زبان ریاضی

دورهٔ زبان ریاضی

خواندن و نوشتن ریاضی را مثل یک زبان یاد بگیر: از A1 تا C2، در چهار مهارت. خواندن، گفتن، نوشتن و توضیح دادن، بدون نیاز به محاسبه.

پیش‌نویس: سطح‌ها، متن‌ها و آزمون‌ها هنوز نهایی نیستند و هیچ‌چیز اینجا گواهی نیست. سطح‌ها الهام‌گرفته از چارچوب اروپایی‌اند، اما همان سطح‌ها نیستند و هنوز کسی بررسی نکرده که فاصلهٔ پله‌ها برابر باشد.

Drafted with AI and checked by an independent AI. Not yet reviewed by a person.

هر درس یک درس گفتاری است: نمودار را ببین، صدا را بشنو و در پایان فصل تمرین‌ها را انجام بده. (صدای فارسی در حال ساخت است.)

1. A1 عددها، چهار عمل، = و نشانه‌های ترتیب، پرانتز، حرف‌ها، گزاره‌های کوتاه.

   1. 01 عددنویسی و ارزش مکانیمی‌توانم عددی تا چهار رقم را بخوانم و بگویم و بگویم هر رقم چه ارزشی دارد.
   2. 02 چهار عمل اصلی و طرز گفتن آن‌هامی‌توانم نشانه‌های جمع و تفریق و ضرب و تقسیم را به ترتیب درست با کلمه بگویم و از روی کلمه‌ها بنویسم.
   3. 03 نشانهٔ مساویمی‌توانم بگویم = چه می‌گوید و آن را در یک گزارهٔ کوتاه پیدا کنم.
   4. 04 نشانه‌های کوچک‌تر و بزرگ‌ترمی‌توانم نشانه‌های کوچک‌تر و بزرگ‌تر و زنجیرهٔ مقایسه را بخوانم و بنویسم.
   5. 05 پرانتزمی‌توانم بگویم یک جفت پرانتز چه چیزی را کنار هم نگه می‌دارد و گروه را یک مقدار بخوانم.
   6. 06 جعبه و حرفمی‌توانم بگویم یک جعبه یا یک حرف نمایندهٔ یک عدد است و «فرض کن … نماینده … باشد» را بخوانم.
   7. 07 یکا و مقدارمی‌توانم یک عدد را با یکایش به‌عنوان یک مقدار بخوانم و بگویم و بنویسم.
   8. 08 خواندن یک جملهٔ عددیمی‌توانم یک جملهٔ عددی را کامل و به ترتیب بخوانم و جملهٔ مطابق با آن را انتخاب کنم.
   9. 09 نوشتن یک جملهٔ عددیمی‌توانم یک جملهٔ عددی گفتاری را با نشانه‌ها بنویسم و برای «بزرگ‌تر از»، «کوچک‌تر از»، «برابر است با»، «مساوی نیست»، «حداقل» و «حداکثر» نشانهٔ درست را بگذارم.
   10. 10 کسر به‌عنوان نمادمی‌توانم صورت و مخرج یک کسر را نام ببرم، آن را بخوانم و خط کسری را از نشانهٔ تقسیم تشخیص دهم.
   11. 11 گزاره‌های کوتاه و آنچه ادعا می‌کنندمی‌توانم ادعا را از پرسش جدا کنم و بگویم یک گزارهٔ کوتاه درست است یا نادرست.
   12. 12 خواندنی: پنج داستان کوتاهمی‌توانم داستان کوتاهی را که واژه و نشانه را با هم دارد بخوانم و بگویم گزاره‌هایش چه ادعا می‌کنند.

