آونگ

آونگ وزنه‌ای است که به نخی آویزان است و می‌رود و می‌آید. یک رفت و برگشت کامل را یک دوره می‌نامند. نخ یک‌متری با وزنهٔ کوچک برای یک دوره حدود دو ثانیه وقت می‌گیرد، یعنی در هر دقیقه سی رفت و برگشت.

آونگ: وزنه‌ای بر نخ. یک رفت و برگشت یک دوره $T$ است. برای $L=\mathrm{۱}$ متر: $T\approx \mathrm{۲}$ ثانیه، پس $۶۰/۲=\mathrm{۳۰}$ رفت و برگشت در دقیقه.

دوره $T$؛ برای $L=\mathrm{۱}\text{m}$ داریم $T\approx \mathrm{۲}\text{s}$ و $۶۰/۲=\mathrm{۳۰}$ در دقیقه.

اگر وزنهٔ سنگین‌تری به همان نخ ببندی، زمان عوض نمی‌شود. اگر نوسان را کمی بازتر کنی (فقط نوسان‌های کوچک)، باز هم عوض نمی‌شود. فقط طول نخ مهم است.

وزنهٔ سنگین‌تر: $T$ همان. نوسان کمی بازتر: $T$ همان. فقط $L$ مهم است: $T=f(L)$.

جرم $m$ و دامنهٔ کوچک $a$: $T\ne f(m)$ و $T\ne f(a)$؛ $T=f(L)$.

نخ را چهار برابر کوتاه کنی، یعنی بیست‌وپنج سانتی‌متر، دوره نصف می‌شود و یک ثانیه می‌شود. نخ را چهار برابر بلندتر کنی، یعنی چهار متر، دوره دو برابر و چهار ثانیه می‌شود. دوره مثل جذر طول بزرگ می‌شود.

$L\to L/۴$ یعنی $T\to T/۲$؛ $L\to \mathrm{۴}L$ یعنی $T\to \mathrm{۲}T$. پس $T\propto \sqrt{L}$: برای $۰٫۲۵$ متر، $\mathrm{۱}$ ثانیه؛ برای $\mathrm{۴}$ متر، $\mathrm{۴}$ ثانیه.

$T\propto \sqrt{L}$؛ $T(L/۴)=T/۲$ و $T(\mathrm{۴}L)=\mathrm{۲}T$.

قاعدهٔ دقیق این است: دوره برابر است با دو پی ضرب در جذر طول تقسیم بر شتاب گرانش. شگفتی اینجاست که با یک نخ و یک ساعت می‌شود گرانش را اندازه گرفت. ده رفت و برگشت نخ یک‌متری بیست ثانیه و یک‌دهم ثانیه طول کشید، پس هر رفت و برگشت دو و یک صدم ثانیه بود و گرانش حدود نُه و هشت دهم متر بر مجذور ثانیه درآمد.

دقیقاً $T=\mathrm{۲}\pi \sqrt{L/g}$ و $g=\mathrm{۴}{\pi }^{\mathrm{۲}}L/T^{\mathrm{۲}}$. ده رفت و برگشت با $L=\mathrm{۱}$ متر، $۲۰٫۱$ ثانیه شد: $T=۲٫۰۱$ و $g=۳۹٫۴۸/۴٫۰۴\approx ۹٫۸$ متر بر مجذور ثانیه. یک نخ و یک ساعت، گرانش را می‌سنجند.

$T=\mathrm{۲}\pi \sqrt{L/g}$؛ $T=۲۰٫۱/۱۰=۲٫۰۱$؛ $g=\mathrm{۴}{\pi }^{\mathrm{۲}}L/T^{\mathrm{۲}}=۳۹٫۴۸/۴٫۰۴\approx ۹٫۸$.