Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Проверка принадлежности точки прямой, вектор нормали через векторное произведение, взаимное расположение двух прямых и точка пересечения прямой с плоскостью.
📖 Начните здесь: читайте шаги «Урока» по порядку (1, 2, 3 …) и отвечайте на каждый вопрос. Потом переходите к «Практике».
- Германия: 12 класс
- Франция: 11 класс
- Португалия: 11 класс
- Италия: 13 класс
- Испания: 12 класс
- Сирия: 12 класс
Подсказки для взрослых
В российской программе взаимное расположение прямых и плоскостей изучают в 10 классе (стереометрия), а векторы и координаты в пространстве — в 11 классе. Параметрические уравнения прямой и уравнение плоскости разбирают в углублённом курсе, поэтому для базового класса это расширение темы. Прямая в пространстве записывается так: g: X⃗ = A⃗ + λ · u⃗, где A⃗ — радиус-вектор точки прямой, u⃗ — направляющий вектор. Точка P лежит на g, если существует ровно одно λ, подходящее для всех трёх координат (проверка принадлежности точки).
Плоскость задают уравнением E: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d. Вектор нормали n⃗ для двух направляющих векторов u⃗ и v⃗ плоскости получают как векторное произведение u⃗ · v⃗.
Две прямые могут совпадать, быть параллельными (направляющие векторы пропорциональны), пересекаться (ровно одна общая точка) или скрещиваться (не параллельны и не пересекаются). Прямая пересекает плоскость, если подставить её уравнение в уравнение плоскости и найти λ.