Funções polinomiais: extremos, zeros e expressões
Lê o comportamento nos extremos a partir do grau e do coeficiente do termo de maior grau, distingue zeros simples de zeros duplos, resolve uma equação biquadrada e determina uma expressão a partir de um gráfico.
📖 Começa aqui: lê os passos da «Lição» por ordem (1, 2, 3 …) e responde a cada pergunta. Depois continua com «Praticar».
- Portugal: 9.º ano
- Itália: 9.º ano
- Espanha: 11.º ano
- Alemanha: 10.º ano
- Ucrânia: 8.º ano
Guia
Este tema aparece na Álgebra e nas Funções do ensino secundário: os polinómios e as funções polinomiais estudam-se no 10.º ano (Matemática A) e o comportamento no infinito, através de limites, no 11.º ano. Uma função polinomial f(x) = anxn + … + a0 comporta-se como o termo de maior grau, anxn, para valores grandes de |x|. Grau par: os dois extremos vão no mesmo sentido; grau ímpar: os extremos vão em sentidos opostos. O sinal de an diz se o extremo da direita sobe ou desce.
Se (x − x0) aparece duas vezes como fator, x₀ é um zero duplo (de multiplicidade dois): o gráfico toca no eixo Ox e não o atravessa. Um zero simples é atravessado.
Uma equação como x4 − 5x2 + 4 = 0 é biquadrada. Faz-se a mudança de variável z = x2, resolve-se z2 − 5z + 4 = 0 e volta-se atrás: x2 = z.
Conhecidos os zeros, escreve-se f(x) = a·(x − x1)(x − x2)… e determina-se a a partir de mais um ponto.