ریاضی را حرف بزن · سال‌های آخر مدرسه

جمله‌های مقاله چگونه ساخته می‌شوند

مقاله‌ها از چند قالب جملهٔ ثابت استفاده می‌کنند: تعریف، قضیه، اثبات و چند اختصار. وقتی قالب‌ها را بشناسی، صفحه دیگر دیوار نیست.

پیش‌نویس: نوشتهٔ یک دستیار هوش مصنوعی؛ هنوز معلمی آن را بررسی نکرده است.

الفبا

هر نماد را همان‌طور که زیرش نوشته شده بلند بخوان.

$:=$ بخوان: تعریف می‌شود برابر بایعنی: نامی را معرفی می‌کند. حکمی نیست و چیزی را نباید وارسی کرد: سمت چپ تازه است و سمت راست می‌گوید به چه اشاره می‌کند.
$s.t.$ بخوان: به‌طوری کهیعنی: ویژگی‌ای را می‌آورد که اشیای تازه‌نام‌برده را مشخص می‌کند: «x ای هست به‌طوری که …».
$iff$ بخوان: اگر و تنها اگریعنی: هر دو جهت با هم: هر طرف از طرف دیگر نتیجه می‌شود. اثبات آن دو استدلال لازم دارد.
$w.l.o.g.$ بخوان: بدون کاسته شدن از کلیتیعنی: فقط یک حالت را ثابت می‌کنیم، چون حالت‌های دیگر پس از تغییر نام‌ها همان می‌شوند. خواننده باید دلیلش را ببیند.
$i.e.$ بخوان: یعنییعنی: همان حرف را با عبارتی دیگر تکرار می‌کند. آنچه می‌آید با آنچه آمده برابر است، نه نمونه.
$e.g.$ بخوان: برای مثالیعنی: یک حالت از میان چند حالت را می‌آورد. روشن می‌کند، ولی دربارهٔ حالت‌های دیگر چیزی ثابت نمی‌کند.
$(۱)$ بخوان: رابطهٔ (۱)یعنی: عددی در پرانتز کنار یک خط، آن را نام‌گذاری می‌کند تا خط‌های بعد بتوانند بگویند «طبق (۱)». عدد در کروشه [۱] به یک منبع اشاره می‌کند.
$■$ بخوان: پایان اثباتیعنی: یک مربع توپر کوچک: آنچه باید نشان داده می‌شد نشان داده شد. در این اثبات چیز تازه‌ای نمی‌آید.

داستان: یک قضیهٔ کوچک

زیرنویس:

روی هر سطر بزن تا کلمه‌هایش را ببینی.

$E := {n \in Z ∣ \exists k \in Z : n = ۲ k}$ تعریف. E مجموعهٔ عددهای صحیح n است که به‌ازای آن‌ها k صحیحی با n = ۲k هست: عددهای زوج.
$\forall n, m \in E : n + m \in E$ قضیه. مجموع دو عدد زوج، زوج است.
$n, m \in E$ اثبات. فرض کن n و m دو عدد زوج باشند.
$\exists a, b \in Z s.t. n = ۲ a, m = ۲ b$ پس عددهای صحیح a و b هستند به‌طوری که n = ۲a و m = ۲b.
$n + m = ۲ (a + b) (۱)$ آن‌ها را جمع کن: n + m برابر ۲(a + b) است. این خط را (۱) می‌نامیم.
$۲ ∣ n + m, i.e. n + m \in E ■$ طبق (۱)، ۲ مجموع n + m را می‌شمارد؛ یعنی n + m زوج است. اثبات اینجا تمام می‌شود.
$e.g. ۴ + ۶ = ۱۰ \in E$ برای مثال ۴ + ۶ برابر ۱۰ است که زوج است. مثال قضیه را نشان می‌دهد، ولی ثابتش نمی‌کند.
$n \in E iff ۲ ∣ n$ تذکر. n زوج است اگر و تنها اگر ۲ آن را بشمارد: هر گزاره از دیگری نتیجه می‌شود.
$w.l.o.g. n \leq m (n + m = m + n)$ اگر به ترتیبی نیاز شد، بدون کاسته شدن از کلیت فرض می‌کنیم n از m بیشتر نیست: جمع در هر دو ترتیب یک نتیجه می‌دهد.

این داستان با کلمه‌ها ۶۳۸ حرف است؛ با نمادها ۱۲۶.

