L'espressione di una funzione dalle condizioni
Traduci le proprietà in equazioni per f, f′ e f″, trova i parametri e il luogo dei punti estremi di una famiglia di funzioni.
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Guida
Questo tema (determinare l'equazione di una funzione dalle sue proprietà, funzioni con parametri, luogo dei punti estremi) si lavora al liceo scientifico, in classe quinta, dopo le derivate. In un problema di questo tipo si cerca un'espressione di funzione con coefficienti incogniti. Ogni proprietà dà un'equazione: un punto P(x₀; y₀) sul grafico dà f(x₀) = y₀, un punto estremo in x₀ dà f′(x₀) = 0, un punto di flesso in x₁ dà f″(x₁) = 0.
Un polinomio di terzo grado ha quattro coefficienti e servono quattro condizioni. Si arriva a un sistema di equazioni di primo grado.
Se l'espressione contiene un parametro t (una famiglia f_t), ogni condizione fissa t. I punti estremi di tutte le curve della famiglia stanno su un'unica curva, il luogo geometrico: si elimina t dalle coordinate.