2. A2 تجزیهٔ عبارت، توان، نقش حرف‌ها، فرمول به‌عنوان جمله، «برای هر» و «وجود دارد» با کلمه.

   1. 01 اولویت عمل‌ها: چه چیزی به چه چیزی می‌پیونددمی‌توانم با پرانتز نشان دهم در یک عبارت چه چیزی به چه چیزی می‌پیوندد و نشانهٔ اصلی آن را پیدا کنم: × و ÷ پیش از + و − می‌پیوندند، پرانتز اول می‌آید و نشانه‌های هم‌سطح از چپ می‌پیوندند.
   2. 02 ضرب پنهانمی‌توانم تشخیص دهم چه موقع چیزهای کنار هم نوشته‌شده در هم ضرب می‌شوند، مثل دو حرف یا عددِ پیش از حرف یا پرانتز، و چه موقع نه، مثل رقم‌های کنار هم؛ و ضرب را بدون علامت ضرب بنویسم.
   3. 03 توان و ریشهمی‌توانم توان و ریشهٔ دوم را بگویم، نشان دهم توان به چه چیزی می‌رسد، و فرق توان روی یک چیز با توان روی کل پرانتز، فرق منفیِ پیش از توان با منفیِ درون آن، و فرق ریشه روی یک جمله با ریشه روی دو جمله را بگویم.
   4. 04 نقش حرف‌هامی‌توانم با کمک واژه‌های اطراف بگویم یک حرف مجهول است، عدد دلخواه، نام (برچسب) یا پارامتر.
   5. 05 فرمول‌ها مانند جملهمی‌توانم یک فرمول را مانند یک جمله بخوانم، نقش هر حرف را بگویم، آن را با صدای بلند بخوانم و از روی توصیفِ اینکه چه چیزی به چه چیزی بستگی دارد، فرمول بنویسم.
   6. 06 خط کسری و تقسیممی‌توانم بگویم خط کسری چه چیزی را گروه می‌کند، یک تقسیم تک‌سطری را بخوانم و تشخیص دهم کجا مبهم است، و تقسیم را با خط کسری یا با پرانتز بنویسم.
   7. 07 درصد، نسبت و آهنگمی‌توانم $\%$ را «در هر صد»، $a:b$ را نسبت و خط مورب میان دو یکا را «بر» بخوانم و هر یک را از روی یک جمله بنویسم.
   8. 08 قدر مطلق و خط‌های عمودیمی‌توانم $|x|$ را فاصله از صفر و $|x-۳|$ را فاصلهٔ $x$ تا ۳ بخوانم، خط‌های عمودی را از پرانتز تشخیص دهم و آن‌ها را از روی کلمه‌ها بنویسم.
   9. 09 نقطه‌ها، زوج‌ها و بازه‌هامی‌توانم تشخیص دهم $(a,b)$ چه وقت نقطه، زوج مرتب، بازه یا بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک است و یک نقطه یا بازه را از روی کلمه‌ها بنویسم.
   10. 10 «برای هر» و «وجود دارد»می‌توانم «برای هر» و «وجود دارد» را با کلمه و با نشانه‌های ∀ و ∃ بخوانم و بنویسم و می‌دانم که یک مثال نقض ادعای «برای هر» را رد می‌کند، اما یک مثال آن را ثابت نمی‌کند.
   11. 11 نام‌گذاری در هندسه: الف، ب، جمی‌توانم نام نقطه‌ها، پاره‌خط‌ها، زاویه‌ها و مثلث‌ها را در یک شکل (A، AB، ∠ABC، △ABC) بخوانم، با نام‌گذاری فارسی هم، و می‌دانم حرف‌ها نام‌اند، نه عددهایی که ضرب شوند.
   12. 12 رقم‌ها و جهت نوشتنمی‌توانم میان رقم‌های ۰ تا ۹ انگلیسی و ۰ تا ۹ فارسی تبدیل کنم، ممیز را در هر دو بنویسم، فرمولی را که میان متن فارسی یا انگلیسی آمده از چپ بخوانم و فرمولِ وارونه‌شده را تشخیص بدهم.
   13. 13 خواندن با صدا: فرمول‌ها به انگلیسی و فارسیمی‌توانم $x^{\mathrm{۲}}+\mathrm{۱}$، $(x+\mathrm{۱}{)}^{\mathrm{۲}}$، ½، $a/b$، $\sqrt{x}$، $|x|$ و $\mathrm{۲}(x+\mathrm{۳})$ را به دو زبان انگلیسی و فارسی، کوتاه و بلند، بخوانم و از روی گفتار بنویسم.
   14. 14 خواندنی: پنج متن کوتاه با فرمولمی‌توانم متن کوتاهی را که واژه و فرمول را با هم دارد بخوانم و بگویم فرمول‌ها، نسبت‌ها و برچسب‌هایش چه ادعا می‌کنند.

