ریاضی را حرف بزن · دانشگاه

کوتاه‌تر، نه مبهم‌تر

بازنویسی یک پاراگراف در نماد می‌تواند چیزی را از دست ندهد، یا هر آنچه مهم بود را از دست بدهد. یک گزارهٔ فشردهٔ خوب فرض‌ها، دامنه و شرط‌ها را نگه می‌دارد و سورها را به ترتیب درست می‌گذارد.

پیش‌نویس: نوشتهٔ یک دستیار هوش مصنوعی؛ هنوز معلمی آن را بررسی نکرده است.

الفبا

هر نماد را همان‌طور که زیرش نوشته شده بلند بخوان.

$\forall ε > ۰$ بخوان: برای هر اپسیلون مثبتیعنی: شرط «بزرگ‌تر از صفر» جزء سور است. اگر حذفش کنی ε می‌تواند صفر یا منفی باشد و جمله عوض می‌شود.
$\exists δ > ۰$ بخوان: دلتای مثبتی هستیعنی: وجود همراه با شرطش. δ بعد از ε انتخاب می‌شود و می‌تواند هر قدر لازم است کوچک باشد، ولی هرگز صفر نیست.
$\forall x \exists y$ بخوان: برای هر x یک y هستیعنی: ترتیب سورها جزئی از معناست. اگر جابه‌جا شوند، همین حرف‌ها چیز بسیار قوی‌تری می‌گویند: یک y برای همهٔ x ها.
$H \Rightarrow C$ بخوان: اگر H آن‌گاه Cیعنی: فرض و حکم. یک گزارهٔ فشرده می‌تواند عبارت را کوتاه کند ولی باید هر فرض را نگه دارد: حذف یک فرض ادعا را نادرست یا متفاوت می‌کند.
$\exists! x$ بخوان: دقیقاً یک x هستیعنی: وجود و یکتایی با هم. «دقیقاً یک» از «دست‌کم یک» قوی‌تر است و حذف این کلمه راهی کلاسیک برای گفتن بیشتر یا کمتر از منظور است.
$A \land B$ بخوان: A و Bیعنی: هر دو شرط با هم. هر شرط اضافه ادعا را محدودتر می‌کند؛ بدون ذکر، دو شرط را در هم ادغام نکن و هیچ‌کدام را حذف نکن.
$\neg \forall x P (x)$ بخوان: درست نیست که برای هر x ، P(x)یعنی: نقیض یک گزارهٔ کامل. نقیض را از میان سورها عبور بده: هر ∀ به ∃ تبدیل می‌شود، هر ∃ به ∀، و یک استلزام به «و … برقرار نیست».
$δ = δ (ε, a)$ بخوان: دلتا به ε و a بستگی داردیعنی: نشان می‌دهد کمیت انتخاب‌شده به چه چیزهایی می‌تواند بستگی داشته باشد. هر چه در پرانتز است اجازه دارد δ را تغییر دهد؛ هیچ چیز دیگری اجازه ندارد.

داستان: یک پاراگراف، کوتاه‌شده بی‌هیچ ضرر

زیرنویس:

روی هر سطر بزن تا کلمه‌هایش را ببینی.

