ریاضی را حرف بزن · سال‌های آخر مدرسه

منطق: هر در یک کلید دارد

ریاضی دربارهٔ «و»، «یا»، «اگر»، «هر» و «بعضی» دقیق است. چند علامت هر کدام را دقیق می‌کنند تا یک جمله فقط درست باشد یا نادرست و چیزی میان این دو نباشد.

پیش‌نویس: نوشتهٔ یک دستیار هوش مصنوعی؛ هنوز معلمی آن را بررسی نکرده است.

الفبا

هر نماد را همان‌طور که زیرش نوشته شده بلند بخوان.

$\neg P$ بخوان: نقیض P؛ یعنی P نیستیعنی: درست را نادرست و نادرست را درست می‌کند
$P \land Q$ بخوان: P و Qیعنی: فقط وقتی درست است که هر دو درست باشند
$P \lor Q$ بخوان: P یا Qیعنی: وقتی درست است که دست‌کم یکی درست باشد؛ هر دو هم می‌شود
$P \Rightarrow Q$ بخوان: P نتیجه می‌دهد Q؛ اگر P آنگاه Qیعنی: هرگاه P درست باشد Q هم درست است؛ اگر P نادرست باشد چیزی نمی‌گوید
$P \Leftrightarrow Q$ بخوان: P اگر و تنها اگر Qیعنی: P و Q هر دو درست‌اند یا هر دو نادرست
$\forall x P (x)$ بخوان: برای هر x، P از xیعنی: P از x به ازای همهٔ x‌ها درست است
$\exists x P (x) \exists! x P (x)$ بخوان: x‌ای وجود دارد که P از x؛ دقیقاً یک x وجود دارد که P از xیعنی: دست‌کم یک x؛ علامت تعجب آن را «دقیقاً یکی» می‌کند
$∴ Q$ بخوان: بنابراین Qیعنی: Q از آنچه پیش‌تر گفته شد نتیجه می‌شود

داستان: هر در یک کلید دارد

زیرنویس:

روی هر سطر بزن تا کلمه‌هایش را ببینی.

$\forall d K (d)$ اطلاعیه‌ای می‌گوید: هر در یک کلید دارد.
$K (۱) \land K (۲) \land K (۳)$ درهای ۱ و ۲ و ۳ هر کدام کلید دارند.
$\neg K (۴)$ در ۴ کلید ندارد.
$∴ \neg\forall d K (d)$ پس اطلاعیه درست نیست.
$\exists d \neg K (d)$ دری هست که کلید ندارد.
$\exists! d \neg K (d)$ دقیقاً یک چنین در هست: در ۴.
$L (۱) \land L (۲) \land \neg L (۳) \land \neg L (۴)$ درهای ۱ و ۲ قفل‌اند؛ درهای ۳ و ۴ باز ایستاده‌اند.
$L (۱) \lor K (۴)$ در ۱ قفل است یا در ۴ کلید دارد. بخش اول درست است، پس جمله درست است.
$\neg (L (۳) \Leftrightarrow K (۳))$ در ۳ کلید دارد ولی قفل نیست؛ پس «قفل بودن» و «کلید داشتن» همیشه با هم نمی‌آیند.
$\forall d (L (d) \Rightarrow K (d))$ اطلاعیهٔ تازه: هر در قفل‌شده کلید دارد. درست است! در ۴ کلید ندارد، ولی قفل نیست.

این داستان با کلمه‌ها ۴۴۵ حرف است؛ با نمادها ۱۰۲.

بخوانش

چه می‌گوید؟

$\neg\forall d K (d)$

$P \Rightarrow Q$

$\exists! x x + ۲ = ۵$

$\neg (P \land Q)$

$\neg P \lor Q$

$\forall x \exists y y > x$

$\exists y \forall x y > x$

$P \Leftrightarrow \neg Q$

$\neg\exists x P (x)$

$(P \Rightarrow Q) \land \neg Q$

$\exists! x (x > ۰ \land x^{۲} = ۴)$

$\neg (P \lor Q)$

بنویسش

کدام نمادنویسی همین را می‌گوید؟

در بعضی درها کلید نیست.

