Teorema del resto, teorema di Ruffini e radici dei polinomi
Trova un resto senza dividere, riconosci un fattore con il teorema di Ruffini, trova le radici di un polinomio di terzo grado e leggi i coefficienti dalle radici.
📖 Parti da qui: leggi i passi della «Lezione» in ordine (1, 2, 3 …) e rispondi a ogni domanda. Poi continua con «Esercizi».
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Guida
La divisione tra polinomi, il teorema del resto e il teorema di Ruffini si studiano nel primo biennio del liceo scientifico (classi prima e seconda), insieme alla regola di Ruffini e alla scomposizione in fattori. Le relazioni tra radici e coefficienti si riprendono più avanti.
teorema del resto: quando un polinomio p(x) si divide per x − a, il resto è p(a). Non serve dividere: basta sostituire il numero a nel polinomio. a è il valore per cui x − a vale 0, per esempio −2 per x + 2.
teorema di Ruffini (teorema di Ruffini): se p(a) = 0, il resto è 0 e x − a è un fattore di p(x). Quindi a è una radice di p(x) = 0.
Per risolvere un'equazione di terzo grado, trova prima una radice: prova i piccoli numeri interi che dividono il termine noto. Raccogli quel fattore: resta un polinomio di secondo grado, che si scompone.
Se conosci le radici di x3 + px2 + qx + r, sviluppa (x − a)(x − b)(x − c) e leggi i coefficienti. In ogni esercizio scrivi il numero oppure segna le radici come punti sulla retta dei numeri.