دو تاس و عدد هفت

من و برادرم با دو تاس بازی می‌کنیم. هر بار هر دو تاس را می‌ریزیم و نقطه‌ها را با هم جمع می‌کنیم. او همیشه دوازده را انتخاب می‌کند و من هفت را، و هر کدام زودتر بیاید برنده است.

دو تاس؛ هر بار نقطه‌ها را جمع می‌کنم و مجموع را $S$ می‌نامم. او $S=\mathrm{۱۲}$ را انتخاب می‌کند و من $S=\mathrm{۷}$ را. هر کدام زودتر بیاید برنده است.

مجموع $S$ و پیشامدها $A=\{S=\mathrm{۱۲}\}$ و $B=\{S=\mathrm{۷}\}$.

هر تاس شش وجه دارد، پس دو تاس به شش ضربدر شش، یعنی سی‌وشش حالت می‌افتند. دوازده فقط با دو تا شش ساخته می‌شود، یعنی یک حالت. هفت را می‌شود با یک و شش، دو و پنج، سه و چهار ساخت، و هر کدام را برعکس هم، پس شش حالت دارد.

هر تاس $\mathrm{۶}$ وجه دارد، پس $|\Omega |=\mathrm{۶}\times \mathrm{۶}=\mathrm{۳۶}$ حالت داریم. $S=\mathrm{۱۲}$ فقط با $(\mathrm{۶},\mathrm{۶})$ می‌شود. $S=\mathrm{۷}$ با $(\mathrm{۱},\mathrm{۶})$ و $(\mathrm{۲},\mathrm{۵})$ و $(\mathrm{۳},\mathrm{۴})$ و برعکس‌هایشان می‌شود، یعنی $\mathrm{۶}$ حالت.

$|\Omega |={\mathrm{۶}}^{\mathrm{۲}}=\mathrm{۳۶},|A|=\mathrm{۱},|B|=\mathrm{۶}$.

پس شانس دوازده یک در سی‌وشش است و شانس هفت شش در سی‌وشش، یعنی یک ششم. هفت شش برابر دوازده شانس دارد. هیچ مجموع دیگری شش حالت ندارد؛ هفت سلطان است.

$P(S=\mathrm{۱۲})=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۳۶}}$ و $P(S=\mathrm{۷})=\frac{\mathrm{۶}}{\mathrm{۳۶}}=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۶}}$. پس هفت $\mathrm{۶}$ برابر دوازده شانس دارد، و برای هر مجموع دیگر $s\ne \mathrm{۷}$ کمتر از $\mathrm{۶}$ حالت هست.

$P(A)=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۳۶}},P(B)=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۶}}=\mathrm{۶}P(A)$؛ و برای هر $s\ne \mathrm{۷}$ داریم $|\{S=s\}|<\mathrm{۶}$.

حالا برادرم یاد گرفته است. امروز او هفت را انتخاب می‌کند و من شش را که پنج حالت دارد. بازی می‌کنیم تا یکی از این دو بیاید. شانس او شش از یازده است و شانس من پنج از یازده. باز هم از بازی لذت می‌برم.

امروز او $S=\mathrm{۷}$ را انتخاب می‌کند و من $S=\mathrm{۶}$ را که $\mathrm{۵}$ حالت دارد. هر کدام از این دو زودتر بیاید برنده است. شانس او $\frac{\mathrm{۶}}{\mathrm{۶}+\mathrm{۵}}=\frac{\mathrm{۶}}{\mathrm{۱۱}}$ و شانس من $\frac{\mathrm{۵}}{\mathrm{۱۱}}$ است.

پیشامد $C=\{S=\mathrm{۶}\}$ با $|C|=\mathrm{۵}$، پس $\frac{|B|}{|B|+|C|}=\frac{\mathrm{۶}}{\mathrm{۱۱}}$ و $\frac{|C|}{|B|+|C|}=\frac{\mathrm{۵}}{\mathrm{۱۱}}$.