A regra da soma e a regra do produto

Tema: contagem de casos possíveis. Em Portugal, as primeiras situações de contagem (listas, tabelas e diagramas de árvore) trabalham-se no ensino básico, e o princípio fundamental da contagem e a Combinatória estudam-se no 12.º ano. Aqui resolvem-se os problemas com duas regras. Regra da soma. Se um conjunto A tem m elementos, um conjunto B tem k elementos e não têm elementos comuns, então a escolha «a ou b», com a∈A e b∈B, pode fazer-se de m + k maneiras.

Regra do produto. Se um elemento a se pode escolher de m maneiras e, depois de cada escolha, um elemento b se pode escolher de k maneiras, então a escolha «a e b», por esta ordem, pode fazer-se de m×k maneiras. Todos os pares (a, b) podem escrever-se numa tabela: as linhas são a escolha de a e as colunas a escolha de b. Para três escolhas, o número de maneiras é m×k×n.

Quando um problema precisa das duas regras, como num esquema de estradas da cidade A para a cidade B passando por M ou por N, conta-se primeiro cada percurso com a regra do produto e depois somam-se os percursos com a regra da soma.

A árvore mostra todos os pares (a, b): carrega em + para fazer crescer os ramos. Os outros problemas resolvem-se sem figura. A resposta escreve-se assim: «Resposta: 14 maneiras».