ریاضی را حرف بزن · دانشگاه

معادلهٔ دیفرانسیل: قانونی برای چگونگی تغییر

یک معادلهٔ معمولی دنبال یک عدد است. معادلهٔ دیفرانسیل دنبال یک تابع کامل است و فقط می‌گوید آن تابع با چه آهنگی تغییر می‌کند. این‌جا یاد می‌گیریم آن را بخوانیم و ببینیم یک فنجان چای چطور از آن پیروی می‌کند.

پیش‌نویس: نوشتهٔ یک دستیار هوش مصنوعی؛ هنوز معلمی آن را بررسی نکرده است.

الفبا

هر نماد را همان‌طور که زیرش نوشته شده بلند بخوان.

$y^{'} = k y$ بخوان: y پرایم مساوی k در yیعنی: آهنگ تغییر y برابر k برابرِ خود y است: هرچه بیشتر باشد، سریع‌تر تغییر می‌کند
$\frac{d y}{d t} = - k (y - T)$ بخوان: dy بر dt مساوی منفی k در پرانتز y منهای Tیعنی: y با آهنگی متناسب با فاصله‌اش از T به سمت T می‌رود
$y (۰) = y_{۰}$ بخوان: y در صفر مساوی y صفریعنی: شرط اولیه: مقدار y در آغاز، وقتی t صفر است
$y = y_{۰} e^{k t}$ بخوان: y مساوی y صفر در e به توان k tیعنی: تنها جوابی از y پرایم مساوی k y که از y صفر شروع می‌شود
$lim_{t \to \infty} y (t) = T$ بخوان: حدِ y در t، وقتی t به بی‌نهایت میل می‌کند، برابر T استیعنی: جایی که y در دراز مدت آرام می‌گیرد: نقطهٔ تعادل

داستان: فنجان چایی که سرد می‌شود

زیرنویس:

روی هر سطر بزن تا کلمه‌هایش را ببینی.

$y (t)$ فرض کن y در t دمای یک فنجان چای باشد، t دقیقه پس از ریختنش.
$y (۰) = ۹۰, T = ۲۰$ چای از ۹۰ درجه شروع می‌کند. دمای اتاق ۲۰ درجه می‌ماند.
$\frac{d y}{d t} = - ۰٫۱ (y - ۲۰)$ چای با آهنگی متناسب با اختلاف دمایش با اتاق گرما از دست می‌دهد. این‌جا ضریب آن ۰٫۱ در دقیقه است.
$y^{'} (۰) = - ۰٫۱ (۹۰ - ۲۰) = - ۷$ در همان آغاز، چای هر دقیقه ۷ درجه سرد می‌شود.
$u = y - ۲۰, u^{'} = - ۰٫۱ u, u (۰) = ۷۰$ فقط به مازاد دما نسبت به اتاق، یعنی u، نگاه کن. آهنگ آن منفی ۰٫۱ برابر خودش است و در آغاز ۷۰ است.
$u = ۷۰ e^{- ۰٫۱ t}$ کمیتی که آهنگش مضربی ثابت از خودش است نمایی است: u برابر ۷۰ در e به توان منفی ۰٫۱ t است.
$y = ۲۰ + ۷۰ e^{- ۰٫۱ t}$ دمای اتاق را دوباره اضافه کن تا کل فنجان توصیف شود.
$y (۱۰) = ۲۰ + ۷۰ e^{- ۱} \approx ۴۵٫۸$ ده دقیقه بعد دمای چای حدود ۴۵٫۸ درجه است.
$t \to \infty lim y (t) = ۲۰$ در دراز مدت چای دقیقاً به دمای اتاق می‌رسد و هرگز پایین‌تر از آن نمی‌رود.

این داستان با کلمه‌ها ۶۱۲ حرف است؛ با نمادها ۱۲۸.

بخوانش

چه می‌گوید؟

$y^{'} = ۳ y$

$\frac{d y}{d t} = - ۰٫۲ (y - ۱۵)$

$y (۰) = ۵$

$y = ۵ e^{- ۲ t}$

$y^{'} = - ۰٫۵ y$

$y (۰) = ۱۰۰, y = ۱۰۰ e^{۰٫۲ t}$

$t \to \infty lim y (t) = ۰$

$\frac{d y}{d t} = ۲ (y - ۱۰)$

$y^{'} (۰) = - ۷$

$y = ۲۰ + ۷۰ e^{- ۰٫۱ t}$

$y^{'} = k y, k < ۰$

$u = y - T \Rightarrow u^{'} = - k u$

بنویسش

کدام نمادنویسی همین را می‌گوید؟

آهنگ تغییر y برابر است با ثابت k ضرب در y.

