язування простішої задачі на задачах про гроші й більших числах.
- розв'язування задач: прибуток і достатність данихЗнайди прибуток продавця за допомогою таблиці та визнач, які числа в задачі потрібні, які зайві, а якого числа бракує.
- Задача: короткий запис і розв'язанняЗапиши умову коротко, склади рівність, розв'яжи задачу в одну або дві дії й запиши відповідь.
- Задачі: у кілька разів, на скільки, обернена задачаЗбільшуємо в кілька разів, порівнюємо кратно, розв'язуємо задачі в непрямій формі та обернені задачі. Розділ: 2–3 клас, «у кілька разів», «на скільки», обернена задача; таблиці «ціна, кількість, вартість» — в іншій студії.
- Задачі з таблицею: ціна, кількість, вартістьЗаписуємо коротко в таблицю «ціна, кількість, вартість» і розв'язуємо задачі на суму, різницю й відношення двох добутків. Розділ: 3 клас, задачі з таблицею «ціна, кількість, вартість»; задачі «у кілька разів» — в іншій студії.
- Складені задачіВідрізняй просту задачу від складеної, склади схему аналізу й короткий запис, запиши розв'язання по діях і виразом.
- Складені задачі з множенням і діленнямРозв'язуй складені задачі на знаходження остачі, суми й різниці добутків, збільшення й зменшення в кілька разів.
- Зістав задачі: що змінилося?Порівняй дві пов'язані задачі, передбач, як зміниться розв'язання, і розв'яжи змінену задачу.
- Дано, розв'язання, відповідьЗапиши задачу так, як у зошиті: Дано, Знайти, Розв'язання (за запитаннями, по діях, одним виразом) і Відповідь.
- Логічні задачіРозв'язуй головоломки: заповнюй таблицю за підказками, знаходь лицарів і брехунів, переливай воду між відрами й шукай винуватця.
- Інструкції та алгоритмиВиконуй інструкції крок за кроком, запускай машину-алгоритм і розстав кроки плану в правильному порядку.
- Витрата і зміна кількостіРозв'язуй задачі на витрату («за день · кількість днів») і на зміну кількості («було — стало») по діях і записуй відповідь.
- Задачі Ферми: прикидка чи точно?Оцінюй великі числа по кроках за відомими мірками, округлюй для швидкої прикидки й вирішуй, коли потрібна точна відповідь.