برش و انتخاب

دو بچه یک کیک دارند و هر دو می‌خواهند سهمی منصفانه ببرند. قدیمی‌ترین قاعدهٔ انصاف این است: یکی می‌برد، دیگری انتخاب می‌کند.

دو بچه، یک کیک، یعنی $\mathrm{۱}$ کیک. یکی می‌برد، دیگری انتخاب می‌کند.

کیک $K=\mathrm{۱}$؛ برش‌دهنده $C$ و انتخاب‌کننده $H$؛ تکه‌ها $a$ و $\mathrm{۱}-a$.

کسی که می‌برد دوست دارد بزرگ‌ترین تکه مال او باشد، ولی نمی‌داند دیگری کدام تکه را برمی‌دارد. پس تنها راه مطمئن این است که دو تکهٔ کاملاً برابر ببرد. اگر یکی از تکه‌ها بزرگ‌تر باشد، انتخاب‌کننده همان را برمی‌دارد و برش‌دهنده کمتر از نصف می‌گیرد.

برش‌دهنده دو تکهٔ $a$ و $\mathrm{۱}-a$ می‌سازد. انتخاب‌کننده تکهٔ بزرگ‌تر را برمی‌دارد، پس سهم برش‌دهنده $\min (a,\mathrm{۱}-a)$ است. این از $\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}$ بیشتر نمی‌شود و فقط برای $a=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}$ به آن می‌رسد. پس باید دقیقاً نصف کند.

سهم $C$ برابر $\min (a,\mathrm{۱}-a)\le \frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}$ است، و برابری فقط برای $a=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}$.

انتخاب‌کننده هم در امان است. هر تکه‌ای که بردارد، دست‌کم نصف کیک مال اوست؛ و اگر برش‌دهنده بی‌دقتی کرده باشد، بیشتر هم می‌گیرد.

سهم انتخاب‌کننده $\max (a,\mathrm{۱}-a)\ge \frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}$ است، هر طور که کیک بریده شود.

سهم $H$ برابر $\max (a,\mathrm{۱}-a)\ge \frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}$ است.

پس هیچ‌کس نمی‌تواند گله کند: هر دو مطمئن‌اند دست‌کم نصف کیک به آن‌ها می‌رسد، و تنها راه مطمئن شدن از نصف، درست بریدن است. این انصاف قاضی لازم ندارد، فقط یک قاعدهٔ خوب.

برش درست یعنی $a=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}$، پس هر کدام مطمئن است دست‌کم $\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}$ می‌گیرد.

پس با $a=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}$ سهم هر دو دست‌کم $\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}$ است.