آهنگ تغییر y برابر است با منفی k ضرب در فاصلهٔ y تا T، که k ثابتی مثبت است.

جوابِ y پرایم مساوی k y که در t مساوی صفر از y صفر شروع می‌شود.

y از ۱۰۰ شروع می‌کند.

y با آهنگی متناسب با خودش کم می‌شود، با ثابت ۰٫۳.

در درازمدت دما در ۲۰ آرام می‌گیرد.

جوابِ y پرایم مساوی منفی ۲y که از ۷ شروع می‌شود.

حمامی گرم به سمت دمای اتاق، ۱۸، سرد می‌شود، با ثابت ۰٫۰۵.

شمار باکتری‌های یک ظرف با آهنگی برابر ۰٫۰۴ برابرِ شمار موجود زیاد می‌شود.

در آغاز مقدار y صفر است، و در زمان t برابر y صفر ضرب در e به توان منفی ۳t است.

در درازمدت فاصلهٔ y تا T از بین می‌رود.

در آغاز، چای با آهنگ منفی k ضرب در فاصلهٔ دمای اولیه‌اش تا دمای اتاق سرد می‌شود.

بسازش

کاشی‌ها را به ترتیب بزن. یکی از کاشی‌ها اضافه است.

مقدار در زمان t برابر است با مقدار اولیه ضرب در e به توان k t.

آهنگ تغییر y برابر است با منفی k ضرب در فاصلهٔ y تا T.

y پرایم مساوی است با k ضرب در y.

y در صفر مساوی است با y صفر.

حدِ y در t، وقتی t به بی‌نهایت میل می‌کند، برابر T است.

آهنگ تغییر y برابر است با منفی ۰٫۱ ضرب در فاصلهٔ y تا ۲۰، و y از ۹۰ شروع می‌کند.

چالش‌ها

معماهای خلاقانه‌ای که همهٔ نمادهای این فصل را به کار می‌برند. عجله نکن؛ ساعتی در کار نیست.

1 کدام منحنی از کدام قانون پیروی می‌کند؟

سه منحنی، چهار ویژگی. هر جمله دربارهٔ آن‌ها را داوری کن: درست یا نادرست؟

	$y^{'} = ۲ y$	$y^{'} = - ۲ y$	$y (۰) = ۱$	$lim_{t \to \infty} y (t) = ۰$
$e^{۲ t}$	✓		✓
$۳ e^{۲ t}$	✓
$e^{- ۲ t}$		✓	✓	✓

تیک یعنی منحنیِ آن سطر ویژگیِ آن ستون را دارد.

$y = e^{۲ t} \Rightarrow (y^{'} = ۲ y \land y (۰) = ۱)$
$y = ۳ e^{۲ t} \Rightarrow y (۰) = ۱$
$y = e^{- ۲ t} \Rightarrow y^{'} = ۲ y$
$y = e^{- ۲ t} \Rightarrow lim_{t \to \infty} y (t) = ۰$
$y = ۳ e^{۲ t} \Rightarrow y^{'} = ۲ y$
$y = ۳ e^{۲ t} \Rightarrow lim_{t \to \infty} y (t) = ۰$

2 قانون‌ها و داستان‌هایشان

هر سطر را به معنایش وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

3 چای در حال سرد شدن

فنجانی چای به سمت دمای اتاق T سرد می‌شود، با آهنگی متناسب با اختلاف y − T. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

4 کار به کجا می‌کشد؟

پس از زمانی بسیار طولانی، چای به دمای اتاق T می‌رسد. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

5 ساعت روی فروکاهش

خط را رمزگشایی کن: در لحظهٔ t = ۲ ln ۲ مقدار y چند است؟

$y^{'} = - \frac{۱}{۲} y, y (۰) = ۸, y (۲ ln ۲) = ?$

6 درازمدت

y سرانجام کجا می‌نشیند؟

$\frac{d y}{d t} = - ۳ (y - ۱۲), y (۰) = ۱۰۰, t \to \infty lim y (t) = ?$

7 قانون سرد شدن را بنویس

هرچه چای نسبت به اتاق داغ‌تر باشد، سریع‌تر سرد می‌شود. این را به صورت قانون بنویس؛ y دمای چای، T دمای اتاق و k > ۰ است. بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

8 از صد شروع کن

کلنی‌ای از یاخته‌ها با آهنگی متناسب با اندازه‌اش رشد می‌کند و در آغاز ۱۰۰ یاخته دارد. قانون را با شرط آغازین بنویس، یا خودِ جواب را.

