Aulas de matemática gratuitas e de qualidade para todas as crianças

KamangirEscola
Português
Portugal

Derivada implícita, paramétrica, de segunda ordem e taxas relacionadas

Encontra o declive de uma circunferência num ponto por derivação implícita, calcula o declive de uma curva paramétrica, deriva duas vezes e vê como o lado que varia faz variar a área.

📖 Começa aqui: lê os passos da «Lição» por ordem (1, 2, 3 …) e responde a cada pergunta. Depois continua com «Praticar».

Guia

Em Portugal, o cálculo diferencial estuda-se no 11.º e no 12.º anos (Matemática A); a derivada de segunda ordem aparece aí, ligada ao sentido da concavidade. A derivação implícita, as curvas paramétricas e as taxas de variação relacionadas não fazem parte do programa: são uma extensão para quem quer ir mais longe. Se y está ligado a x por uma equação mas não está isolado, derivam-se os dois membros em ordem a x e acrescenta-se o fator y′ sempre que aparece y (derivada da função composta): (y2)′ = 2y·y′.

Numa curva paramétrica x(t), y(t): dydx = dydtdxdt. A derivada de segunda ordem é a derivada da derivada; mostra como o próprio declive varia.

Quando duas grandezas estão ligadas, as suas taxas de variação também: se A = x2, então dAdt = 2x·dxdt.