ریاضی را حرف بزن · سال‌های آخر مدرسه

هرچه نزدیک‌تر: حد

حد می‌گوید چیزی به کجا می‌رود، حتی اگر هرگز نرسد. هفت علامت کمک می‌کنند آن را دقیق بگوییم.

پیش‌نویس: نوشتهٔ یک دستیار هوش مصنوعی؛ هنوز معلمی آن را بررسی نکرده است.

الفبا

هر نماد را همان‌طور که زیرش نوشته شده بلند بخوان.

$a_{n}$ بخوان: a اندیس nیعنی: جملهٔ n‌ام دنباله‌ای که تا بی‌نهایت ادامه دارد
$a_{n} \to L$ بخوان: a n میل می‌کند به Lیعنی: با بزرگ شدن n، جمله‌ها به L نزدیک و نزدیک‌تر می‌شوند
$lim_{n \to \infty} a_{n} = L$ بخوان: حد a n وقتی n به بی‌نهایت میل می‌کند، برابر است با Lیعنی: عددی که دنباله به سوی آن می‌رود؛ لازم نیست هرگز به آن برسد
$\infty$ بخوان: بی‌نهایتیعنی: عدد نیست؛ نشانهٔ «بی‌پایان» است، مثل n که همیشه بزرگ‌تر می‌شود
$ε$ بخوان: اپسیلونیعنی: فاصله‌ای کوچک که خودمان انتخاب می‌کنیم، هرقدر که بخواهیم کوچک
$δ$ بخوان: دلتایعنی: ورودی x چقدر باید به a نزدیک بماند
$lim_{x \to a} f (x) = L$ بخوان: حد f(x) وقتی x به a میل می‌کند، برابر است با Lیعنی: وقتی x به a نزدیک می‌شود، f(x) به L نزدیک می‌شود، هرچه در خود a رخ دهد

داستان: نیمهٔ راهِ دیوار

زیرنویس:

روی هر سطر بزن تا کلمه‌هایش را ببینی.

$a_{۱} = \frac{۱}{۲}$ دیوار ۱ متر دورتر است. هر قدم نیمی از فاصلهٔ باقی‌مانده را می‌رود. بعد از یک قدم، نیم متر راه رفته‌ای.
$a_{۲} = \frac{۳}{۴}$ بعد از دو قدم: سه‌چهارم متر.
$a_{n} = ۱ - \frac{۱}{۲ ^{n}}$ بعد از n قدم، فاصلهٔ باقی‌مانده n بار نصف شده است. پس راه رفته برابر است با ۱ منهای آن فاصله.
$a_{n} < ۱$ n هرچه باشد، هنوز به دیوار نرسیده‌ای.
$a_{n} \to ۱$ با این حال هرچه قدم‌ها بیشتر شوند، a n به ۱ نزدیک‌تر می‌شود.
$n \to \infty lim a_{n} = ۱$ به زبان حد: وقتی n به بی‌نهایت میل می‌کند، a n به ۱ میل می‌کند. بی‌نهایت یعنی فقط «بی‌پایان».
$ε = \frac{۱}{۱۰۰۰}$ یک فاصلهٔ کوچک انتخاب کن: اپسیلون برابر یک‌هزارم متر.
$n \geq ۱۰ \Rightarrow ∣ a_{n} - ۱ ∣ < ε$ از قدم دهم به بعد، همیشه از دیوار کمتر از اپسیلون فاصله داری. در قدم دهم فاصله ۱ بر ۱۰۲۴ است.
$x \to ۱ lim (۱ - x) = ۰$ حالا x متر از شروع بایست و به سوی دیوار برو. وقتی x به ۱ میل می‌کند، فاصلهٔ ۱ منهای x به ۰ میل می‌کند.
$δ = ε ∣ x - ۱ ∣ < δ \Rightarrow ∣ ۱ - x ∣ < ε$ برای اینکه فاصله از اپسیلون کمتر بماند، کافی است در فاصلهٔ دلتا از دیوار بمانی؛ دلتا برابر اپسیلون جواب می‌دهد.

این داستان با کلمه‌ها ۷۸۱ حرف است؛ با نمادها ۸۸.

بخوانش

چه می‌گوید؟

$a_{n} \to ۰$

$x \to ۲ lim f (x) = ۵$

$n \to \infty lim \frac{۱}{n} = ۰$

$∣ a_{n} - L ∣ < ε$

$n \to \infty$

$x \to ۳ lim (۲ x + ۱) = ۷$

$∣ x - a ∣ < δ$

$\forall ε > ۰ \exists N \forall n \geq N ∣ a_{n} - L ∣ < ε$

$a_{n} \to \infty$

$x \to a lim f (x) = f (a)$

$∣ f (x) - L ∣ < ε$

$n \to \infty lim \frac{۲ n}{n + ۱} = ۲$

بنویسش

کدام نمادنویسی همین را می‌گوید؟

جمله‌های a n به ۵ نزدیک و نزدیک‌تر می‌شوند.

