ریاضی را حرف بزن · دانشگاه

آمار: خواندن یک کلاس با عدد

آمار فهرستی از اندازه‌ها را به چند عدد تبدیل می‌کند: مرکز، پراکندگی، یک برآورد. کلاه نشانهٔ برآورد است و خط بالای حرف نشانهٔ میانگین.

پیش‌نویس: نوشتهٔ یک دستیار هوش مصنوعی؛ هنوز معلمی آن را بررسی نکرده است.

الفبا

هر نماد را همان‌طور که زیرش نوشته شده بلند بخوان.

$x ˉ$ بخوان: ایکس باریعنی: میانگین مقدارهای x
$x ˉ = \frac{۱}{n} \sum_{i = ۱}^{n} x_{i}$ بخوان: ایکس بار مساوی است با یک بر n ضرب در مجموع x ایندکس i، برای i از ۱ تا nیعنی: مقدارها را جمع کن و بر تعدادشان تقسیم کن
$s = \frac{۱}{n - ۱} \sum_{i = ۱}^{n} (x_{i} - x ˉ)^{۲}$ بخوان: s مساوی است با جذر یک بر n منهای ۱ ضرب در مجموع مربع x ایندکس i منهای ایکس باریعنی: انحراف معیار نمونه: فاصلهٔ معمول مقدارها از میانگینشان
$σ$ بخوان: سیگمایعنی: پراکندگی واقعی کل جامعه، که معمولاً نمی‌توانیم ببینیم
$y^$ بخوان: وای هَتیعنی: پیش‌بینی ما از y؛ کلاه نشانهٔ حدس است
$θ^$ بخوان: تتا هَتیعنی: برآورد ما از مقدار واقعی و ناشناختهٔ تتا، که از داده‌ها به دست می‌آید
$e_{i} = y_{i} - y^_{i}$ بخوان: e ایندکس i مساوی است با y ایندکس i منهای وای هَت ایندکس iیعنی: باقی‌مانده: مقدار واقعی منهای مقدار پیش‌بینی‌شده

داستان: قدِ بچه‌های یک کلاس

زیرنویس:

روی هر سطر بزن تا کلمه‌هایش را ببینی.

$x_{۱}, x_{۲}, x_{۳}, x_{۴}, x_{۵} = ۱۵۰, ۱۵۴, ۱۵۶, ۱۵۸, ۱۶۲$ قدِ پنج هم‌کلاسی اندازه گرفته می‌شود. قدها به سانتی‌متر ۱۵۰، ۱۵۴، ۱۵۶، ۱۵۸ و ۱۶۲ است.
$i = ۱ \sum ۵ x_{i} = ۷۸۰$ جمع‌شان کن: مجموع ۷۸۰ می‌شود.
$x ˉ = \frac{۱}{۵} i = ۱ \sum ۵ x_{i} = \frac{۷۸۰}{۵} = ۱۵۶$ بر ۵ تقسیم کن: میانگین قد ۱۵۶ است.
$x_{i} - x ˉ = - ۶, - ۲, ۰, ۲, ۶$ فاصلهٔ قد هر هم‌کلاسی از میانگین، با علامتش: −۶، −۲، ۰، ۲ و ۶.
$i = ۱ \sum ۵ (x_{i} - x ˉ)^{۲} = ۳۶ + ۴ + ۰ + ۴ + ۳۶ = ۸۰$ فاصله‌ها را به توان دو برسان و جمع کن: ۳۶ + ۴ + ۰ + ۴ + ۳۶ = ۸۰.
$s = \frac{۸۰}{۴} = ۲۰ \approx ۴٫۵$ بر ۴ تقسیم کن، یعنی یکی کمتر از ۵، و جذر بگیر: پراکندگی معمول حدود ۴٫۵ است.
$y^= x ˉ = ۱۵۶$ بدون هیچ اطلاعات دیگری، بهترین حدس برای قد یک هم‌کلاسی تازه همان میانگین، یعنی ۱۵۶، است.
$y - y^= ۱۶۰ - ۱۵۶ = ۴$ هم‌کلاسی تازه ۱۶۰ است. حدس ما ۴ اشتباه بود، کمتر از یک s.
$θ^= x ˉ = ۱۵۶$ این پنج نفر فقط نمونه‌ای از کل مدرسه‌اند. میانگین واقعی قد مدرسه، θ، ناشناخته است؛ برآورد ما ۱۵۶ است.
$σ^= s \approx ۴٫۵$ پراکندگی واقعی مدرسه، σ، هم ناشناخته است. آن را با s برآورد می‌کنیم، حدود ۴٫۵.

این داستان با کلمه‌ها ۶۸۲ حرف است؛ با نمادها ۱۵۶.

