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Derivadas do seno, da exponencial, do logaritmo e das funções inversas

Testa a derivada de sen x perto de zero, traça a tangente a ex, usa ln x como imagem espelhada de ex para descobrir a sua derivada e leva a regra da função inversa até à arctg.

📖 Começa aqui: lê os passos da «Lição» por ordem (1, 2, 3 …) e responde a cada pergunta. Depois continua com «Praticar».

Guia

As derivadas do seno e do cosseno estudam-se no 11.º ano e as da função exponencial e do logaritmo neperiano no 12.º ano. A derivada da função inversa e a derivada da arctg não fazem parte do programa: são um prolongamento para quem quer ir mais longe.

(sen x)′ = cos x e (cos x)′ = −sen x. Perto de 0, a curva de sen x cola-se à reta y = x, por isso o declive aí é 1, que é cos 0.

(ex)′ = ex: em cada ponto, o declive da tangente é igual à ordenada do ponto. ln x é a função inversa de ex e (ln x)′ = 1x.

Se f(a) = b, a função inversa tem derivada (f−1)′(b) = 1f′(a) em b. A curva da inversa é a imagem espelhada de f na reta y = x, por isso os declives invertem-se.