ریاضی را حرف بزن · دانشگاه

گرادیان: سربالایی کدام طرف است

روی سطحی که بی‌شمار جهت دارد، گرادیان یک بردار است که همه‌چیز را دربارهٔ شیب همان نقطه‌ای که ایستاده‌ای می‌گوید. یادگیری ماشین در خلاف جهت آن قدم برمی‌دارد.

پیش‌نویس: نوشتهٔ یک دستیار هوش مصنوعی؛ هنوز معلمی آن را بررسی نکرده است.

الفبا

هر نماد را همان‌طور که زیرش نوشته شده بلند بخوان.

$\frac{\partial f}{\partial x}$ بخوان: مشتق جزئی f نسبت به xیعنی: وقتی فقط x تغییر کند و بقیه ثابت بمانند، f با چه آهنگی تغییر می‌کند
$\nabla f$ بخوان: گرادیان f (یا «نابلا f»)یعنی: برداری که جهت تندترین سربالایی را نشان می‌دهد
$\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})$ بخوان: گرادیان f برابر است با بردارِ مشتق جزئی f نسبت به x و مشتق جزئی f نسبت به yیعنی: گرادیان همهٔ مشتق‌های جزئی را کنار هم می‌گذارد
$∥ \nabla f ∥$ بخوان: نُرم گرادیان fیعنی: طول بردار: تندترین راه چقدر شیب دارد
$D_{u} f = \nabla f \cdot u$ بخوان: مشتق جهتی f در جهت u برابر است با گرادیان f ضرب داخلی uیعنی: شیب، اگر در جهت u (یک بردار یکه) راه بروی
$f (x, y) = c$ بخوان: f از x و y مساوی cیعنی: منحنی تراز: همهٔ نقطه‌هایی که ارتفاعشان c است
$θ \leftarrow θ - η \nabla L (θ)$ بخوان: تتا می‌شود تتا منهای اِتا ضرب در گرادیان L در تتایعنی: یک گام کاهش گرادیان: کمی در جهت سرازیری جابه‌جا شو

داستان: کوهنورد در مه

زیرنویس:

روی هر سطر بزن تا کلمه‌هایش را ببینی.

$h (x, y) = x^{۲} + ۲ y^{۲}$ ارتفاع دامنهٔ یک دره از کف آن به جایی بستگی دارد که ایستاده‌ای: x متر به شرق و y متر به شمال.
$(x, y) = (۳, ۱)$ مه پایین می‌آید. کوهنورد ۳ متر شرق و ۱ متر شمالِ پایین‌ترین نقطهٔ کف است، اما آن را نمی‌بیند.
$h (۳, ۱) = ۱۱$ این‌جا زمین ۱۱ متر بالاتر از کف است.
$\frac{\partial h}{\partial x} = ۲ x, \frac{\partial h}{\partial y} = ۴ y$ با نوک کفش حس می‌کند: یک متر به شرق، زمین حدود ۲x بالا می‌رود؛ یک متر به شمال، حدود ۴y.
$\nabla h (۳, ۱) = (۶, ۴)$ پس همین‌جا تندترین راهِ بالا ۶ به شرق و ۴ به شمال است.
$- \nabla h (۳, ۱) = (- ۶, - ۴)$ تندترین راهِ پایین درست بردار مخالف آن است.
$(x, y) \leftarrow (۳, ۱) - ۰٫۱ (۶, ۴) = (۲٫۴, ۰٫۶)$ کوهنورد گام کوچکی برمی‌دارد، یک‌دهمِ آن بردار، و حالا ۲٫۴ متر شرق و ۰٫۶ متر شمال است.
$h (۲٫۴, ۰٫۶) = ۶٫۴۸ < ۱۱$ ارتفاع از ۱۱ به ۶٫۴۸ متر رسیده است.
$\nabla h (۰, ۰) = (۰, ۰)$ گام به گام، بردار کوتاه‌تر می‌شود، تا در پایین‌ترین نقطه دیگر هیچ سربالایی‌ای نمی‌ماند.

این داستان با کلمه‌ها ۶۲۱ حرف است؛ با نمادها ۱۲۵.

