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Rolle, l'Hôpital e séries de Maclaurin

Descobre onde a tangente é horizontal, encontra o ponto do teorema de Lagrange, calcula um limite do tipo 0/0 com derivadas e determina um coeficiente da série de Maclaurin de cosh x.

📖 Começa aqui: lê os passos da «Lição» por ordem (1, 2, 3 …) e responde a cada pergunta. Depois continua com «Praticar».

Guia

Este tema não faz parte do programa do ensino secundário português: o Teorema de Rolle, o Teorema de Lagrange, a regra de l'Hôpital (também chamada regra de Cauchy) e as séries de Maclaurin são matéria de Cálculo do ensino superior. Serve de aprofundamento a quem já estudou derivadas e limites no 11.º e 12.º ano.

Teorema de Rolle: se f é contínua e diferenciável e f(a) = f(b), então existe c entre a e b com f′(c) = 0: uma tangente horizontal. Teorema de Lagrange (do valor médio): mesmo que os extremos tenham valores diferentes, existe um ponto onde a tangente tem o mesmo declive da reta secante: f′(c) = f(b) − f(a)b − a.

Regra de l'Hôpital: se o numerador e o denominador tendem ambos para zero, o limite de fxg(x) é igual ao limite de f′xg′(x). Deriva-se o numerador e o denominador separadamente, e não a fração toda.

cosh(x) = (ex + e−x) ÷ 2 e sinh(x) = (ex − e−x) ÷ 2 são funções hiperbólicas. A derivada de cosh(x) é sinh(x) e vice-versa. O coeficiente de xn na série de Maclaurin é fn(0) ÷ n!.