O binómio para qualquer expoente: aproximações
Usa os primeiros termos do desenvolvimento do binómio para estimar raízes e inversos de números próximos de 1.
📖 Começa aqui: lê os passos da «Lição» por ordem (1, 2, 3 …) e responde a cada pergunta. Depois continua com «Praticar».
- Portugal: 12.º ano
- Itália: 11.º ano
- Reino Unido: Year 13
- Afeganistão: 11.º ano
Guia
Para expoentes inteiros conheces o binómio de Newton: (1 + x)3 = 1 + 3x + 3x2 + x3. A mesma fórmula serve quando o expoente n é uma fração ou é negativo, mas então nunca acaba. No programa português o binómio de Newton estuda-se no ensino secundário só para expoentes naturais; esta extensão é um aprofundamento.
(1 + x)n = 1 + nx + n(n − 1)2!x2 + …. Quando x é pequeno, x² é muito menor do que x, por isso os primeiros termos dão um resultado muito próximo.
Exemplo: √1,04 = (1 + 0,04)12 ≈ 1 + 0,042 = 1,02. Só dois termos e a resposta fica muito próxima.
Regra: quando n não é inteiro, o desenvolvimento só é válido para |x| < 1. Marca a estimativa na reta ampliada, escreve o coeficiente e desenha onde o desenvolvimento é válido.