وقتی n به بی‌نهایت میل می‌کند، ۱ بر n به ۰ میل می‌کند.

فاصلهٔ x تا ۳ کمتر از دلتا است.

حد f(x) وقتی x به ۱ میل می‌کند برابر ۳ است.

a n به بی‌نهایت میل می‌کند.

فاصلهٔ a n تا ۲ کمتر از اپسیلون است.

وقتی n به بی‌نهایت میل می‌کند، ۱ بر ۲ به توان n به ۰ میل می‌کند.

برای هر اپسیلون بزرگ‌تر از ۰، دلتایی بزرگ‌تر از ۰ وجود دارد.

جملهٔ n‌ام برابر n بر n + ۱ است.

وقتی x به ۰ میل می‌کند، مربع x به ۰ میل می‌کند.

اگر x در فاصلهٔ دلتا از ۲ باشد، آنگاه مربع x در فاصلهٔ اپسیلون از ۴ است.

جمله‌های a n به L نزدیک می‌شوند.

بسازش

کاشی‌ها را به ترتیب بزن. یکی از کاشی‌ها اضافه است.

حد a n وقتی n به بی‌نهایت میل می‌کند برابر L است.

اگر x در فاصلهٔ دلتا از a باشد، آنگاه f(x) در فاصلهٔ اپسیلون از L است.

حد ۱ بر n وقتی n به بی‌نهایت میل می‌کند برابر ۰ است.

برای هر اپسیلون بزرگ‌تر از ۰، دلتایی بزرگ‌تر از ۰ وجود دارد.

a n برابر ۱ بر n است که به ۰ میل می‌کند.

اگر n دست‌کم N باشد، آنگاه a n در فاصلهٔ اپسیلون از L است.

چالش‌ها

معماهای خلاقانه‌ای که همهٔ نمادهای این فصل را به کار می‌برند. عجله نکن؛ ساعتی در کار نیست.

1 چقدر نزدیک، نزدیک است؟

پنج جملهٔ a_n = ۱ − ۱/۲ⁿ و چهار خطای مجاز ε. هر جمله را داوری کن: درست یا نادرست؟

	$ε_{۱} = \frac{۱}{۲}$	$ε_{۲} = \frac{۱}{۵}$	$ε_{۳} = \frac{۱}{۱۰}$	$ε_{۴} = \frac{۱}{۲۰}$
$a_{۱}$
$a_{۲}$	✓
$a_{۳}$	✓	✓
$a_{۴}$	✓	✓	✓
$a_{۵}$	✓	✓	✓	✓

تیک یعنی |a_n − ۱| < ε: جمله حداکثر به اندازهٔ ε از ۱ فاصله دارد.

$∣ a_{۳} - ۱ ∣ < ε_{۲}$
$∣ a_{۲} - ۱ ∣ < ε_{۳}$
$∣ a_{۵} - ۱ ∣ < ε_{۴}$
$∣ a_{۱} - ۱ ∣ < ε_{۱}$
$∣ a_{۴} - ۱ ∣ < ε_{۲} \land ∣ a_{۴} - ۱ ∣ < ε_{۳}$
$∣ a_{۳} - ۱ ∣ < ε_{۴}$

2 حرف حد

هر سطر را به معنایش وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

3 جهت اشتباه

این تعریف دقیق حد دنباله است: از یک جمله به بعد، همهٔ جمله‌ها در فاصلهٔ هر ε از L هستند. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

4 چه کسی به چه کسی نزدیک می‌ماند؟

تعریف دقیق حد در یک نقطه: برای هر ε یک δ هست که اگر x در فاصلهٔ δ از a باشد، f(x) در فاصلهٔ ε از L باشد. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

5 تقریباً یک

دنبالهٔ n/(n + ۱) به سمت کدام عدد می‌رود؟

$a_{n} = \frac{n}{n + ۱}, n \to \infty lim a_{n} = ?$

6 حفره در نمودار

در x = ۲ کسر ۰/۰ می‌شود، اما حد فقط اطراف را می‌بیند. حد چیست؟

$x \to ۲ lim \frac{x ^{۲} - ۴}{x - ۲} = ?$

7 هر قدر کوچک بخواهی

دنبالهٔ ۱، ۱/۲، ۱/۳، … هر قدر کسی بخواهد به صفر نزدیک می‌شود. آن را به دو شکل بنویس: با lim و با ε. بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

8 باز هم نیمهٔ راه

هر قدم نصف فاصلهٔ باقی‌مانده را می‌رود، پس بعد از n قدم فاصلهٔ باقی‌مانده a_n = ۱/۲ⁿ است. بنویس فاصله به چه میل می‌کند. بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

