Conseguenze del teorema del coseno
La natura di un triangolo a partire dal suo lato maggiore (acutangolo, rettangolo o ottusangolo), la somma dei quadrati delle diagonali di un parallelogramma e un problema sui lati AB e BC.
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Guida
Questo tema appartiene al quarto anno del liceo scientifico: trigonometria e teorema del coseno (detto anche teorema di Carnot). In un triangolo ABC si indicano con a = BC, b = CA, c = AB i lati e con α, β, γ gli angoli opposti. Il teorema del coseno si scrive a2 = b2 + c2 − 2bccosα, da cui 2bccosα = b2 + c2 − a2.
Conseguenza. Sia a la lunghezza del lato maggiore di un triangolo. Se a2 < b2 + c2, il triangolo è acutangolo. Se a2 > b2 + c2, è ottusangolo. Se a2 = b2 + c2, è rettangolo (è l’inverso del teorema di Pitagora). Il motivo: il segno del coseno dell’angolo maggiore, positivo, negativo o nullo.
Problema 1. La somma dei quadrati delle diagonali di un parallelogramma è uguale alla somma dei quadrati dei suoi quattro lati: BD2 + AC2 = 2a2 + 2b2, dove a e b sono due lati consecutivi. Si dimostra scrivendo il teorema del coseno nei triangoli ABD e ACD (angoli α e 180° − α) e poi sommando.
Problema 2. Il teorema del coseno può portare a un’equazione di secondo grado. Una soluzione che non va bene per la condizione (una lunghezza non è negativa) si scarta. Scrivi la soluzione in quattro passi: Dati, Richiesta, Risoluzione, Risposta. I triangoli sono disegnati in scala: 1 quadretto della quadrettatura rappresenta 1 cm.