3. B1 تابع، مجموعه، بازه، سورها، تعریف‌ها، برهان‌های کوتاه.

   1. 01 عبارت به‌عنوان یک «چیز» و عبارت‌های هم‌ارزمی‌توانم عبارت (نامی برای عددی که به یک حرف بستگی دارد) را از معادله (جمله‌ای که چیزی را ادعا می‌کند) تشخیص بدهم و می‌دانم دو عبارتِ متفاوت‌نوشته می‌توانند به‌ازای هر مقدار حرف یک عدد را نشان بدهند.
   2. 02 تابع: $f$ و $f(x)$ و $f(\mathrm{۲})$ و $f:A\to B$می‌توانم $f(x)$ را «خروجی ضابطهٔ $f$ به‌ازای ورودی $x$» بخوانم، $f$ را از $f(x)$ و $f(\mathrm{۲})$ تشخیص بدهم و $f:A\to B$ و $x\mapsto x^{\mathrm{۲}}$ را به‌عنوان جمله‌هایی دربارهٔ جای ورودی‌ها و خروجی‌ها بخوانم.
   3. 03 $f^{\mathrm{۲}}$ و $f^{-\mathrm{۱}}$ و $f(f(x))$ و ترتیب ترکیبمی‌توانم $f(g(x))$ و $f\circ g$ را با ضابطهٔ درست که اول عمل می‌کند بخوانم، $f^{-\mathrm{۱}}$ را ضابطهٔ وارون بدانم نه «یک بر $f$»، و می‌دانم $f^{\mathrm{۲}}$ دو قرارداد دارد و متن باید بگوید کدام.
   4. 04 دنباله‌ها و اندیس‌ها: شاخص یا برچسبمی‌توانم $a_n$ و $a_{n+\mathrm{۱}}$ را جمله‌هایی در جایگاه‌های مشخص از یک دنباله بخوانم، فرمول‌هایی مثل $a_n=\mathrm{۲}n$ و $a_{n+\mathrm{۱}}=a_n+\mathrm{۲}$ را بخوانم و شاخص را از برچسبی مثل $P_A$ تشخیص بدهم.
   5. 05 مجموعه‌ها و نمایش مجموعه‌سازمی‌توانم مجموعه‌ها را با آکولاد و با $\{x\in A:P(x)\}$ بخوانم و بنویسم و بگویم $\in$ و $\subset$ و $\cup$ و $\cap$ و $\varnothing$ چه می‌گویند.
   6. 06 بازه‌ها و کروشه‌های آن‌هامی‌توانم بازه‌هایی مانند $[a,b]$ و $[a,b)$ و $]a,b[$ و $(a,b)$ را بخوانم و بنویسم، بدانم کدام سرها شامل‌اند و بازه را از نقطه تشخیص بدهم.
   7. 07 نامعادله‌ها و مجموعهٔ جوابمی‌توانم یک نامعادله را ادعایی دربارهٔ $x$ بخوانم، بگویم مجموعهٔ جوابش چه عددهایی را دارد و آن مجموعه را با آکولاد یا به شکل بازه بنویسم.
   8. 08 کلمه‌های منطق: و، یا، نه، اگر … آنگاه، اگر و تنها اگرمی‌توانم گزاره‌هایی را که با «و»، «یا»، «نه»، «اگر … آنگاه» و «اگر و تنها اگر» به هم وصل شده‌اند با کلمه و با نشانه‌های $\wedge$، $\vee$، $\neg$، $\Rightarrow$، $\iff$ بخوانم و بنویسم و می‌دانم هر کدام چه ادعایی دارند، از جمله اینکه «یا» در ریاضی هر دو را هم مجاز می‌داند.