$x \approx a \Rightarrow f (x) \approx f (a)$ پاراگراف: «وقتی x نزدیک a است، f(x) نزدیک f(a) است». کوتاه است، ولی چقدر نزدیک؟
$∣ x - a ∣ < δ \Rightarrow ∣ f (x) - f (a)∣ < ε$ بگو چقدر نزدیک: ورودی‌ها در فاصلهٔ δ، خروجی‌ها در فاصلهٔ ε.
$\exists δ > ۰ : ∣ x - a ∣ < δ \Rightarrow ∣ f (x) - f (a)∣ < ε$ باید δ ای وجود داشته باشد، و مثبت باشد. صفر هیچ نمی‌گوید.
$\forall ε > ۰ \exists δ > ۰ : ∣ x - a ∣ < δ \Rightarrow ∣ f (x) - f (a)∣ < ε$ ε هر قدر کوچک خواسته شود: اول ε ، بعد δ. ترتیب قلب ماجراست.
$δ = δ (ε, a)$ δ می‌تواند به ε و به نقطهٔ a بستگی داشته باشد، چون بعد از آن‌ها انتخاب می‌شود.
$\forall x \in D$ و x روی دامنهٔ D تابع f می‌گردد. اگر حذفش کنی، x می‌تواند عددی باشد که f در آن تعریف نشده.
$\forall ε > ۰ \exists δ > ۰ \forall x \in D : ∣ x - a ∣ < δ \Rightarrow ∣ f (x) - f (a)∣ < ε$ کل پاراگراف در یک خط، بدون هیچ ضرری: f در a پیوسته است.
$\exists ε > ۰ \forall δ > ۰ \exists x \in D : ∣ x - a ∣ < δ \land ∣ f (x) - f (a)∣ \geq ε$ نقیضش: هر سور برمی‌گردد و پیکان به «و خروجی‌ها هنوز دورند» تبدیل می‌شود.
$f (x) = ۲ x \Rightarrow δ = δ (ε) = ε /۲$ با یک مورد بیازمای: برای f(x) = ۲x ، δ برابر ε بر ۲ کار می‌کند.
$\exists! L : x \to ۱ lim f (x) = L, L = ۲$ و حد ۲x در ۱ وجود دارد، یکتاست و برابر ۲ است.

این داستان با کلمه‌ها ۶۶۶ حرف است؛ با نمادها ۱۹۹.

بخوانش

چه می‌گوید؟

$\forall ε > ۰ \exists δ > ۰ : ∣ x - a ∣ < δ \Rightarrow ∣ f (x) - f (a)∣ < ε$

$\exists δ > ۰ \forall ε > ۰ : ∣ x - a ∣ < δ \Rightarrow ∣ f (x) - f (a)∣ < ε$

$\forall n \in N : n \geq ۱ \Rightarrow n^{۲} \geq n$

$\exists! x \in R : ۲ x + ۱ = ۷$

$A \land B \Rightarrow C$

$\neg \forall x P (x) \Leftrightarrow \exists x \neg P (x)$

$δ = δ (ε, a)$

$\forall ε > ۰ \exists N \forall n > N : ∣ a_{n} - L ∣ < ε$

$\exists C > ۰ \forall n : ∣ a_{n} ∣ \leq C$

$\forall n \exists C > ۰ : ∣ a_{n} ∣ \leq C$

$۰ < x < ۱ \Rightarrow x^{۲} < x$

$\forall a, b > ۰ : \frac{a + b}{۲} \geq ab$

$\neg (\forall ε > ۰ \exists δ > ۰ : P) \Leftrightarrow \exists ε > ۰ \forall δ > ۰ : \neg P$

$x^{۲} = ۴ \Leftrightarrow x = ۲ \lor x = - ۲$

بنویسش

کدام نمادنویسی همین را می‌گوید؟

ε مثبت هر قدر کوچک باشد، δ مثبتی هست.

یک δ مثبت برای هر ε مثبت کار می‌کند.

اگر x دست‌کم ۱ باشد، آن‌گاه x² دست‌کم x است.

دقیقاً یک x حقیقی هست که x³ برابر ۸ است.

اگر هم a و هم b مثبت باشند، ab مثبت است.

این‌طور نیست که برای هر x حقیقی، x² از ۱۰ کمتر باشد.

δ به ε و به نقطهٔ a بستگی دارد.

یک کران C هست که برای همهٔ جمله‌های a n برقرار است.

برای هر ε مثبت، از جایی مثل N به بعد هر جمله در فاصلهٔ ε از L است.

اگر x اکیداً بین ۰ و ۱ باشد، آن‌گاه x² از x کوچک‌تر است.

برای نقض آن: یک ε بر هر δ غلبه می‌کند.

برای همهٔ a و b مثبت، میانگین دست‌کم جذر حاصل‌ضرب است.

x² برابر ۴ است دقیقاً وقتی x برابر ۲ یا −۲ باشد.

بسازش

کاشی‌ها را به ترتیب بزن. یکی از کاشی‌ها اضافه است.

