نامه‌ای دربارهٔ زوج و فرد

دوست عزیزم، امروز یک ترفند پیدا کردم. هر دو عدد فرد را بردار و جمع کن: جواب همیشه زوج است. سه به‌علاوهٔ پنج می‌شود هشت، هفت به‌علاوهٔ نه می‌شود شانزده.

دوست عزیزم، یک ترفند پیدا کردم. برای $a$ و $b$ فرد، $a+b$ زوج است. $\mathrm{۳}+\mathrm{۵}=\mathrm{۸}$ و $\mathrm{۷}+\mathrm{۹}=\mathrm{۱۶}$.

$a\equiv b\equiv \mathrm{۱}(\mathrm{mod}\mathrm{۲})\Rightarrow a+b\equiv \mathrm{۰}(\mathrm{mod}\mathrm{۲})$ و $\mathrm{۳}+\mathrm{۵}=\mathrm{۸},\mathrm{۷}+\mathrm{۹}=\mathrm{۱۶}$.

دلیلش این است. عدد فرد یعنی عدد زوج به‌علاوهٔ یک. پس دو عدد فرد یعنی دو عدد زوج به‌علاوهٔ یک و یک، و یک و یک یک جفت می‌شود. اما فرد ضربدر فرد فرق دارد: فرد می‌ماند. سه ضربدر پنج می‌شود پانزده.

دلیل این است که فرد یعنی $a=\mathrm{۲}m+\mathrm{۱}$ و $b=\mathrm{۲}n+\mathrm{۱}$، پس $a+b=\mathrm{۲}(m+n+\mathrm{۱})$ زوج است. ولی $ab=\mathrm{۲}(\mathrm{۲}mn+m+n)+\mathrm{۱}$ فرد است، مثل $\mathrm{۳}\times \mathrm{۵}=\mathrm{۱۵}$.

$(\mathrm{۲}m+\mathrm{۱})+(\mathrm{۲}n+\mathrm{۱})=\mathrm{۲}(m+n+\mathrm{۱})$ و $(\mathrm{۲}m+\mathrm{۱})(\mathrm{۲}n+\mathrm{۱})=\mathrm{۲}(\mathrm{۲}mn+m+n)+\mathrm{۱}$.

حالا شگفتی. عددهای فرد را از اول پشت سر هم جمع کن. یک، یک است. یک به‌علاوهٔ سه می‌شود چهار. با پنج می‌شود نه، با هفت می‌شود شانزده. یک و چهار و نه و شانزده، یعنی مربع‌ها. جمع n عدد فرد اول برابر n ضربدر n است.

شگفتی این است که $\mathrm{۱}=\mathrm{۱},\mathrm{۱}+\mathrm{۳}=\mathrm{۴},\mathrm{۱}+\mathrm{۳}+\mathrm{۵}=\mathrm{۹},\mathrm{۱}+\mathrm{۳}+\mathrm{۵}+\mathrm{۷}=\mathrm{۱۶}$، یعنی مربع‌ها، و ${\sum }_{k=\mathrm{۱}}^n(\mathrm{۲}k-\mathrm{۱})=n^{\mathrm{۲}}$.

$\mathrm{۱}={\mathrm{۱}}^{\mathrm{۲}},\mathrm{۱}+\mathrm{۳}={\mathrm{۲}}^{\mathrm{۲}},\mathrm{۱}+\mathrm{۳}+\mathrm{۵}={\mathrm{۳}}^{\mathrm{۲}},\mathrm{۱}+\mathrm{۳}+\mathrm{۵}+\mathrm{۷}={\mathrm{۴}}^{\mathrm{۲}}$ و ${\sum }_{k=\mathrm{۱}}^n(\mathrm{۲}k-\mathrm{۱})=n^{\mathrm{۲}}$.

پیش از نوشتن جواب، ده عدد فرد اول را امتحان کن. باید صد بشود. دوستدارت، با مداد در دست.

ده عدد فرد اول را امتحان کن، باید $\mathrm{۱}{\mathrm{۰}}^{\mathrm{۲}}=\mathrm{۱۰۰}$ بشود. دوستدارت، با مداد.

${\sum }_{k=\mathrm{۱}}^{\mathrm{۱۰}}(\mathrm{۲}k-\mathrm{۱})=\mathrm{۱}{\mathrm{۰}}^{\mathrm{۲}}=\mathrm{۱۰۰}$.