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Regra de Cramer e método de eliminação de Gauss

Resolve um sistema com determinantes (Cramer), depois por operações com linhas (Gauss), e vê como um determinante nulo dá retas paralelas.

📖 Começa aqui: lê os passos da «Lição» por ordem (1, 2, 3 …) e responde a cada pergunta. Depois continua com «Praticar».

Guia

Este tema trabalha-se no ensino secundário (Matemática A, 12.º ano: matrizes, determinantes e discussão de sistemas); no 3.º ciclo os sistemas resolvem-se por substituição ou por adição ordenada. Regra de Cramer: para ax + by = e e cx + dy = f, seja D o determinante dos coeficientes. Dx é D com a coluna de x substituída pelos termos independentes, e Dy o mesmo para y. Então x = DxD e y = DyD. É preciso D ≠ 0.

Método de eliminação de Gauss: escreve-se o sistema como uma matriz ampliada (os coeficientes e depois os termos independentes). Com operações com linhas (trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero, somar a uma linha um múltiplo de outra) obtêm-se zeros abaixo dos primeiros elementos de cada linha; depois resolve-se de baixo para cima, ou continua-se até à forma reduzida.

Se D = 0, as duas retas têm o mesmo declive: são paralelas (sem solução) ou coincidentes (infinitas soluções).

Pergunta à criança porque é que as operações com linhas não alteram a solução do sistema.