Интеграл с переменным верхним пределом и формула Ньютона—Лейбница
Найди баланс площадей до x, найди экстремумы интегральной функции и вычисляй по формуле J(x) = F(x) − F(a).
📖 Начните здесь: читайте шаги «Урока» по порядку (1, 2, 3 …) и отвечайте на каждый вопрос. Потом переходите к «Практике».
- Украина: 11 класс
- Германия: 12 класс
- Франция: 12 класс
- Португалия: 12 класс
- Италия: 13 класс
- Испания: 12 класс
- Сирия: 12 класс
- Палестина: 12 класс
Подсказки для взрослых
В российской программе эта тема изучается в 11 классе (алгебра и начала математического анализа): первообразная, определённый интеграл, формула Ньютона—Лейбница. Интеграл с переменным верхним пределом углубляет эту тему.
Функция J_a(x) = ∫ₐˣ f(t) dt даёт баланс площадей между a и x со знаком: площади над осью x считаются положительными, под осью — отрицательными. Обычная площадь фигуры всегда положительна.
Основная связь: J_a′(x) = f(x). Там, где f положительна, J растёт; там, где f отрицательна, J убывает. Если f меняет знак с «+» на «−», у J там максимум; если у f экстремум, у J точка перегиба.
Если известна первообразная F, то J_a(x) = F(x) − F(a). В текстовой задаче f — скорость притока, J — изменение наполненного объёма; начальный объём добавляют отдельно.