ریاضی را حرف بزن · دانشگاه

میدان‌ها: باد، گردابه و شارش

وقتی هر نقطهٔ فضا یک بردار دارد، مثل باد، پرسش‌های تازه‌ای پیدا می‌شود: روی یک تکه چه چیزی جمع می‌شود، از یک مرز چه چیزی می‌گذرد، و هوا پخش می‌شود یا می‌چرخد؟

پیش‌نویس: نوشتهٔ یک دستیار هوش مصنوعی؛ هنوز معلمی آن را بررسی نکرده است.

الفبا

هر نماد را همان‌طور که زیرش نوشته شده بلند بخوان.

$F (x, y) = (P, Q)$ بخوان: F از x و y برابر است با P و Qیعنی: میدان برداری: در هر نقطه یک بردار، مثل بادی که همه‌جا جهت و شدت خودش را دارد
$\iint_{R} f d A$ بخوان: انتگرال دوگانهٔ f روی ناحیهٔ R نسبت به dAیعنی: f را روی همهٔ تکه‌های کوچک ناحیهٔ تخت R جمع می‌زند؛ وقتی f برابر ۱ است، همان مساحت می‌شود
$∭_{V} f d V$ بخوان: انتگرال سه‌گانهٔ f روی V نسبت به dVیعنی: f را روی همهٔ تکه‌های کوچک جسم V جمع می‌زند؛ وقتی f برابر ۱ است، همان حجم می‌شود
$\oint_{C} F \cdot d r$ بخوان: انتگرال خطی F ضرب داخلی dr روی منحنی بستهٔ Cیعنی: کل فشار میدان در یک دور کامل روی مسیر بستهٔ C: گردش
$\nabla \cdot F$ بخوان: دیورژانس F (نابلا نقطه F)یعنی: در هر نقطه یک عدد: جایی که میدان پخش می‌شود مثبت، جایی که فشرده می‌شود منفی
$\nabla \times F$ بخوان: کرل F (نابلا ضرب خارجی F)یعنی: چرخش میدان در هر نقطه؛ برداری در راستای محور چرخش

داستان: باد روی دشت، آب از میان تور

زیرنویس:

روی هر سطر بزن تا کلمه‌هایش را ببینی.

$F (x, y) = (- y, x)$ باد در میان یک دشت صاف می‌چرخد. در نقطه‌ای با x متر به شرق و y متر به شمال، به‌صورت (−y, x) می‌وزد.
$F (۱, ۰) = (۰, ۱)$ یک متر شرقِ مرکز، باد درست به شمال و با سرعت ۱ متر بر ثانیه می‌وزد.
$\nabla \cdot F = ۰$ هوا دور می‌زند، پس هیچ‌جا انباشته یا رقیق نمی‌شود: دیورژانس صفر است.
$\nabla \times F = (۰, ۰, ۲)$ اما می‌چرخد. یک پروانهٔ کوچک خلاف جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخید، با شدت ۲ حول محور قائم.
$\iint_{R} ۲ d A = ۲ π$ روی یک قرص گرد R به شعاع ۱ و مساحت π، شدت چرخش ۲ روی هم ۲π می‌شود.
$\oint_{C} F \cdot d r = ۲ π$ آدمی که یک دور لبهٔ C را می‌رود و همیشه باد پشت اوست، همین مجموع را حس می‌کند: ۲π.
$G (x, y, z) = (x, y, z)$ حالا آب. شیری در مرکز یک تور توپی‌شکل آب را مستقیم به بیرون می‌فرستد: در هر نقطه به‌صورت (x, y, z) جریان دارد.
$\nabla \cdot G = ۳$ همه‌جای درون تور آب با یک آهنگ پخش می‌شود: دیورژانس ۳ است.
$∭_{V} ۳ d V = ۴ π$ روی توپ V به شعاع ۱، که حجمش چهار سوم π است، این پخش‌شدن روی هم ۴π می‌شود: درست همان‌قدر که از تور بیرون می‌رود.

این داستان با کلمه‌ها ۷۵۶ حرف است؛ با نمادها ۸۵.

بخوانش

چه می‌گوید؟

$\iint_{R} ۱ d A$

$\nabla \cdot F > ۰$

$\nabla \times F = ۰$

$\oint_{C} F \cdot d r$

$F (x, y) = (۰, - ۹٫۸)$

$∭_{V} ۱ d V$

$\nabla \cdot F < ۰$

$\nabla \times F = (۰, ۰, - ۲)$

$\oint_{C} F \cdot d r = ۰$

$\iint_{R} \nabla \times F d A$

$F (۲, ۳) = (۱, ۰)$

$\nabla \cdot F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$

بنویسش

کدام نمادنویسی همین را می‌گوید؟

مجموع f روی ناحیهٔ تخت R.