بخوانش

چه می‌گوید؟

$\nabla f (۱, ۲) = (۰, ۰)$

$\frac{\partial f}{\partial y} > ۰$

$∥ \nabla f (p)∥ = ۵$

$D_{u} f = ۰$

$\frac{\partial T}{\partial t} = - ۲$

$\nabla f (p) = (۰, - ۳)$

$∥ \nabla f ∥ = ۰$

$D_{u} f = - ∥ \nabla f ∥$

$h (x, y) = ۱۰۰$

$θ \leftarrow θ - ۰٫۰۱ \nabla L (θ)$

$\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})$

$\frac{\partial f}{\partial x} (۲, ۵) = ۰$

بنویسش

کدام نمادنویسی همین را می‌گوید؟

گرادیان f بردارِ دو مشتق جزئی آن است.

θ را با یک گام در خلاف جهت گرادیانِ تابع زیان به‌روز کن؛ اندازهٔ گام η برابر گرادیان است.

روی یک منحنی تراز، ارتفاع f همان عدد c می‌ماند.

مشتق جزئی f نسبت به y.

تندترین شیب در نقطهٔ p برابر ۳ است.

شیب f در جهت بردار یکهٔ u، به شکل ضرب داخلی.

منحنی تراز تپهٔ h در ارتفاع ۴.

گرادیان x به توان ۲ به‌علاوهٔ y به توان ۲ بردار (۲x, ۲y) است.

یک گام کاهش گرادیان با نرخ یادگیری ۰٫۱.

گرادیان بر منحنی تراز عمود است.

در جهت u، f به ازای هر واحد فاصله ۲ واحد ارتفاع بالا می‌رود.

در پایین‌ترین نقطهٔ دره، گرادیان بردار صفر است.

بسازش

کاشی‌ها را به ترتیب بزن. یکی از کاشی‌ها اضافه است.

شیب f در جهت u برابر است با ضرب داخلی گرادیان f در u.

θ بعدی برابر است با θ فعلی منهای η ضرب در گرادیان تابع زیان در θ فعلی.

گرادیان f بردار (۲x, ۲y) است.

نُرم گرادیان f در p برابر ۵ است.

یک منحنی تراز: h از x و y مساوی c.

مشتق جزئی f نسبت به x برابر ۲x است.

چالش‌ها

معماهای خلاقانه‌ای که همهٔ نمادهای این فصل را به کار می‌برند. عجله نکن؛ ساعتی در کار نیست.

1 تپهٔ مه‌آلود، روی نقشه

اینجا f(x, y) = x² + y² است. جدول نشان می‌دهد هر نقطه روی کدام منحنی تراز است. هر جمله را داوری کن: درست یا نادرست؟

	$c = ۱$	$c = ۴$	$c = ۸$
$(۱, ۰)$	✓
$(۰, ۲)$		✓
$(۲, ۲)$			✓
$(۱, ۱)$

تیک یعنی نقطهٔ سطر روی منحنی تراز f(x, y) = c ستون قرار دارد.

$\nabla f (۱, ۰) = (۲, ۰)$
$∥ \nabla f (۲, ۲)∥ = ۴ ۲$
$u = (۰, ۱) : D_{u} f (۱, ۰) = ۰$
$\frac{\partial f}{\partial y} (۰, ۲) = ۲$
$\nabla f (۱, ۱) \cdot (۱, - ۱) = ۲$
$\nabla f (x, y) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})$

2 فرهنگ شیب‌ها

شش سطر دربارهٔ شیب در چند متغیر. هر کدام را به معنایش وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

3 پایین کدام طرف است؟

این باید یک گام از کاهش گرادیان رو به پایین باشد. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

4 شیب در هر جهت

این باید شیب f را در جهت بردار یکهٔ u بدهد. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

5 شیب‌ها را جمع کن

گرادیان در نقطهٔ (۱, ۱) کدام بردار است؟

$f (x, y) = x^{۲} + ۳ y^{۲}, \nabla f (۱, ۱) = ?$

6 شیب در جهتی که انتخاب کردی

با گرادیان xy، شیب را در جهت بردار یکهٔ u در نقطهٔ (۲, ۱) پیدا کن.

