برکه و گیاه آبی

گیاه آبی کوچکی روی یک برکه رشد می‌کند. هر روز پوشش خود را روی آب دو برابر می‌کند و روز سی‌ام همهٔ برکه را می‌پوشاند.

گیاهی آبی هر روز پوشش خود را روی برکه دو برابر می‌کند و روز $\mathrm{۳۰}$ همه را می‌پوشاند.

پوشش $C(d)$: $C(d+\mathrm{۱})=\mathrm{۲}C(d),C(\mathrm{۳۰})=\mathrm{۱}$.

پرسش این است: چه روزی نیمی از برکه پوشیده است؟ روز پانزدهم نه. چون گیاه هر روز دو برابر می‌شود، یک روز پیش از پوشاندن همه، دقیقاً نیمی را پوشانده است. جواب روز بیست‌ونهم است.

چه روزی نیمی پوشیده است؟ روز $\mathrm{۳۰}-\mathrm{۱}=\mathrm{۲۹}$، چون یک بار دیگر دو برابر شدن همه را می‌پوشاند: $\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}\times \mathrm{۲}=\mathrm{۱}$.

$C(\mathrm{۲۹})=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}},\mathrm{۲}C(\mathrm{۲۹})=C(\mathrm{۳۰})$.

یک روز دیگر عقب برویم، یک‌چهارم پوشیده است و بعد یک‌هشتم. در روز بیستم گیاه فقط یک قسمت از هزار و بیست‌وچهار قسمت برکه را پوشانده، آن‌قدر کم که اصلاً دیده نمی‌شود.

پوشش در روز $d$ برابر است با ${\mathrm{۲}}^{d-\mathrm{۳۰}}$. روز $\mathrm{۲۸}$: $\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۴}}$. روز $\mathrm{۲۷}$: $\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۸}}$. روز $\mathrm{۲۰}$: ${\mathrm{۲}}^{-\mathrm{۱۰}}=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۱۰۲۴}}$، تقریباً دیده نمی‌شود.

$C(d)={\mathrm{۲}}^{d-\mathrm{۳۰}},C(\mathrm{۲۰})={\mathrm{۲}}^{-\mathrm{۱۰}}=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۱۰۲۴}}$.

درس: در دو برابر شدن، مدت‌ها انگار هیچ اتفاقی نمی‌افتد و بعد همه‌چیز در چند روز آخر رخ می‌دهد. اگر صبر کنی تا نیمی از برکه پوشیده شود، فقط یک روز مانده است.

دو برابر شدن: مدت‌ها تقریباً هیچ، بعد همه‌چیز در روزهای آخر. صبر تا نیمهٔ برکه فقط $\mathrm{۱}$ روز باقی می‌گذارد.

$C(d)=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}\Rightarrow \mathrm{۳۰}-d=\mathrm{۱}$ روز.