دیورژانس میدان F.

کل فشار F در یک دور روی منحنی بستهٔ C.

حجم جسم V.

کرل میدان F.

میدانی که در هر نقطهٔ (x, y) درست به شمال و با شدت ۳ می‌وزد.

میدان هیچ‌جا نه پخش می‌شود و نه فشرده.

چرخش F جمع‌شده روی ناحیهٔ تخت R.

مجموع f روی جسم V.

کل فشار F در یک دور روی مسیر بستهٔ C برابر ۶π است.

پخش‌شدن F جمع‌شده روی کل جسم V برابر ۱۲ است.

میدانی که هیچ‌جا چرخش ندارد.

بسازش

کاشی‌ها را به ترتیب بزن. یکی از کاشی‌ها اضافه است.

انتگرال دوگانهٔ f روی R نسبت به dA.

انتگرال سه‌گانه روی V از دیورژانس G نسبت به dV مساوی چهار π است.

کرل F برابر بردار صفر است.

انتگرال خطی F ضرب داخلی dr روی C مساوی دو π است.

میدان F از x و y برابر است با منهای y و x.

انتگرال سه‌گانهٔ ۱ روی V نسبت به dV مساوی چهار سوم π است.

چالش‌ها

معماهای خلاقانه‌ای که همهٔ نمادهای این فصل را به کار می‌برند. عجله نکن؛ ساعتی در کار نیست.

1 چهار باد، سه آزمون

چهار میدان باد روی یک دشت و سه آزمون برای هر کدام. جدول برایت بررسی شده است؛ با آن و با این فکر که گردش دور یک مسیر همان چرخش درون آن را جمع می‌کند، هر جمله را داوری کن.

	$\nabla \cdot F = ۰$	$\nabla \times F = ۰$	$\oint_{C} F \cdot d r = ۰$
$F_{۱} = (x, y)$		✓	✓
$F_{۲} = (- y, x)$	✓
$F_{۳} = (y, x)$	✓	✓	✓
$F_{۴} = (x - y, x + y)$

تیک یعنی معادلهٔ ستون برای باد سطر برقرار است. C دایرهٔ واحد است، یک بار پادساعتگرد. در صفحه ∇×F یعنی چرخش ∂Q/∂x − ∂P/∂y.

$\nabla \cdot (x, y) = ۲$
$\nabla \times (- y, x) = ۲$
$\oint_{C} (y, x) \cdot d r = ۰$
$\oint_{C} (x - y, x + y) \cdot d r = ۲ π$
$\nabla \cdot (y, x) = ۱$
$\nabla \times (x, y) = ۲$

2 فرهنگ میدان‌ها

شش نماد برای بردار‌ها، جمع‌ها و جریان‌ها. هر کدام را به معنایش وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

3 پخش شدن

این باید فرمول پخش شدنِ یک میدان صفحه‌ای باشد. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

4 یک عدد، نه یک بردار

کدام پاسخ دیورژانس است؟

$F = (x^{۲}, y^{۲}, z^{۲}), \nabla \cdot F = ?$

5 کف را کاشی کن

عدد ثابت ۳ را روی مستطیل جمع بزن.

$\iint_{R} ۳ d A, R = [۰, ۲] \times [۰, ۵]$

6 یک دور دایره

بادی چرخان دور دایره‌ای به شعاع یک می‌وزد. رهگذر در مجموع چه چیزی حس می‌کند؟

$F = (- y, x), C : x^{۲} + y^{۲} = ۱, \oint_{C} F \cdot d r = ?$

7 آنچه از توپ بیرون می‌رود

آب از وسط توپی V به شعاع ۱ پخش می‌شود و همه‌جا ∇·F = ۳ است. با نماد بنویس که کل پخش شدن در توپ ۴π است. بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

8 قانون چرخش

کل فشار دور مرز یک ناحیهٔ تخت برابر چرخش جمع‌شده روی آن ناحیه است. آن را با نماد بنویس. بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

9 نسیم ثابت، فواره، گردابه، زین

چهار باد روی یک دشت: نسیمی ثابت، یک فواره، یک گردابه و یک زین. جدول برایت بررسی شده است. هر جمله را داوری کن؛ یادت باشد که گردش دور مسیر همان چرخش درون آن را جمع می‌کند.