$f (x, y) = x y, u = (۰٫۶, ۰٫۸), D_{u} f (۲, ۱) = ?$

7 قدم زدن در امتداد منحنی تراز

روی یک منحنی تراز نه بالا می‌روی نه پایین. با نماد بنویس: اگر گرادیان بر جهت u عمود باشد، شیب در آن جهت صفر است. بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

8 حساب کن و جمع کن

برای f(x, y) = x² y گرادیان را به‌صورت بردارِ دو مشتق جزئی‌اش بنویس و مقدارش را هم بگو. بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

9 زین

ارتفاع یک گردنهٔ کوه f(x, y) = x² − y² است: در راستای x بالا، در راستای y پایین. هر جمله را داوری کن: درست یا نادرست؟

	$\frac{\partial f}{\partial x} > ۰$	$\frac{\partial f}{\partial y} < ۰$	$\nabla f = ۰$
$(۱, ۰)$	✓
$(۰, ۱)$		✓
$(۰, ۰)$			✓
$(۱, ۱)$	✓	✓

تیک یعنی ادعای ستون در نقطهٔ سطر، برای f = x² − y² با گرادیان (۲x, −۲y)، درست است.

$\nabla f (۱, ۱) = (۲, - ۲)$
$\frac{\partial f}{\partial y} (۰, ۱) = ۲$
$u = (۰, ۱) : D_{u} f (۱, ۰) = ۰$
$\nabla f (۰, ۰) = (۰, ۰)$
$f (۱, ۰) = f (۰, ۱)$
$∥ \nabla f (۱, ۱)∥ = ۲ ۲$

10 بالا، هم‌تراز یا پایین

شیب در جهت u می‌تواند چهار حالت داشته باشد. هر کدام را به معنایش برای رهگذر وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

11 y را ثابت نگه دار

هر دو مشتق جزئی f = ۳xy + y² را بگیر. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

12 گامی در جهت غلط

یک گام کاهش گرادیان با θ = ۴، گرادیان ۶ و نرخ یادگیری ۰٫۵. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

13 شیب یکنواخت

ارتفاع یک سقف تخت ۳x + ۴y است. تندترین جهت آن چقدر شیب دارد؟

$f (x, y) = ۳ x + ۴ y, ∥ \nabla f ∥ = ?$

14 راه رفتن از پهلو

در p گرادیان در راستای y است. اگر در راستای x راه بروی شیب چیست؟

$\nabla f (p) = (۰, ۲), u = (۱, ۰), D_{u} f (p) = ?$

15 یک گام پایین

تابع زیان θ² است، در θ = ۳ ایستاده‌ای و نرخ یادگیری ۰٫۱ است. یک گام کاهش گرادیان تو را به کجا می‌برد؟

$L (θ) = θ^{۲}, θ = ۳, η = ۰٫۱, θ \leftarrow ?$

16 تندترین راه

با نماد بنویس: میان همهٔ جهت‌های یکه، شیب در راستای گرادیان بیشترین است و این بیشترین شیب برابر نُرم گرادیان است. بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

داستان خودت را بگو

یک داستان دوخطی از چیزی که سرازیر می‌شود بنویس — یک توپ، یک قیمت، خطایی که کوچک می‌شود — فقط با نمادها: یک ارتفاع، یک نقطه، یک گرادیان، یک گام.

فقط روی همین دستگاه نگه داشته می‌شود.

گرادیان: سربالایی کدام طرف است

الفبا

داستان: کوهنورد در مه

بخوانش

بنویسش

بسازش

چالش‌ها

1 تپهٔ مه‌آلود، روی نقشه

2 فرهنگ شیب‌ها

3 پایین کدام طرف است؟

4 شیب در هر جهت

5 شیب‌ها را جمع کن

6 شیب در جهتی که انتخاب کردی

7 قدم زدن در امتداد منحنی تراز

8 حساب کن و جمع کن

9 زین

10 بالا، هم‌تراز یا پایین

11 y را ثابت نگه دار

12 گامی در جهت غلط

13 شیب یکنواخت

14 راه رفتن از پهلو

15 یک گام پایین

16 تندترین راه

داستان خودت را بگو

دانلود برای استفاده بدون اینترنت