   9. 09 سورها در گزاره‌ها: ∀∃ و ∃∀می‌توانم گزاره‌هایی را که دو سور دارند بخوانم و بنویسم، می‌دانم $\forall x\exists y$ و $\exists y\forall x$ چیزهای متفاوتی می‌گویند و می‌توانم بگویم یک سور تا کجا می‌رسد و دربارهٔ کدام مجموعه است.
   10. 10 استلزام: جهت، عکس، عکس نقیض، نقیضمی‌توانم جهت یک «اگر … آنگاه» را تشخیص بدهم، عکس و عکس نقیض آن را بنویسم و گزاره‌های دارای $\forall$ و $\exists$ و «اگر … آنگاه» را نقیض کنم، و می‌دانم یک ادعا و عکس نقیضش یک چیز می‌گویند اما عکسش نه.
   11. 11 تعریف‌ها و آنچه به ما اجازه می‌دهندمی‌توانم تعریفی مانند «$n$ زوج است اگر برای عددی صحیح مانند $k$ داشته باشیم $n=\mathrm{۲}k$» را بخوانم، واژهٔ تازه و شرط آن را پیدا کنم، بدانم «اگر» در آن به معنای «اگر و تنها اگر» است، و بگویم تعریف در هر جهت اجازهٔ نوشتن چه چیزی را می‌دهد.
   12. 12 نمادگذاری احتمال: $P(A)$، $P(A\mid B)$، $E[X]$می‌توانم $P(A)$ و $P(A\mid B)$ و $E[X]$ را مثل جمله بخوانم، بلند بگویم، از روی جمله بنویسم و توضیح بدهم چه می‌گویند، بی‌آنکه احتمالی را حساب کنم.
   13. 13 نمادگذاری آمار: $\bar{x}$، $\sigma$، $\Sigma$می‌توانم $\bar{x}$ و $\sigma$ و $\Sigma$ را با کلمه بخوانم، مجموعی را که شروع و پایان دارد «جمع روی …» بخوانم و $\sigma$ کوچک را از $\Sigma$ بزرگ تشخیص بدهم، بی‌آنکه آماره‌ای را حساب کنم.
   14. 14 بردار و ماتریس به‌عنوان نمادگذاریمی‌توانم حرف‌های پررنگ و پیکان‌دار را بردار بخوانم، $A_{ij}$ را «درایهٔ سطر $i$ و ستون $j$» بگویم، ترانهاده را از توان تشخیص بدهم و آن‌ها را از روی توصیف بنویسم، بی‌آنکه محاسبهٔ ماتریسی انجام دهم.
   15. 15 انواع گزارهمی‌توانم تشخیص دهم یک گزاره وجودی است، کران می‌دهد، اتحاد است یا هم‌ارزی؛ آن را بگویم و از روی یک توصیف ساده از هر نوع یکی بنویسم.
   16. 16 خواندن یک برهان کوتاهمی‌توانم فرض و حکم یک ادعا را پیدا کنم، بگویم هر سطر برهانی ۳ تا ۵ سطری بر کدام واقعیت تکیه دارد و در چند کلمه بگویم برهان چه چیزی را نشان می‌دهد.
   17. 17 نوشتن تعریف و ادعامی‌توانم تعریف یک واژهٔ تازه را با کلمه و نشانه بنویسم، ادعایی با فرض و حکم بنویسم و این دو را از هم تشخیص دهم.
   18. 18 خواندنی: پنج متن کوتاه در سطح B1می‌توانم متن کوتاهی را که واژه و فرمول را با هم دارد بخوانم — تعریف، ادعا، برهان، برگهٔ فرمول، دنباله — و بگویم چه ادعا می‌کند و از چه استفاده می‌کند.