	$\nabla \cdot F = ۰$	$\nabla \times F = ۰$	$\oint_{C} F \cdot d r = ۰$
$F_{۱} = (۰, ۳)$	✓	✓	✓
$F_{۲} = (۲ x, ۲ y)$		✓	✓
$F_{۳} = (- ۲ y, ۲ x)$	✓
$F_{۴} = (x, - y)$	✓	✓	✓

تیک یعنی معادلهٔ ستون برای باد سطر برقرار است. C دایرهٔ واحد است، یک بار پادساعتگرد. در صفحه ∇×F یعنی ∂Q/∂x − ∂P/∂y.

$\nabla \cdot (۲ x, ۲ y) = ۴$
$\nabla \times (- ۲ y, ۲ x) = ۴$
$\oint_{C} (- ۲ y, ۲ x) \cdot d r = ۴ π$
$\nabla \cdot (x, - y) = ۲$
$\nabla \times (۰, ۳) = ۳$
$\oint_{C} (۲ x, ۲ y) \cdot d r = ۴ π$

10 شیرها و چاهک‌ها

آب روی یک کف به‌صورت F = (x², y) جریان دارد. چهار نقطه فهرست شده است؛ جدول می‌گوید در هر نقطه آب پخش می‌شود (شیر) یا نه، می‌چرخد یا نه، و جریان آن‌جا دقیقاً (۱, ۰) است یا نه. هر جمله را داوری کن.

	$\nabla \cdot F > ۰$	$\nabla \times F = ۰$	$F = (۱, ۰)$
$(۱, ۰)$	✓	✓	✓
$(- ۱, ۰)$		✓	✓
$(۰, ۲)$	✓	✓
$(- ۲, ۱)$		✓

تیک یعنی شرط ستون در نقطهٔ سطر برای F = (x², y) برقرار است. ∇×F همان چرخش صفحه‌ای ∂Q/∂x − ∂P/∂y است.

$\nabla \cdot F (۱, ۰) = ۳$
$\nabla \cdot F (- ۲, ۱) = - ۳$
$\nabla \times F = ۰$
$F (- ۱, ۰) = (- ۱, ۰)$
$\nabla \cdot F (۰, ۲) < ۰$
$F (- ۲, ۱) = (۴, ۱)$

11 پنج مجموع

پنج جمع که شبیه هم‌اند. هر کدام را به چیزی که جمع می‌زند وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

12 چرخیدن

این باید فرمول چرخش یک میدان صفحه‌ای F = (P, Q) باشد. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

13 توپ به شعاع یک

این باید بگوید: جمع کردن ۱ روی همهٔ تکه‌های کوچک توپ V به شعاع ۱، حجم آن، یعنی چهار سوم π، را می‌دهد. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

14 باد ثابت دور یک دایره

باد همه‌جا با شدت ۳ به شرق می‌وزد. رهگذر یک دور کامل دایره‌ای به شعاع ۱ را می‌رود. کل فشار باد در راه چقدر است؟

$F = (۳, ۰), C : x^{۲} + y^{۲} = ۱, \oint_{C} F \cdot d r = ?$

15 زیر یک سقف شیب‌دار

سقفی به ارتفاع x + y روی یک کف مربعی ۲ در ۲ قرار دارد. چقدر هوا زیر آن است؟

$\iint_{R} (x + y) d A, R = [۰, ۲] \times [۰, ۲]$

16 رودی که می‌چرخد

رودی به شرق جریان دارد و هر چه شمالی‌تر، تندتر: F = (y, ۰). می‌چرخد؟ و در چه جهتی؟

$F = (y, ۰), \nabla \times F = ?$

17 همه‌چیز می‌افتد

نزدیک زمین، گرانش هر نقطه را مستقیم به پایین و با شدت یکسان g می‌کشد. این را به‌صورت یک میدان بنویس، بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

داستان خودت را بگو

یک داستان دوخطی از یک شارش بنویس: دود، رودخانه یا جمعیتِ یک سالن. بگو کجا پخش می‌شود یا می‌چرخد، فقط با نمادها.

فقط روی همین دستگاه نگه داشته می‌شود.

میدان‌ها: باد، گردابه و شارش

الفبا

داستان: باد روی دشت، آب از میان تور

بخوانش

بنویسش

بسازش

چالش‌ها

1 چهار باد، سه آزمون

2 فرهنگ میدان‌ها

3 پخش شدن

4 یک عدد، نه یک بردار

5 کف را کاشی کن

6 یک دور دایره

7 آنچه از توپ بیرون می‌رود

8 قانون چرخش

9 نسیم ثابت، فواره، گردابه، زین

10 شیرها و چاهک‌ها

11 پنج مجموع

12 چرخیدن

13 توپ به شعاع یک

14 باد ثابت دور یک دایره

15 زیر یک سقف شیب‌دار

16 رودی که می‌چرخد

17 همه‌چیز می‌افتد

داستان خودت را بگو

دانلود برای استفاده بدون اینترنت