نوشتهٔ تو

9 چهار فنجان

سه نوشیدنی داغ و یکی سرد در اتاقی با دمای ۲۰ قرار دارند. هر سطر دمای یک فنجان در گذر زمان است. هر جمله را داوری کن.

	$y (۰) = ۸۰$	$lim_{t \to \infty} y (t) = ۲۰$	$y^{'} (۰) < ۰$	$y^{'} = - ۰٫۱ (y - ۲۰)$
$y_{۱} = ۲۰ + ۶۰ e^{- ۰٫۱ t}$	✓	✓	✓	✓
$y_{۲} = ۲۰ + ۶۰ e^{- ۰٫۳ t}$	✓	✓	✓
$y_{۳} = ۲۵ + ۶۰ e^{- ۰٫۱ t}$			✓
$y_{۴} = ۲۰ - ۱۵ e^{- ۰٫۱ t}$		✓		✓

تیک یعنی فنجانِ آن سطر ویژگیِ آن ستون را دارد.

$y_{۱} (۰) = y_{۲} (۰)$
$lim_{t \to \infty} y_{۳} (t) = ۲۰$
$y_{۴}^{'} (۰) > ۰$
$y_{۴}^{'} = - ۰٫۱ (y_{۴} - ۲۰)$
$y_{۲}^{'} = - ۰٫۱ (y_{۲} - ۲۰)$
$y_{۳} (۰) = ۸۰$

10 چهار آهنگ

هر قانون را به داستانی که می‌گوید وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

11 سه تا ۳ و یکی دیگر

همان عدد ۳ چهار چیز متفاوت می‌گوید. هر خط را به معنایش وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

12 جهت غلط

جوابِ y′ = ۲y که از ۵ شروع می‌شود رشد می‌کند: برابر ۵ ضرب در e به توان ۲t است. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

13 از کجا شروع می‌شود

چای با دمای ۹۰ درجه ریخته می‌شود: در زمان صفر، y برابر ۹۰ است. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

14 دو برابر در یک واحد

چیزی با قانون خودش رشد می‌کند، از ۱۰ شروع می‌شود و یک واحد زمان بعد ۲۰ است. k چند است؟

$y^{'} = k y, y (۰) = ۱۰, y (۱) = ۲۰ ∴ k = ?$

15 نیمه‌راه تا دمای اتاق

چای از ۹۰ در اتاقی با دمای ۲۰ شروع کرد. کِی به ۵۵، یعنی نیمهٔ راه، می‌رسد؟

$y = ۲۰ + ۷۰ e^{- ۰٫۱ t}, y (t) = ۵۵ ∴ t = ?$

16 فروکاهش دراز

y با ثابت ۳ از مقدار اولیهٔ ۵ فروکاهش دارد. کار به کجا می‌کشد؟

$y^{'} = - ۳ y, y (۰) = ۵ ∴ t \to \infty lim y (t) = ?$

17 حمامی که سرد می‌شود

حمامی با دمای ۴۰ درجه در اتاقی با دمای ۲۰ سرد می‌شود؛ هرچه داغ‌تر باشد سریع‌تر سرد می‌شود، با ثابت k. قانون را با مقدار اولیه‌اش بنویس، یا خودِ جواب را. بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

18 اتاق برنده است

چای هر قدر هم که داغ بوده باشد، در درازمدت دمایش دمای اتاق، T، است. این را بنویس. بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

داستان خودت را بگو

یک داستان دوخطی از چیزی که خودبه‌خود کم یا زیاد می‌شود بنویس — حمامی که سرد می‌شود، شایعه‌ای که پخش می‌شود — فقط با نمادها: یک قانون آهنگ، یک مقدار اولیه، یک جواب.

فقط روی همین دستگاه نگه داشته می‌شود.

معادلهٔ دیفرانسیل: قانونی برای چگونگی تغییر

الفبا

داستان: فنجان چایی که سرد می‌شود

بخوانش

بنویسش

بسازش

چالش‌ها

1 کدام منحنی از کدام قانون پیروی می‌کند؟

2 قانون‌ها و داستان‌هایشان

3 چای در حال سرد شدن

4 کار به کجا می‌کشد؟

5 ساعت روی فروکاهش

6 درازمدت

7 قانون سرد شدن را بنویس

8 از صد شروع کن

9 چهار فنجان

10 چهار آهنگ

11 سه تا ۳ و یکی دیگر

12 جهت غلط

13 از کجا شروع می‌شود

14 دو برابر در یک واحد

15 نیمه‌راه تا دمای اتاق

16 فروکاهش دراز

17 حمامی که سرد می‌شود

18 اتاق برنده است

داستان خودت را بگو

دانلود برای استفاده بدون اینترنت