برای هر ε مثبت، δ مثبتی هست.

اگر a و b مثبت باشند، حاصل‌ضربشان مثبت است.

دقیقاً یک x هست که x + ۲ برابر ۵ است.

این‌طور نیست که هر x در P صدق کند.

δ به ε و a بستگی دارد.

یک کران C برای همهٔ جمله‌ها هست.

x² برابر ۴ است دقیقاً وقتی x برابر ۲ یا −۲ باشد.

چالش‌ها

معماهای خلاقانه‌ای که همهٔ نمادهای این فصل را به کار می‌برند. عجله نکن؛ ساعتی در کار نیست.

1 کوچک‌تر امن‌تر است

برای f(x) = ۲x ، δ برای ε کار می‌کند وقتی δ حداکثر ε بر ۲ باشد. سطرها ε ها هستند و ستون‌ها δ ها. هر خط را داوری کن.

	$δ_{۲} = ۰٫۱$	$δ_{۳} = ۰٫۰۵$
$ε_{۱} = ۰٫۴$	✓	✓
$ε_{۲} = ۰٫۲$	✓	✓
$ε_{۳} = ۰٫۱$		✓

تیک W(ε، δ) یعنی: این δ برای این ε کار می‌کند.

$\forall ε \exists δ : W (ε, δ)$
$\exists δ \forall ε : W (ε, δ)$
$W (ε_{۳}, δ_{۲})$
$\forall ε : W (ε, δ_{۲}) \Rightarrow W (ε, δ_{۳})$
$\exists ε \forall δ : W (ε, δ)$

2 کرانی که کم است

جمله‌ها a_n = n هستند. B(n، C) یعنی: جملهٔ n حداکثر کران C است. هر خط را داوری کن؛ به شرط n ≤ ۳ توجه کن.

	$۱$	$۲$	$۳$
$۱$	✓	✓	✓
$۲$		✓	✓
$۳$			✓
$۴$

تیک یعنی جملهٔ سطر حداکثر کران ستون است.

$\forall n \leq ۳ \exists C : B (n, C)$
$\exists C \forall n \leq ۳ : B (n, C)$
$\forall n \exists C : B (n, C)$
$\exists C \forall n : B (n, C)$
$\forall C \exists n : B (n, C)$

3 دقیقاً یکی

چهار شیء و سه ویژگی. هر خط را داوری کن؛ «دقیقاً یک» سخت‌گیرانه‌تر از «دست‌کم یک» است.

	$P_{۱}$	$P_{۲}$	$P_{۳}$
$x_{۱}$		✓
$x_{۲}$	✓		✓
$x_{۳}$		✓
$x_{۴}$

تیک یعنی شیء سطر ویژگی ستون را دارد.

$\exists! x : P_{۱} (x)$
$\exists! x : P_{۲} (x)$
$\exists x : P_{۲} (x)$
$\exists! x : P_{۱} (x) \land P_{۳} (x)$
$\neg \forall x : P_{۱} (x) \lor P_{۲} (x) \lor P_{۳} (x)$

کوتاه‌تر، نه مبهم‌تر

الفبا

داستان: یک پاراگراف، کوتاه‌شده بی‌هیچ ضرر

بخوانش

بنویسش

بسازش

چالش‌ها

1 کوچک‌تر امن‌تر است

2 کرانی که کم است

3 دقیقاً یکی

4 چهار ترتیب

5 وقتی یک شرط حذف می‌شود

6 چهار نقیض

7 چه چیزی به چه چیزی بستگی دارد

8 هر ε ، یک δ

9 اگر، نه و

10 دقیقاً یکی

11 نقیض را عبور بده

12 بزرگ‌ترین دلتا

13 نقیضش کن

14 تنها یکی

15 سه شرط با هم

16 پیکان را بشکن

17 پاراگراف، کوتاه‌شده

18 یک کران برای همه

19 یک جواب

20 کوتاه کن، همه‌چیز را نگه دار

21 دلتایی که دنبال اپسیلون می‌رود

22 نه همهٔ عددها

داستان خودت را بگو

دانلود برای استفاده بدون اینترنت