یک نتیجه در یک چکیدهٔ کوچک

نتیجه. طول حصار دور یک باغ مستطیل‌شکل را ثابت بگیر، مثلاً بیست متر. در میان همهٔ مستطیل‌هایی که این حصار را دارند، مربع بیشترین مساحت را دارد.

نتیجه. حصار $P=\mathrm{۲۰}$ متر را دور یک باغ مستطیل‌شکل ثابت بگیر. در میان همهٔ مستطیل‌هایی که $\mathrm{۲}(a+b)=P$ دارند، مربع بیشترین مساحت $A=ab$ را دارد.

$P=\mathrm{۲۰}$؛ مستطیل با $\mathrm{۲}(a+b)=P$، بیشینهٔ $A=ab$ در $a=b$.

چرا باورپذیر است. با ضلع‌های ۵ و ۵ مساحت ۲۵ است. با ۶ و ۴ مساحت ۲۴ است. با ۹ و ۱ فقط ۹ است.

باورپذیر است: ضلع‌های $\mathrm{۵}$ و $\mathrm{۵}$ مساحت $\mathrm{۵}\times \mathrm{۵}=\mathrm{۲۵}$ می‌دهد؛ $\mathrm{۶}$ و $\mathrm{۴}$ می‌دهد $\mathrm{۶}\times \mathrm{۴}=\mathrm{۲۴}$؛ $\mathrm{۹}$ و $\mathrm{۱}$ فقط $\mathrm{۹}\times \mathrm{۱}=\mathrm{۹}$.

$\mathrm{۵}\times \mathrm{۵}\to \mathrm{۲۵}$؛ $\mathrm{۶}\times \mathrm{۴}\to \mathrm{۲۴}$؛ $\mathrm{۹}\times \mathrm{۱}\to \mathrm{۹}$.

هر دو شرط مهم‌اند. اگر طول حصار ثابت نباشد، مساحت را می‌شود هر قدر بخواهی بزرگ کرد. اگر شکل لازم نباشد مستطیل باشد، دایره از این هم بهتر است.

هر دو شرط مهم‌اند. اگر $P$ ثابت نباشد، $A$ بی‌کران است. اگر شکل مستطیل نباشد، دایره $\frac{P^{\mathrm{۲}}}{\mathrm{۴}\pi }\approx ۳۱٫۸$ می‌دهد.

$P$ آزاد باشد پس $\sup A=\infty$. مستطیل نباشد ، دایره $◯\to \frac{P^{\mathrm{۲}}}{\mathrm{۴}\pi }\approx ۳۱٫۸$.

در حالت کلی، برای حصاری به طول p ، مربع ضلع‌هایی برابر p بر ۴ و مساحتی برابر p به توان ۲ بر ۱۶ دارد و هیچ مستطیل دیگری بهتر نیست.

در حالت کلی مربع $a=b=\frac{P}{\mathrm{۴}}$ مساحت $A=\frac{P^{\mathrm{۲}}}{\mathrm{۱۶}}$ دارد، و هر مستطیل دیگر $A\le \frac{P^{\mathrm{۲}}}{\mathrm{۱۶}}$.

$\forall (a,b),\mathrm{۲}(a+b)=P\Rightarrow A\le \frac{P^{\mathrm{۲}}}{\mathrm{۱۶}}$؛ برابری در $a=b=\frac{P}{\mathrm{۴}}$.

در یک خط: برای محیط ثابت، مربع در میان مستطیل‌ها برنده است، و فقط در میان مستطیل‌ها.

در یک خط: $P$ ثابت، فقط مستطیل‌ها، مربع برنده است.

$P$ ثابت ، مستطیل $\square$؛ $\max A$ در $a=b$.