سنگ در چاه

چاهی عمیق بود. سنگ‌ریزه‌ای انداختم و شمردم تا صدای شلپ را شنیدم: دو ثانیه و یک‌دهم ثانیه.

چاهی عمیق. سنگ‌ریزه‌ای انداختم و شمردم: شلپ بعد از $T=۲٫۱$ ثانیه آمد.

شلپ: $T=۲٫۱\text{s}$.

سنگی که می‌افتد تندتر می‌شود. در ثانیهٔ اول حدود پنج متر می‌افتد (چهار و نُه دهم)؛ در دو ثانیه حدود بیست متر (نوزده و شش دهم)، چهار برابر، نه دو برابر. در سه ثانیه حدود چهل‌وچهار متر (چهل‌وچهار و یک دهم)، نُه برابر. فاصله مثل مجذور زمان بزرگ می‌شود.

افتادن: $s=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}g{t}^{\mathrm{۲}}=۴٫۹t^{\mathrm{۲}}$ متر. $t=\mathrm{۱}$: $۴٫۹$ متر. $t=\mathrm{۲}$: $۱۹٫۶$ متر، یعنی $\mathrm{۴}$ برابر، نه $\mathrm{۲}$ برابر. $t=\mathrm{۳}$: $۴۴٫۱$ متر، یعنی $\mathrm{۹}$ برابر. پس $s\propto t^{\mathrm{۲}}$.

$s=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}g{t}^{\mathrm{۲}}=۴٫۹t^{\mathrm{۲}}$؛ $s(\mathrm{۱})=۴٫۹$ و $s(\mathrm{۲})=۱۹٫۶$ و $s(\mathrm{۳})=۴۴٫۱$؛ $s\propto t^{\mathrm{۲}}$.

اگر همهٔ دو ثانیه و یک‌دهم را افتادن حساب کنم، عمق چاه حدود بیست‌ویک و شش دهم متر می‌شود. ولی این زمان بازگشت صدا به بالا را هم دارد و صدا آن‌قدر کند هست که به حساب بیاید. وقتی راه صدا را با سرعت سیصد و چهل‌وسه متر بر ثانیه حساب می‌کنم، خود افتادن حدود دو ثانیه و چهار صدم طول کشیده است.

ساده‌انگارانه $۴٫۹\times \mathrm{۲.}{\mathrm{۱}}^{\mathrm{۲}}\approx ۲۱٫۶$ متر. ولی $T$ برگشتن صدا با سرعت $\mathrm{۳۴۳}$ متر بر ثانیه را هم دارد: $t+۴٫۹t^{\mathrm{۲}}/۳۴۳=۲٫۱\Rightarrow t\approx ۲٫۰۴$ ثانیه.

$۴٫۹\times \mathrm{۲.}{\mathrm{۱}}^{\mathrm{۲}}\approx ۲۱٫۶$؛ $t+۴٫۹t^{\mathrm{۲}}/۳۴۳=۲٫۱\Rightarrow t\approx ۲٫۰۴$.

پس عمق چاه حدود بیست متر و چهار دهم است، نه بیست‌ویک و شش دهم: راه صدا بیش از یک متر مرا به اشتباه انداخته بود. و شگفتی: چاهی چهار برابر عمیق‌تر فقط دو برابر زمان برای افتادن لازم دارد، یعنی حدود چهار ثانیه.

عمق: $۴٫۹\times ۲٫۰{\mathrm{۴}}^{\mathrm{۲}}\approx ۲۰٫۴$ متر، نه $۲۱٫۶$ متر؛ صدا مرا حدود $۱٫۲$ متر به اشتباه انداخته بود. چاه $\mathrm{۴}$ برابر عمیق‌تر: افتادن $\mathrm{۲}$ برابر طول می‌کشد، یعنی حدود $\mathrm{۴}$ ثانیه.

$s=۴٫۹\times ۲٫۰{\mathrm{۴}}^{\mathrm{۲}}\approx ۲۰٫۴$؛ $۲۱٫۶-۲۰٫۴=۱٫۲$؛ $\mathrm{۴}s\Rightarrow \mathrm{۲}t$.