Distâncias no espaço

Esta oficina vai além do programa português: a forma normal de Hesse e o produto vetorial não se estudam no secundário. No 11.º ano, na geometria analítica no espaço, trabalham-se vetores, produto escalar, equações de planos e retas; aqui, quem quiser pode ir mais longe.

A distância de um ponto P a um plano E: ax + by + cz = d é d(P; E) = |ap₁ + bp₂ + cp₃ − d| / ‖n⃗‖, em que n⃗ = (a, b, c) é um vetor normal ao plano e ‖n⃗‖ é a sua norma (o comprimento).

A distância de um ponto a uma reta calcula-se com um plano auxiliar que passa por P e é perpendicular a g. Esse plano corta g no pé da perpendicular F, e d = ‖PF‖.

Os planos paralelos estão sempre à mesma distância: toma um ponto de um plano e calcula a sua distância ao outro. Para retas enviesadas, a perpendicular comum tem a direção de n⃗ = u⃗ × v⃗.