Potências, raízes e circunferências no plano complexo
Usa e^{iθ} como um ponto da circunferência de raio 1, eleva números a potências com a fórmula de De Moivre, encontra as quatro raízes de um número como os vértices de um quadrado e desenha uma circunferência com |z − c| = r.
📖 Começa aqui: lê os passos da «Lição» por ordem (1, 2, 3 …) e responde a cada pergunta. Depois continua com «Praticar».
- Portugal: 12.º ano
- França: 12.º ano
- Itália: 11.º ano
- Reino Unido: Year 12
- Rússia: 11.º ano
- Síria: 12.º ano
Guia
Este tema pertence aos números complexos do 12.º ano (forma trigonométrica, potências e raízes). O número eiθ é o ponto da circunferência de raio 1 de ângulo θ: eiθ = cosθ + isenθ. Um número de módulo r e argumento θ escreve-se reiθ. Meia volta são π radianos, por isso eiπ = −1.
Fórmula de De Moivre: para elevar um número à potência n, eleva-se o módulo a n e multiplica-se o argumento por n. As n raízes de um número têm todas o mesmo módulo e os seus argumentos distam 360° : n, por isso são os vértices de um polígono regular. As raízes de zn = 1 são as raízes da unidade, na circunferência de raio 1.
A distância de z a um ponto fixo c é |z − c|. Então |z − c| = r é a circunferência de centro c e raio r.