9 تا کجا باید جلو بروی؟

دنبالهٔ a_n = ۱/n و هدف ۰. برای خطای مجاز ε، کدام نقطه‌های شروع N جواب می‌دهند؟ هر جمله را داوری کن: درست یا نادرست؟

	$ε = ۱$	$ε = \frac{۱}{۲}$	$ε = \frac{۱}{۱۰}$
$N = ۱$
$N = ۳$	✓	✓
$N = ۱۰$	✓	✓
$N = ۱۰۰$	✓	✓	✓

تیک یعنی: از جملهٔ N به بعد، همهٔ جمله‌ها در فاصلهٔ ε از ۰ هستند، یعنی ۱/n < ε برای هر n ≥ N.

$\forall n \geq ۳ : ∣ a_{n} ∣ < \frac{۱}{۱۰}$
$\forall n \geq ۱۰ : ∣ a_{n} ∣ < \frac{۱}{۱۰}$
$\forall n \geq ۱۰۰ : ∣ a_{n} ∣ < \frac{۱}{۱۰}$
$\exists N \forall n \geq N : ∣ a_{n} ∣ < \frac{۱}{۱۰}$
$\forall n \geq ۱ : ∣ a_{n} ∣ < ۱$
$lim_{n \to \infty} a_{n} = ۰$

10 چهار مسافر

چهار دنباله راه می‌افتند؛ هر کدام به کجا می‌رود؟ هر جمله را داوری کن: درست یا نادرست؟

	$\to ۰$	$\to ۲$	$\to \infty$
$a_{n} = \frac{۱}{n}$	✓
$b_{n} = (- ۱)^{n}$
$c_{n} = n$			✓
$d_{n} = ۲ - \frac{۱}{n}$		✓

تیک یعنی دنبالهٔ آن سطر کاری را می‌کند که ستون می‌گوید: به ۰ میل می‌کند، به ۲ میل می‌کند، یا بی‌پایان بزرگ می‌شود.

$lim_{n \to \infty} d_{n} = ۲$
$b_{n} \to ۰$
$c_{n} \to \infty$
$\exists L : lim_{n \to \infty} b_{n} = L$
$∣ d_{n} - ۲ ∣ = \frac{۱}{n}$
$a_{n} \to ۰ \land d_{n} \to ۰$

11 کجا فرود می‌آیند؟

پنج حد، پنج عدد. هر حد را به مقدارش وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

12 پنج علامت

علامت‌های این فصل، تک و تنها. هر کدام را به کارش وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

13 کمی کمتر از یک

این باید بگوید: جمله‌های ۱ − ۱/n به ۱ میل می‌کنند. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

14 کی به کی جواب می‌دهد

قاعدهٔ اپسیلون و دلتا: برای هر ε یک δ هست که اگر x در فاصلهٔ δ از a باشد، f(x) در فاصلهٔ ε از L است. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

15 اولین جملهٔ مطمئن

از کدام جمله به بعد ۱/n اکیداً کمتر از یک‌صدم است؟ کوچک‌ترین N را پیدا کن که جواب می‌دهد.

$a_{n} = \frac{۱}{n}, ε = \frac{۱}{۱۰۰}, n \geq N \Rightarrow a_{n} < ε N_{m i n} = ?$

16 فنجان خنک‌شونده

فنجان چای به سوی دمای اتاق T خنک می‌شود اما هرگز کاملاً به آن نمی‌رسد: وقتی زمان t بی‌پایان پیش می‌رود، دمای آن θ(t) به T میل می‌کند. با نماد بنویس. بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

داستان خودت را بگو

یک داستان سه‌خطی بنویس دربارهٔ چیزی که به هدفی نزدیک و نزدیک‌تر می‌شود و هرگز نمی‌رسد؛ با a n و یک پیکان. بعد آن را بلند بخوان.

فقط روی همین دستگاه نگه داشته می‌شود.

هرچه نزدیک‌تر: حد

الفبا

داستان: نیمهٔ راهِ دیوار

بخوانش

بنویسش

بسازش

چالش‌ها

1 چقدر نزدیک، نزدیک است؟

2 حرف حد

3 جهت اشتباه

4 چه کسی به چه کسی نزدیک می‌ماند؟

5 تقریباً یک

6 حفره در نمودار

7 هر قدر کوچک بخواهی

8 باز هم نیمهٔ راه

9 تا کجا باید جلو بروی؟

10 چهار مسافر

11 کجا فرود می‌آیند؟

12 پنج علامت

13 کمی کمتر از یک

14 کی به کی جواب می‌دهد

15 اولین جملهٔ مطمئن

16 فنجان خنک‌شونده

داستان خودت را بگو

دانلود برای استفاده بدون اینترنت