I luoghi geometrici nei problemi di costruzione: un punto, una circonferenza, un triangolo
Trova il punto cercato come intersezione di due luoghi geometrici. Tre problemi: un punto su una retta a distanza data da un'altra retta, una circonferenza tangente a una retta in un punto dato e un triangolo di cui si conoscono un lato e il raggio della circonferenza circoscritta.
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- Ucraina: classe 7
Guida
I problemi di costruzione si risolvono con riga non graduata e compasso in quattro fasi: analisi, costruzione, dimostrazione, discussione. Il metodo dei luoghi geometrici: descrivi il punto cercato con due condizioni, traccia i due luoghi e prendi la loro intersezione. Questo argomento è un'estensione rispetto alle Indicazioni nazionali: i luoghi geometrici e le costruzioni con riga e compasso compaiono nelle classi 1–2 del liceo (asse di un segmento, bisettrice, tangente a una circonferenza), ma questi problemi sono più avanzati.
Problema: sulla retta m trova un punto che dista a dalla retta AB. I punti che distano a da AB stanno su due rette parallele ad AB; il punto cercato è un punto comune a m e a queste rette. Discussione: due soluzioni, una, nessuna o infinite (quando m coincide con una delle parallele).
Problema: costruisci una circonferenza che passa per B ed è tangente alla retta m in A. Il centro O sta sulla perpendicolare a m in A (il raggio nel punto di tangenza è perpendicolare alla tangente) e sull'asse del segmento AB (OA = OB).
Problema: costruisci un triangolo ABC di cui conosci il lato AB e il raggio R della circonferenza circoscritta. Il centro O dista R da A e da B, quindi è un'intersezione di due circonferenze di raggio R con centro in A e in B. Ogni punto C della circonferenza (O; R) dà un triangolo. Se AB < 2R ci sono infinite soluzioni, se AB > 2R nessuna.
Dopo ogni costruzione chiediti: quante soluzioni può avere il problema?