برای هر عدد، عددی بزرگ‌تر از آن هست.

P درست است دقیقاً وقتی Q درست باشد.

اگر باران بیاید، خیابان خیس می‌شود. (R: باران می‌آید؛ W: خیابان خیس است.)

دقیقاً یک x هست که x به‌اضافهٔ ۱ برابر ۳ است.

هیچ دری باز نیست. (O(d): در d باز است.)

P نادرست است و Q نادرست است.

یک کلید هست که همهٔ درها را باز می‌کند. (O(k, d): کلید k در d را باز می‌کند.)

هر در با کلیدی باز می‌شود، شاید هر بار کلیدی دیگر. (O(k, d): کلید k در d را باز می‌کند.)

P یا Q درست است و P نادرست است؛ بنابراین Q.

یک عدد زوج است اگر و تنها اگر فرد نباشد. (E(n): n زوج است؛ O(n): n فرد است.)

این‌طور نیست که هر x ویژگی B را داشته باشد.

بسازش

کاشی‌ها را به ترتیب بزن. یکی از کاشی‌ها اضافه است.

P و Q، بنابراین P.

برای هر x دقیقاً یک y هست که y برابر دو برابر x است.

اگر P آنگاه Q؛ P؛ بنابراین Q.

x‌ای وجود ندارد که P از x برقرار باشد.

برای هر x، اگر x زوج باشد مربع x زوج است. (E: زوج است.)

P یا Q، و نه هر دو.

چالش‌ها

معماهای خلاقانه‌ای که همهٔ نمادهای این فصل را به کار می‌برند. عجله نکن؛ ساعتی در کار نیست.

1 راهروی درها

سه در، سه کلید. هر جمله را در این راهرو داوری کن: درست یا نادرست؟

	$k_{۱}$	$k_{۲}$	$k_{۳}$
$d_{۱}$	✓
$d_{۲}$	✓	✓
$d_{۳}$			✓

تیک یعنی O(k, d): کلید k در d را باز می‌کند.

$\forall d \exists k : O (k, d)$
$\exists k \forall d : O (k, d)$
$\forall k \exists d : O (k, d)$
$\exists! k : O (k, d_{۲})$
$O (k_{۱}, d_{۳}) \lor O (k_{۳}, d_{۳})$
$\neg\exists k : O (k, d_{۱}) \land O (k, d_{۳})$

2 چه کسی چه کسی را دوست دارد

L(x, y) یعنی x از y خوشش می‌آید. هر سطر را به معنایش وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

3 هر پرنده‌ای پرواز نمی‌کند

این باید بگوید: «این‌که هر پرنده‌ای پرواز می‌کند نادرست است» همان «پرنده‌ای هست که پرواز نمی‌کند» است. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

4 یکی و فقط یکی

دقیقاً یک عدد طبیعیِ مثبت در این جمله صدق می‌کند. کدام؟

$\exists! n \in N : n > ۰ \land n + n = n \cdot n$

5 برعکسش را بگو

کدام جمله، بدون ¬ در ابتدا، همین نقیض را می‌گوید؟

$\neg (\forall x \exists y : x < y)$

6 کارآگاه

R: باران آمده. W: خیابان خیس است. کارآگاه هر دو سطر را می‌داند. چه نتیجه‌ای می‌گیرد؟

$R \Rightarrow W, \neg W ∴ ?$

7 مَثَل را بنویس

هر مسئله‌ای راه‌حلی دارد، اما هیچ راه‌حلی به درد همهٔ مسئله‌ها نمی‌خورد. آن را با نماد بنویس؛ S(s, p) یعنی «s مسئلهٔ p را حل می‌کند». بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

8 قضیهٔ خودت

یک عدد صحیح زوج است اگر و تنها اگر مربعش زوج باشد. با نماد بنویس؛ از ۲ ∣ n برای «۲ عاد می‌کند n» استفاده کن.