4. B2 مجموع، حد، انتگرال به‌عنوان جمله، حرکت‌های برهان، نشانه‌های چندمعنایی.

   1. 01 Σ و Π به‌عنوان جملهمی‌توانم مجموع یا حاصل‌ضرب را مثل یک جمله (شمارنده، آغاز، پایان، عبارت) بخوانم، بلند بگویم و از روی توصیفی ساده بنویسم، و می‌دانم کدام حرف‌ها جانشین‌اند.
   2. 02 حد به‌عنوان جملهمی‌توانم نشانهٔ lim و جملهٔ ε–δ را مثل یک جمله و مثل یک بازی بخوانم، بگویم چه کسی چه چیزی را انتخاب می‌کند و قطعه‌های آن را بنویسم، بی‌آنکه حدی را حساب کنم.
   3. 03 نمادهای مشتق: f′ ، dy/dx ، ∂f/∂x ، ḟمی‌توانم چهار روش رایج نوشتن مشتق را بخوانم، بلند بگویم، هر کدام را از روی توصیف بنویسم و بگویم کجا با کاربردهای دیگر همان نشانه‌ها تعارض دارند.
   4. 04 نمادهای انتگرال: ∫ و ∬ و ∭ به‌معنای «جمع روی یک ناحیه»می‌توانم ∫ و ∬ و ∭ را به‌معنای «جمع روی یک بازه یا ناحیه» بخوانم، بگویم کران‌ها و dx چه چیزی را نام می‌برند و از روی توصیفی ساده انتگرال بنویسم، بی‌آنکه آن را حساب کنم.
   5. 05 سورهای تودرتو و نقیض آن‌هامی‌توانم ادعاهایی با چند سور را به ترتیب درست بخوانم، بگویم کدام حرف به کدام بستگی دارد و نقیض را با برعکس‌کردن هر سور بنویسم.
   6. 06 حرکت‌های برهان: فرض کنید، بدون کاستن از کلیت، کافی استمی‌توانم بگویم برهانی که می‌نویسد «فرض کنید»، «بدون کاستن از کلیت» یا «کافی است نشان دهیم» چه می‌کند و می‌دانم کدام ادعا می‌کند، کدام هدف را عوض می‌کند و کدام حالتی متقارن را پنهان می‌کند.
   7. 07 برهان با بررسی حالت‌ها و برهان خلفمی‌توانم برهان با بررسی حالت‌ها و برهان خلف را بخوانم، بگویم هرکدام چه فرض می‌کند و به چه باید برسد و وارسی کنم که حالت‌ها همه‌چیز را می‌پوشانند.
   8. 08 استقرا به‌عنوان الگوی متنمی‌توانم در برهان استقرا پایه، فرض استقرا، گام استقرا و نتیجه را پیدا کنم و بگویم هرکدام چه ادعا می‌کند و چه ادعا نمی‌کند.
   9. 09 نشانه‌های چندمعنایی: $|\cdot |$، ${}^{\prime }$، $\sim$، $\subset$، $\Delta$، کلاه و خط بالا، $e$، $i$می‌توانم بگویم نشانه‌ای چندمعنایی در یک متن چه معنایی دارد، با نگاه به شیء کنار آن و به تعریف‌ها، و هر نشانه را با نخستین معنایی که آموخته‌ام نمی‌خوانم.
   10. 10 تضاد قراردادها: یک ایده در دو رشته و دو کشورمی‌توانم تشخیص بدهم که دو متن یک ایده را به شکل‌های مختلف نوشته‌اند (بازه، $\mathbb{N}$، log، ممیز اعشار، $i$ و $j$)، بگویم هیچ‌کدام غلط نیست و بفهمم متنی از کدام قرارداد پیروی می‌کند.