بخوانش

چه می‌گوید؟

$E := {n \in Z ∣ \exists k \in Z : n = ۲ k}$

$x := ۳, y := x + ۲$

$\exists x \in R s.t. x^{۲} = ۴$

$a \leq b iff b - a \geq ۰$

$w.l.o.g. a \leq b$

$n = ۲ k, i.e. ۲ ∣ n$

$m \in {۲, ۴, ۶} (e.g. m = ۴)$

$x^{۲} + y^{۲} = z^{۲} (۱)$

$\forall ε > ۰ \exists δ > ۰ : ∣ x - a ∣ < δ \Rightarrow ∣ f (x) - f (a)∣ < ε$

$x = ۲ k ■$

$A \subseteq B iff \forall x (x \in A \Rightarrow x \in B)$

$f (x) := x^{۲} + ۱, f (۲) = ۵$

$\forall n \in N : n^{۲} \geq n$

$S := i = ۱ \sum ۴ i, i.e. S = ۱۰$

بنویسش

کدام نمادنویسی همین را می‌گوید؟

S را برابر مجموعهٔ ۱ و ۲ و ۳ تعریف کن.

x حقیقی‌ای هست به‌طوری که x² برابر ۴ است.

a از b بیشتر نیست اگر و تنها اگر b − a منفی نباشد.

بدون کاسته شدن از کلیت فرض کن a از b بیشتر نیست.

n برابر ۲k است، یعنی ۲ عدد n را می‌شمارد.

عدد زوج m، برای مثال ۶.

رابطهٔ (۱): x + y برابر ۱۰ است.

اثبات تمام شد.

برای هر n طبیعی، n² دست‌کم n است.

f(x) را برابر x² + ۱ تعریف کن.

A زیرمجموعهٔ B است اگر و تنها اگر هر عضو A عضو B باشد.

T را مجموع i از ۱ تا ۴ تعریف کن.

پس عددهای صحیح a و b هستند به‌طوری که n = ۲a و m = ۲b.

بسازش

کاشی‌ها را به ترتیب بزن. یکی از کاشی‌ها اضافه است.

S را مجموعهٔ عددهای طبیعی کمتر از ۵ تعریف کن.

x ای هست به‌طوری که x² برابر ۹ است.

a از b بیشتر نیست اگر و تنها اگر b − a دست‌کم ۰ باشد.

رابطهٔ (۱): u + v برابر w است.

بدون کاسته شدن از کلیت a از b بیشتر نیست.

n برابر ۲k است، یعنی ۲ عدد n را می‌شمارد؛ اثبات تمام می‌شود.

برای مثال ۴ + ۶ برابر ۱۰ است.

چالش‌ها

معماهای خلاقانه‌ای که همهٔ نمادهای این فصل را به کار می‌برند. عجله نکن؛ ساعتی در کار نیست.

1 تعریف‌ها در یک جدول

سه مجموعه روی عددهای ۱ تا ۶ تعریف شده‌اند: E و S و D. هر خط را در این جدول داوری کن.

	$E$	$S$	$D$
$۱$		✓
$۲$	✓	✓
$۳$		✓	✓
$۴$	✓
$۵$
$۶$	✓		✓

تیک یعنی عدد سطر عضو مجموعهٔ ستون است.

$\forall n : n \in E iff ۲ ∣ n$
$\forall n : n \in D iff n \in E$
$\exists n s.t. n \in E \land n \in D$
$\forall n : n \in S \Rightarrow n \in E$
$\exists n s.t. n \in / E \cup S \cup D$

2 برای هر اپسیلون، یک دلتا

W(ε، δ) یعنی: این δ برای این ε کار می‌کند. هر خط را داوری کن.

	$δ_{۱}$	$δ_{۲}$	$δ_{۳}$
$ε_{۱}$	✓	✓
$ε_{۲}$		✓	✓
$ε_{۳}$	✓

تیک یعنی δ ستون برای ε سطر کار می‌کند.

$\forall ε \exists δ : W (ε, δ)$
$\exists δ \forall ε : W (ε, δ)$
$\forall δ \exists ε : W (ε, δ)$
$\exists ε s.t. \forall δ : W (ε, δ)$
$\exists! ε s.t. W (ε, δ_{۳})$

3 کدام اثبات از کدام رابطه استفاده می‌کند؟

رابطه‌های (۱) تا (۳) در چهار اثبات P به کار رفته‌اند. هر خط را داوری کن.

	$P_{۱}$	$P_{۲}$	$P_{۳}$	$P_{۴}$
$(۱)$	✓	✓		✓
$(۲)$		✓
$(۳)$		✓	✓

تیک U(e، P) یعنی: اثبات P به رابطه‌ای با شمارهٔ e ارجاع می‌دهد.