بخوانش

چه می‌گوید؟

$x ˉ = ۱۲$

$θ^= ۰٫۴$

$s = ۳$

$y_{i} - y^_{i} = - ۲$

$i = ۱ \sum n x_{i}$

$y^= ۲۰$

$s = ۰$

$σ = ۲$

$e_{i} = ۰$

$x ˉ = \frac{۱}{۴} i = ۱ \sum ۴ x_{i}$

$σ^= s$

$i = ۱ \sum n e_{i} = ۰$

بنویسش

کدام نمادنویسی همین را می‌گوید؟

میانگین n عدد، مجموع آن‌ها تقسیم بر n است.

خطای یک پیش‌بینی برابر است با مقدار واقعی منهای مقدار پیش‌بینی‌شده.

برآورد ما از مقدار واقعی و ناشناختهٔ θ، که از داده‌ها به دست آمده است.

مجموع مربع فاصله‌های مقدارها از میانگینشان.

پیش‌بینی ما برای مورد iام.

پراکندگی واقعی کل جامعه، که معمولاً نمی‌توانیم ببینیم.

میانگین سه مقدار ۴، ۶ و ۱۱ برابر ۷ است.

باقی‌ماندهٔ مورد پنجم: مقدار واقعی‌اش منهای مقدار پیش‌بینی‌شده‌اش.

انحراف معیار نمونه: جذرِ مجموع مربع فاصله‌ها تقسیم بر n − ۱.

برآورد ما از σ ناشناخته همان s است.

میانگین مقدارهای y.

برآورد ما ۰٫۲ بیشتر از مقدار واقعی θ شد.

بسازش

کاشی‌ها را به ترتیب بزن. یکی از کاشی‌ها اضافه است.

s برابر است با جذر یک بر n منهای ۱ ضرب در مجموع مربع فاصله‌ها از ایکس بار.

تتا هَت برابر است با یک بر n ضرب در مجموع مقدارهای x.

ایکس بار برابر است با مجموع مقدارهای x تقسیم بر n.

e ایندکس i مساوی است با y ایندکس i منهای وای هَت ایندکس i.

سیگما هَت مساوی s است: پراکندگی واقعی را با پراکندگی نمونه برآورد می‌کنیم.

وای هَت مساوی ایکس بار است: وقتی چیز دیگری نمی‌دانیم، میانگین را پیش‌بینی می‌کنیم.

چالش‌ها

معماهای خلاقانه‌ای که همهٔ نمادهای این فصل را به کار می‌برند. عجله نکن؛ ساعتی در کار نیست.

1 پنج قد

پنج قد در سطرها آمده است. تیک نشان می‌دهد هر مقدار شرط ستون را دارد یا نه. هر جمله را دربارهٔ این نمونه داوری کن.

	$x_{i} < x ˉ$	$∣ x_{i} - x ˉ ∣ > s$	$x_{i} \geq ۵$
$x_{۱} = ۲$	✓	✓
$x_{۲} = ۴$	✓
$x_{۳} = ۵$	✓		✓
$x_{۴} = ۷$			✓
$x_{۵} = ۱۲$		✓	✓

تیک یعنی مقدار سطر شرط ستون را برآورده می‌کند. این‌جا n = ۵.

$x ˉ = ۶$
$x ˉ = ۵$
$s = \frac{۵۸}{۴}$
$s = \frac{۵۸}{۵}$
$x_{۵} - x ˉ > s$
$x_{۴} - x ˉ > s$

2 کلاه، خط و حرف

هر خط را به معنایش وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

3 میانگین، درست‌شده

این باید بگوید: میانگین n عدد برابر است با مجموعشان تقسیم بر n. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

4 چقدر خطا؟

این باید بگوید: باقیمانده برابر است با مقدار واقعی منهای مقدار پیش‌بینی‌شده. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

5 قدِ گم‌شده

چهار مقدار میانگین ۶ دارند و سه‌تایشان معلوم است. چهارمی چند است؟

$x_{۱} = ۳, x_{۲} = ۵, x_{۳} = ۸, x_{۴} = ?, x ˉ = ۶$

6 خیلی زیاد یا خیلی کم؟

باقیمانده را حساب کن. عدد منفی یعنی پیش‌بینی بیش از اندازه بوده است.

$y_{i} = ۷, y^_{i} = ۹ ∴ e_{i} = ?$

7 داده‌ها چه می‌گویند

کدام یک از این‌ها را فقط از روی داده‌ها می‌شود حساب کرد؟

$θ, σ, θ^$

8 بهترین حدس تو

میانگین واقعی قد مدرسه θ است. بنویس که برآورد ما از آن همان میانگین نمونه است، بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

9 پنج روز بارانی

بارش به میلی‌متر در پنج روز. تیک نشان می‌دهد هر روز شرط ستون را دارد یا نه. هر جمله را دربارهٔ این نمونه داوری کن.