   11. 11 نمادگذاری جبر خطیمی‌توانم $A^T$، $A^{-\mathrm{۱}}$، $\Vert x\Vert$ و $⟨u,v⟩$ را بخوانم و بگویم و می‌دانم هر کدام چه نوع چیزی را نام می‌برند: ماتریس یا عدد.
   12. 12 نمادگذاری احتمال در سطح B2می‌توانم $P(X\le x)$، $X\sim N(\mu ,{\sigma }^{\mathrm{۲}})$، $E$ و $\mathrm{Var}$ را بخوانم و بگویم و می‌دانم کدام حرف‌ها تصادفی‌اند و کدام ثابت.
   13. 13 نماد مجانبی: O، o، Θ، ∼می‌توانم $O$، $o$، $\Theta$ و $\sim$ را در گزاره‌های مربوط به $n$ بزرگ بخوانم و بگویم و می‌دانم هرکدام چه ادعایی دارد و چه ادعایی ندارد.
   14. 14 نمادگذاری حساب پیمانه‌ای و نظریهٔ اعدادمی‌توانم $n\mid a$ و $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$ و $a\mathrm{mod}n$ را بخوانم و بگویم و می‌دانم کدام گزاره‌اند و کدام عدد.
   15. 15 زنجیره‌های برابری در یک استنتاج: در هر گام چه عوض شدمی‌توانم یک استنتاج را خط به خط بخوانم، بگویم در هر گام چه عوض شد و چه همان ماند، و بگویم کل زنجیره چه ادعایی دارد.
   16. 16 خواندن واژه‌های پیرامون فرمولمی‌توانم واژه‌هایی را که فرمول‌ها را به هم وصل می‌کنند («چون»، «در نتیجه»، «که در آن»، «مثلاً»، «یعنی»، «به‌ویژه»، «واضح است») بخوانم، بگویم هر کدام چه چیزی را مجاز می‌کند و با آن‌ها یک گام توجیه‌شدهٔ کوتاه بنویسم.
   17. 17 خواندن بخش روش‌های یک مقالهٔ علوم کاربردیمی‌توانم فرمول‌ها و واژه‌های یک بند کوتاه روش‌ها را بخوانم و بگویم چه چیزی بررسی شده، کدام حرف‌ها پارامتر یا برآوردند، چه چیزی فرض شده و چه چیزی مقایسه می‌شود.
   18. 18 نوشتن گزارهٔ قضیه و نقیض آنمی‌توانم گزارهٔ یک قضیه را با حرف‌ها، فرض و حکم بنویسم و نقیض گزاره‌ای را که سور یا «اگر … آنگاه» دارد بنویسم.
   19. 19 میانجی‌گری: فرمول و زبان ساده، در هر دو جهتمی‌توانم فرمول را بدون تغییر ادعایش با زبان ساده بگویم و جملهٔ ساده را فرمول کنم، و بازگویی‌ای را که چیزی کم یا زیاد می‌کند تشخیص دهم.
   20. 20 خواندنی: پنج متن بلندتر در سطح B2می‌توانم متن بلندتری را که واژه و فرمول را با هم دارد بخوانم — استنتاج، برهان استقرایی یا با حالت‌ها، تعریف حد، بند روش‌ها — و بگویم چه ادعا می‌کند، چه فرض می‌کند و هر سطر از چه استفاده می‌کند.