نوشتهٔ تو

9 کلیدهای برق و چراغ‌ها

سه کلید برق، سه چراغ. هر جمله را در این اتاق داوری کن: درست یا نادرست؟

	$l_{۱}$	$l_{۲}$	$l_{۳}$
$s_{۱}$	✓	✓
$s_{۲}$		✓
$s_{۳}$		✓	✓

تیک یعنی C(s, l): کلید s چراغ l را روشن و خاموش می‌کند.

$\exists l \forall s : C (s, l)$
$\exists s \forall l : C (s, l)$
$\forall l \exists s : C (s, l)$
$\exists! s : C (s, l_{۱})$
$C (s_{۲}, l_{۱}) \lor C (s_{۲}, l_{۳})$
$\forall s (C (s, l_{۲}) \Rightarrow C (s, l_{۱}))$

10 شب شکستن گلدان

سه مهمان، سه اتاق، یک گلدان شکسته. یادداشت‌های کارآگاه می‌گوید هر کس به کدام اتاق رفته است. هر سطر را داوری کن: درست یا نادرست؟

	$r_{۱}$	$r_{۲}$	$r_{۳}$
$g_{۱}$	✓
$g_{۲}$	✓	✓
$g_{۳}$			✓

تیک یعنی I(g, r): مهمان g در اتاق r بوده است.

$\forall g (I (g, r_{۲}) \Rightarrow I (g, r_{۱}))$
$\forall g (I (g, r_{۱}) \Leftrightarrow I (g, r_{۲}))$
$\exists! g : I (g, r_{۳})$
$\neg\exists g (I (g, r_{۱}) \land I (g, r_{۳}))$
$\exists g \forall r : I (g, r)$
$I (g_{۳}, r_{۱}) \lor I (g_{۳}, r_{۲})$

11 نه گفتن

پنج جمله که با «نقیض» شروع می‌شوند. هر کدام را به آنچه واقعاً می‌گوید وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

12 پیکان به کدام سو است؟

چهار پیکان میان P و Q. هر کدام را به معنایش وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

13 دقیقاً یکی

این باید بگوید: دقیقاً یک عدد طبیعی n هست که n + ۳ = ۵. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

14 نه این، نه آن

این باید بگوید: «نقیض (P یا Q)» همان «نقیض P و نقیض Q» است. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

15 قاعده و مورد

هر x که P دارد Q هم دارد، و a ویژگی P را دارد. دربارهٔ a چه نتیجه‌ای می‌گیری؟

$\forall x (P (x) \Rightarrow Q (x)), P (a) ∴ ?$

16 فقط یک‌طرفه

هر عددی که بر ۴ بخش‌پذیر است زوج است، اما هر عدد زوجی بر ۴ بخش‌پذیر نیست. آن را با نماد بنویس؛ از ۲ ∣ n برای «۲ عاد می‌کند n» استفاده کن. بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

داستان خودت را بگو

یک داستان سه‌خطی دربارهٔ قاعده‌ای بنویس که برای یک مورد نادرست از آب درمی‌آید، فقط با علامت‌ها. یک بار «برای هر» یا «وجود دارد» به کار ببر. بعد آن را بلند بخوان.

فقط روی همین دستگاه نگه داشته می‌شود.

منطق: هر در یک کلید دارد

الفبا

داستان: هر در یک کلید دارد

بخوانش

بنویسش

بسازش

چالش‌ها

1 راهروی درها

2 چه کسی چه کسی را دوست دارد

3 هر پرنده‌ای پرواز نمی‌کند

4 یکی و فقط یکی

5 برعکسش را بگو

6 کارآگاه

7 مَثَل را بنویس

8 قضیهٔ خودت

9 کلیدهای برق و چراغ‌ها

10 شب شکستن گلدان

11 نه گفتن

12 پیکان به کدام سو است؟

13 دقیقاً یکی

14 نه این، نه آن

15 قاعده و مورد

16 فقط یک‌طرفه

داستان خودت را بگو

دانلود برای استفاده بدون اینترنت