شایعه در برکه

خبر برکه. نیمه‌شب قورباغه‌ای کوچک شایعه‌ای دروغ را قورقور کرد: «برکه خشک می‌شود.» هر قورباغه‌ای که آن را می‌شنید، ساعتِ بعد به دو قورباغهٔ تازه می‌گفت.

نیمه‌شب، قورباغه‌ای شایعه‌ای دروغ را قورقور می‌کند. هر قورباغه‌ای که آن را بشنود، ساعتِ بعد به $\mathrm{۲}$ قورباغهٔ تازه می‌گوید.

شایعهٔ $R$؛ هر آگاه، ساعتِ بعد به $\mathrm{۲}$ نفر.

حساب ساده است: ساعتِ اول ۲ قورباغهٔ تازه، ساعتِ دوم ۴، ساعتِ سوم ۸، و همین‌طور دوبرابر می‌شود. پس از ۸ ساعت ۵۱۱ قورباغه خبر داشتند و پس از ۹ ساعت ۱۰۲۳ قورباغه، یعنی بیشتر از همهٔ ۱۰۰۰ قورباغهٔ برکه.

قورباغه‌های تازه در ساعتِ $k$ برابرند با ${\mathrm{۲}}^k$؛ در ساعت‌های $\mathrm{۱}$ و $\mathrm{۲}$ و $\mathrm{۳}$ می‌شود $\mathrm{۲},\mathrm{۴},\mathrm{۸}$. پس از $n$ ساعت، شمار آگاهان ${\sum }_{k=\mathrm{۰}}^n{\mathrm{۲}}^k={\mathrm{۲}}^{n+\mathrm{۱}}-\mathrm{۱}$ است. برای $n=\mathrm{۸}$ می‌شود $\mathrm{۵۱۱}$ و برای $n=\mathrm{۹}$ می‌شود $\mathrm{۱۰۲۳}>\mathrm{۱۰۰۰}$، یعنی همهٔ برکه.

${\sum }_{k=\mathrm{۰}}^{\mathrm{۸}}{\mathrm{۲}}^k=\mathrm{۵۱۱}<\mathrm{۱۰۰۰}$، ${\sum }_{k=\mathrm{۰}}^{\mathrm{۹}}{\mathrm{۲}}^k=\mathrm{۱۰۲۳}>\mathrm{۱۰۰۰}$

بعد پیرترین قورباغه حقیقت را گفت: برکه از چشمه آب می‌گیرد. اما حقیقت را هر ساعت فقط یک قورباغه به یک قورباغهٔ دیگر می‌گفت. پس از ۹ ساعت فقط ۱۰ قورباغه حقیقت را می‌دانستند.

حقیقت را هر ساعت یک قورباغه به یک قورباغه می‌گوید. پس از $\mathrm{۹}$ ساعت $\mathrm{۱}+\mathrm{۹}=\mathrm{۱۰}$ قورباغه می‌دانند و $\mathrm{۱۰}<\mathrm{۱۰۰۰}$.

حقیقت $T$: $\mathrm{۱}+\mathrm{۹}=\mathrm{۱۰}<\mathrm{۱۰۰۰}$

درسِ امروز: شایعه با دوبرابر شدن پیش می‌رود و تصحیح فقط با شمردن. پیش از قورقور کردن، مطمئن شو.

شایعه دوبرابر می‌شود (${\mathrm{۲}}^n$) و تصحیح فقط یکی‌یکی ($n$). برای هر $n\ge \mathrm{۱}$ داریم ${\mathrm{۲}}^n>n$.

$r(n)={\mathrm{۲}}^n$ و $c(n)=n$؛ $\forall n\ge \mathrm{۱},r(n)>c(n)$