$\forall P \exists e : U (e, P)$
$\exists e s.t. \forall P : U (e, P)$
$U ((۲), P_{۲}) \land \neg U ((۲), P_{۱})$
$∣{P ∣ U ((۱), P)}∣ = ۳$
$\forall P : U ((۳), P) \Rightarrow U ((۲), P)$

4 شش علامت کوچک

هر علامت را به آنچه می‌گوید وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

5 پنج راه برای وصل کردن x و ۳

هر خط را به آنچه می‌گوید وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

6 اگر، تنها اگر، اگر و تنها اگر

هر خط را به آنچه می‌گوید وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

7 هر دو جهت

این باید بگوید: a از b بیشتر نیست اگر و تنها اگر b − a دست‌کم ۰ باشد. یکی از کاشی‌ها غلط است.

روی کاشیِ غلط بزن.

8 کدام ویژگی؟

این باید بگوید: x حقیقی‌ای هست به‌طوری که x³ برابر ۸ است. یکی از کاشی‌ها غلط است.

روی کاشیِ غلط بزن.

9 نمونه، نه بازگویی

این خط باید نمونه‌ای بیاورد: برای مثال ۴ + ۶ برابر ۱۰ است. یکی از کاشی‌ها غلط است.

روی کاشیِ غلط بزن.

10 یک خط، نه یک منبع

این باید بگوید: طبق رابطهٔ (۱)، x + y برابر ۱۰ است. یکی از کاشی‌ها غلط است.

روی کاشیِ غلط بزن.

11 پایان یک اثبات

این اثبات باید با نشانهٔ پایان اثبات تمام شود. یکی از کاشی‌ها غلط است.

روی کاشیِ غلط بزن.

12 iff را بشکن

این حکم برای هر x حقیقی درست نیست. کدام x آن را می‌شکند؟

$x^{۲} = ۴ iff x = ۲$

13 چند حالت می‌ماند؟

پس از خط «بدون کاسته شدن از کلیت»، چند زوج مرتب (a، b) هنوز باید بررسی شوند؟

$a, b \in {۱, ۲, ۳}, w.l.o.g. a \leq b$

14 جمع دو خط شماره‌دار

خط‌های (۱) و (۲) را جمع کن. x چقدر است؟

$x + y = ۷ (۱), x - y = ۱ (۲), (۱) + (۲) \Rightarrow x = ?$

15 اول نامش بگذار، بعد جمع کن

S را عددهای ۱ تا ۱۰ تعریف کرده‌ایم که ۳ آن‌ها را می‌شمارد. مجموع اعضایش چقدر است؟

$S := {n \in {۱, \dots, ۱۰} ∣ ۳ ∣ n}, n \in S \sum n = ?$

16 نام و مقدار

Q را مجموع چهار مربع اول تعریف کن و مقدارش را بگو.

نوشتهٔ تو

17 قضیه، سپس نشانه

حاصل‌ضرب دو عدد صحیح فرد، فرد است. آن را به‌صورت یک حکم بنویس و پس از آن نشانهٔ پایان اثبات را بگذار (انگار اثبات کامل شده است).

نوشتهٔ تو

18 زوج اگر و تنها اگر

یک عدد صحیح زوج است اگر و تنها اگر مربعش زوج باشد. آن را بنویس.

نوشتهٔ تو

19 چرا تقارن

چون جمع تقارن دارد، بدون کاسته شدن از کلیت فرض کن m از n بیشتر نیست. این خط را با دلیلش در پرانتز بنویس.

نوشتهٔ تو

20 یک حقیقت شماره‌دار

سه زاویهٔ یک مثلث روی هم ۱۸۰ درجه می‌شوند. آن را به‌صورت رابطهٔ (۱) بنویس.

نوشتهٔ تو

داستان خودت را بگو

یک نتیجهٔ کوچک از خودت به سبک مقاله بنویس: تعریف، حکم، اثبات یک‌خطی و نشانهٔ پایان.

فقط روی همین دستگاه نگه داشته می‌شود.

جمله‌های مقاله چگونه ساخته می‌شوند

الفبا

داستان: یک قضیهٔ کوچک

بخوانش

بنویسش

بسازش

چالش‌ها

1 تعریف‌ها در یک جدول

2 برای هر اپسیلون، یک دلتا

3 کدام اثبات از کدام رابطه استفاده می‌کند؟

4 شش علامت کوچک

5 پنج راه برای وصل کردن x و ۳

6 اگر، تنها اگر، اگر و تنها اگر

7 هر دو جهت

8 کدام ویژگی؟

9 نمونه، نه بازگویی

10 یک خط، نه یک منبع

11 پایان یک اثبات

12 iff را بشکن

13 چند حالت می‌ماند؟

14 جمع دو خط شماره‌دار

15 اول نامش بگذار، بعد جمع کن

16 نام و مقدار

17 قضیه، سپس نشانه

18 زوج اگر و تنها اگر

19 چرا تقارن

20 یک حقیقت شماره‌دار

داستان خودت را بگو

دانلود برای استفاده بدون اینترنت