5. C1 تعریف محلی، ابهام، مقاله‌های بیرون از رشتهٔ تو، نوشتن یادداشت.

   1. 01 مهارت جدول نمادهامی‌توانم نشانهٔ ناآشنا را از روی تعریف محلی‌اش بخوانم، آن را با معنا و محدوده‌اش در جدول نمادها بنویسم و ببینم کی همان حرف معنایش را عوض می‌کند.
   2. 02 ابهام و محدودهمی‌توانم ببینم کی یک نماد یا جمله دو خوانش دارد، هر دو را بنویسم، از روی متن تصمیم بگیرم و قراردادی را که به کار می‌برم بگویم.
   3. 03 جمله‌های معرفی نمادمی‌توانم «فرض کنید …»، «ثابت بگیرید …»، «می‌نویسیم …» و «… را با … نشان می‌دهیم» را بخوانم، بگویم کدام نام تازه است، حرف برای چه به کار می‌رود و اینکه این جمله‌ها ادعایی نمی‌آورند.
   4. 04 خواندن چکیده، بخش نمادگذاری و قضیهٔ اصلیمی‌توانم چکیده، بخش نمادگذاری و قضیهٔ اصلی یک مقالهٔ کوتاه را بخوانم و بگویم چه ادعا شده، هر نشانه چه معنایی دارد و چه چیزی ادعا نشده است.
   5. 05 خلاصه و نقد یک برهانمی‌توانم بگویم برهان از چه شروع می‌شود، ایدهٔ اصلی‌اش چیست و به کجا می‌رسد، بگویم هر سطر بر چه تکیه دارد و گامی را که توجیه نشده یا فرضی را که به کار نرفته نام ببرم.
   6. 06 نوشتن یادداشتی خودبسندهمی‌توانم یادداشتی کوتاه بنویسم و بررسی کنم که تعریف‌ها و ادعا و طرح برهانش فقط از واژه‌ها و حرف‌هایی استفاده کند که خودش معرفی کرده است.
   7. 07 ترجمه میان قراردادهامی‌توانم گزاره‌ای را از قراردادهای یک کتاب به قراردادهای کتاب دیگر (بازه، $\mathbb{N}$، علامت اعشار، لگاریتم، $\subset$) ببرم چنان که معنایش بماند و بگویم چه چیزی را عوض کرده‌ام و چرا.
   8. 08 بازنویسی نمادین یک ادعای نثریمی‌توانم یک ادعای نثری را با مشخص کردن دامنه و سورها و ترتیب آن‌ها به زبان نمادها بنویسم و نتیجه را دوباره با کلمه بگویم تا مطمئن شوم همان ادعاست.
   9. 09 تشخیص جملهٔ دارای دامنهٔ نادرست یا مبهممی‌توانم جمله‌ای را پیدا کنم که نقیض، سور، «و»/«یا»، نشانهٔ مجموع یا ضمیر آن بیشتر یا کمتر از حد لازم اثر می‌کند، خوانش‌هایش را بنویسم و بگویم کدام را به‌کار می‌برم.
   10. 10 نشانه‌های دوره‌های دیگرمی‌توانم با کمک کلید و تاریخ متن، قطعه‌ای را که با نمادگذاری قدیمی‌تر نوشته شده بخوانم، بگویم چه ادعایی دارد و آن را به نمادگذاری امروزی درآورم.
   11. 11 خواندن مقاله‌ای بیرون از رشتهٔ خود (با راهنما)می‌توانم قطعه‌ای کوتاه از رشته‌ای را که نمی‌شناسم بخوانم: جایی را که نشانه‌ها معرفی شده‌اند بیابم، آنچه تعریف شده، استاندارد یا باید جست‌وجو شود را دسته‌بندی کنم و بگویم چه ادعا شده است.
   12. 12 پروژهٔ پایانی: خواندن، خلاصه کردن، صوری‌نویسی، نقدمی‌توانم متنی ریاضی و کوتاه را بخوانم، دقیقاً خلاصه کنم چه ادعا می‌کند، ادعایی نثری را با نشانه‌ها بنویسم و برهان یا جمله‌ای را از نظر دامنه و ابهام نقد کنم.

