Площі, об'єми та довжини дуг за допомогою інтегрування
Використай визначений інтеграл, щоб знайти площу під кривою та між двома кривими, об'єм тіла обертання, довжину дуги та площу в полярних координатах.
📖 Почніть тут: читайте кроки «Уроку» по порядку (1, 2, 3 …) і відповідайте на кожне запитання. Потім переходьте до «Практики».
- Україна: 11 клас
- Росія: 11 клас
- Німеччина: 12 клас
- Франція: 12 клас
- Португалія: 12 клас
- Італія: 13 клас
- Іспанія: 12 клас
- Велика Британія: Year 13
- Іран: 12 клас
- Афганістан: 12 клас
- Сирія: 12 клас
- Палестина: 12 клас
Поради для дорослих
В українській програмі площу криволінійної трапеції та обчислення площ за допомогою визначеного інтеграла вивчають у 11 класі (алгебра і початки аналізу, формула Ньютона—Лейбніца), а об'єм тіла обертання — у геометрії 11 класу. Довжини дуг і полярні координати в шкільній програмі немає, але вони є в курсі вищої математики. Площа під графіком y = f(x) від a до b — це визначений інтеграл від f(x)dx в межах від a до b: знайди первісну в точках b і a та відніми. Площу між двома кривими завжди знаходь як інтеграл від «верхня мінус нижня».
Якщо обертати фігуру навколо осі x, об'єм дорівнює V = π∫(f(x))2dx: піднеси функцію до квадрата й залиши π. Довжина дуги L = ∫√(1 + (f′(x))2)dx.
У полярних координатах площа, яку замітає радіус r, дорівнює A = 12∫r2dθ. Не забудь половину й квадрат.