Дисперсія випадкової величини, геометричний розподіл і нерівність Чебишова
Обчислюй дисперсію за таблицею розподілу, знаходь дисперсію суми незалежних величин, рахуй ймовірність «до першого успіху» й оцінюй відхилення від середнього за нерівністю Чебишова.
📖 Почніть тут: читайте кроки «Уроку» по порядку (1, 2, 3 …) і відповідайте на кожне запитання. Потім переходьте до «Практики».
- Росія: 10 клас
- Франція: 11 клас
- Португалія: 11 клас
- Італія: 11 клас
Поради для дорослих
Ця тема є розширенням: у шкільній програмі України (профільний рівень, 11 клас) розглядають математичне сподівання та дисперсію, а геометричний розподіл і нерівність Чебишова вивчають у вищій школі. Для звичайного уроку її можна пропустити.
Дисперсія показує, наскільки значення випадкової величини розкидані навколо математичного сподівання: D(X) = M(X²) − (M(X))². Для незалежних величин D(X + Y) = D(X) + D(Y), а сталий множник виноситься в квадраті: D(aX) = a²·D(X). Для числа успіхів у n випробуваннях Бернуллі M(X) = np, D(X) = npq, де q = 1 − p.
Якщо випробування повторюють до першого успіху (геометричний розподіл), то P(X = k) = qk − 1·p. Нерівність Чебишова: P(|X − M(X)| ⩾ ε) ⩽ D(X) : ε². Вона дає оцінку зверху для будь-якого розподілу. Часті помилки: забувають відняти квадрат сподівання, не підносять множник до квадрата, множать ймовірності замість додавання дисперсій.