6. C2 برهان‌های بلند و پیچیده در هر شاخه: ساختار، شکاف‌ها و کار هر لم.

   1. 01 ساختار یک برهان بلندمی‌توانم بلوک‌های یک برهان بلند (لم، ادعا، یادداشت، نتیجه) را دسته‌بندی کنم، نقشهٔ وابستگی آن را با کلمه بکشم و بگویم اگر بخشی از کار بیفتد چه چیزی برهانش را از دست می‌دهد.
   2. 02 گام‌های پنهان و آنچه مجاز می‌کنندمی‌توانم گام‌هایی را که برهان پشت «واضح است» و «به‌سادگی دیده می‌شود» پنهان می‌کند پیدا کنم، بگویم هر واژه چه وعده‌ای می‌دهد و گام پنهان را با فرض‌ها بسنجم، به جای اینکه بی‌دلیل بپذیرم یا رد کنم.
   3. 03 کاهش‌ها: بدون کاستن از کلیت، کافی است، چگالیمی‌توانم بگویم یک کاهش چه چیزی را جایگزین می‌کند و چه چیزی باید آن را مجاز کند: تقارن برای «بدون کاستن از کلیت»، یک استلزام برای «کافی است» و پیوستگی برای استدلال چگالی.
   4. 04 وجود: سازنده و غیرسازندهمی‌توانم تشخیص دهم برهانِ «وجود دارد» شیء را نام می‌برد یا فقط وجود آن را نشان می‌دهد و واژه‌های انتخاب، لم زورن، فشردگی و لانهٔ کبوتر را همچون گام‌هایی با اجازه و حدی معین بخوانم.
   5. 05 برهان‌های تحلیلی بلند: ترتیب انتخابمی‌توانم برهان بلند $\epsilon$–$\delta$ یا $\epsilon$–$N$ را بخوانم و بگویم کدام ثابت‌ها به چه ترتیبی انتخاب می‌شوند، هر کدام به چه بستگی دارد و «یکنواخت» چه چیزی را عوض می‌کند.
   6. 06 استقرا و خویشاوندانشمی‌توانم برهانی را که با استقرای قوی یا ساختاری، کوچک‌ترین مثال نقض یا نزول نامتناهی نوشته شده بخوانم و بگویم چه فرض می‌شود، چند حالت باید بررسی شود و چرا تمام می‌شود.
   7. 07 برهان‌های جبریمی‌توانم برهان جبری‌ای را که خارج‌قسمت‌ها، قضیهٔ یکریختی و نمودارهای تعویض‌پذیر دارد بخوانم، بلند بگویم هر پیکان و معادله چه ادعایی دارد و بگویم هر بررسی چرا لازم است.
   8. 08 استدلال‌های شمارشی و احتمالاتیمی‌توانم استدلال شمارش دوگانه، امید ریاضی، کران اجتماع یا جفت‌سازی را بخوانم و بگویم چه چیزی شمرده یا میانگین‌گیری می‌شود، به چه واقعیت‌هایی نیاز دارد و چه چیزی را ثابت می‌کند و چه چیزی را نه.
   9. 09 زبان انتزاعی: «کانونی»، «طبیعی»، «تا حد یکریختی»، «خوش‌تعریف»می‌توانم بگویم هر یک از این چهار واژه به خواننده چه قولی می‌دهد، چه قولی نمی‌دهد و چه وارسی یا چه قاعدهٔ بی‌انتخابی پشت آن است.
   10. 10 برهان‌های بیرون از شاخهٔ تو: دنبال کردن تعریف‌ها و وابستگی‌هامی‌توانم برهانی را در شاخه‌ای که نمی‌شناسم بخوانم: هر نماد را تا جای تعریفش، هر «طبق لم n» را تا نتیجه‌ای که به آن اشاره دارد و هر نتیجه را تا آنچه بر آن تکیه دارد دنبال کنم.
   11. 11 نقد: شکاف، فرض استفاده‌نشده، گام دوری، خطای دامنهمی‌توانم برهان را مثل یک منتقد بخوانم: بگویم ایراد گام از چه نوع است (توجیه ناقص، فرض استفاده‌نشده، دور، دامنه)، کجاست و برهانی که ایراد دارد چه چیزی را نشان می‌دهد و چه چیزی را نه.
   12. 12 پایان‌نامهٔ خواندن: برهانی بلند را بخوان، نقشه‌اش را بکش، خلاصه‌اش کن و بگو هر لم برای چیستمی‌توانم برهانی بلند را در حوزه‌ای که واژه‌هایش را می‌دانم بخوانم، وابستگی بخش‌هایش را نقشه کنم، بگویم هر لم برای چه است و کدام گام از آن استفاده می‌کند، و آن را در چند جمله خلاصه کنم.