	$x_{i} = x ˉ$	$x_{i} > x ˉ$	$∣ x_{i} - x ˉ ∣ > s$
$x_{۱} = ۰$			✓
$x_{۲} = ۲$
$x_{۳} = ۴$	✓
$x_{۴} = ۴$	✓
$x_{۵} = ۱۰$		✓	✓

تیک یعنی مقدار سطر شرط ستون را برآورده می‌کند. این‌جا n = ۵.

$x ˉ = ۴$
$\sum_{i = ۱}^{۵} (x_{i} - x ˉ) = ۰$
$s = ۱۴$
$s = \frac{۵۶}{۵}$
$x_{۱} - x ˉ = ۴$
$∣ x_{۵} - x ˉ ∣ > s$

10 چهار پیش‌بینی

چهار روز: دمای واقعی y و پیش‌بینی ŷ. تیک نشان می‌دهد خطای e = y − ŷ چطور بود. هر جمله را داوری کن.

	$e_{i} > ۰$	$e_{i} = ۰$	$∣ e_{i} ∣ = ۲$
$y_{۱} = ۱۰, y^_{۱} = ۸$	✓		✓
$y_{۲} = ۷, y^_{۲} = ۹$			✓
$y_{۳} = ۱۲, y^_{۳} = ۱۲$		✓
$y_{۴} = ۵, y^_{۴} = ۶$

تیک یعنی روزِ سطر شرط ستون را دارد، با e_i = y_i − ŷ_i.

$e_{۱} = ۲$
$e_{۲} = ۲$
$e_{۴} = - ۱$
$\sum_{i = ۱}^{۴} e_{i} = - ۱$
$y ˉ = ۸٫۵$
$e_{۳} = y_{۳}$

11 این کدام عدد است؟

پنج کمیت از یک نمونه. هر کدام را به آنچه هست وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

12 فاصله از چه؟

این باید واریانس نمونه باشد: مربع فاصلهٔ مقدارها از میانگینِ خودشان، جمع‌شده و تقسیم بر n − ۱. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

13 کلاه و خط

این باید بگوید: برآورد ما از مقدار واقعی θ همان میانگین نمونه است. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

14 دو فنجان چای

دو فنجان ۳ و ۷ دقیقه خنک شدند. انحراف معیار نمونه چقدر است؟

$x_{۱} = ۳, x_{۲} = ۷, s = ?$

15 همه قد کشیدند

گیاه‌های یک سینی به‌طور میانگین ۱۰ سانتی‌متر بودند. یک ماه بعد هر گیاه ۵ سانتی‌متر بلندتر است. میانگین تازه چقدر است؟

$x ˉ = ۱۰, y_{i} = x_{i} + ۵ ∴ y ˉ = ?$

16 پیش‌بینی اتوبوس

جدول زمانی ۲۰ دقیقه پیش‌بینی کرده بود؛ اتوبوس ۲۳ دقیقه طول کشید. باقی‌مانده چقدر است و پیش‌بینی بیش از اندازه بود یا کمتر؟

$y = ۲۳, y^= ۲۰ ∴ e = ?$

17 نمونه و حقیقت

پراکندگی یک نمونه ۴٫۱ شد. کدام خط را می‌شود صادقانه دربارهٔ پراکندگی واقعی σ کل جامعه نوشت؟

$s = ۴٫۱$

18 خطاها خنثی می‌شوند

وقتی پیش‌بینی همان میانگین است، خطاها با هم تراز می‌شوند: باقی‌مانده‌ها روی هم صفر می‌شوند. آن را با نماد بنویس، بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

19 برآورد حقیقت نیست

پراکندگی نمونه برآورد ما از پراکندگی واقعی است، اما خودِ پراکندگی واقعی نیست. آن را با نماد بنویس، بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

داستان خودت را بگو

دربارهٔ پنج چیز اطرافت چیزی را اندازه بگیر: طول، دقیقه، گام. آن را در دو یا سه خط بگو: مقدارها، ایکس بار، و یک حدس با کلاه.

فقط روی همین دستگاه نگه داشته می‌شود.

آمار: خواندن یک کلاس با عدد

الفبا

داستان: قدِ بچه‌های یک کلاس

بخوانش

بنویسش

بسازش

چالش‌ها

1 پنج قد

2 کلاه، خط و حرف

3 میانگین، درست‌شده

4 چقدر خطا؟

5 قدِ گم‌شده

6 خیلی زیاد یا خیلی کم؟

7 داده‌ها چه می‌گویند

8 بهترین حدس تو

9 پنج روز بارانی

10 چهار پیش‌بینی

11 این کدام عدد است؟

12 فاصله از چه؟

13 کلاه و خط

14 دو فنجان چای

15 همه قد کشیدند

16 پیش‌بینی اتوبوس

17 نمونه و حقیقت

18 خطاها خنثی می‌شوند

19 برآورد حقیقت نیست

داستان خودت را بگو

دانلود برای استفاده بدون اینترنت