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Tutti gli studi, dal più facile al più difficile.
Numeri e valore posizionale
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- Contare e confrontare fino a 10Abbina le mele una a una, contale e confrontale. Poi conosci i segni <, > e =.Gioca e impara con l'upupa
- I numeri fino a 20: una decina e alcune unitàLeggi e costruisci i numeri da 10 a 20 con due griglie del 10. Uno in più, il numero in mezzo, primo, secondo, terzo.Gioca e impara con l'upupa
- Retta numerica, contare a salti, pari e dispariTrova i numeri sulla retta numerica, conta di 2 in 2, di 5 in 5 e di 10 in 10 e scopri i numeri pari e dispari.Gioca e impara con l'upupa
- Decine e unità: i numeri fino a 100Raggruppa dieci unità in una decina. Costruisci e leggi i numeri fino a 100 con le decine e le unità.
- Centinaia e migliaia: valore posizionale e forma polinomialeCostruisci, leggi e scrivi i numeri fino a 10 000 con il materiale multibase, scrivili in forma polinomiale e confrontali partendo dal posto più alto.
- Numeri grandi, arrotondamenti e stimeLeggi e costruisci numeri fino ai milioni a gruppi di tre cifre, arrotonda alla decina, al centinaio o al migliaio più vicino guardando il posto successivo e fai una stima di una somma prima di calcolarla.
- Approssimazioni: alla decina e alle centinaiaTrova la decina o la centinaio più vicini a un numero e stima il risultato di una somma o di una differenza, senza fare il calcolo esatto.
- Numeri negativi e numeri interi relativiProlunga la retta numerica a sinistra dello zero. Rappresenta le temperature sotto zero e le profondità sotto il livello del mare, poi addiziona e sottrai con i salti.
- Arrotondare i numeri decimaliIngrandisci il tratto tra i due numeri vicini e guarda qual è il più vicino: arrotonda all'unità, ai decimi e ai centesimi. Poi trova tutti i numeri che si arrotondano allo stesso valore.
- Divisori, multipli e numeri primiDisponi dei gettoni in rettangoli per trovare i divisori di un numero. Scopri perché alcuni numeri fanno un solo rettangolo.
- Divisibilità, M.C.D., m.c.m. e potenzeColora i multipli su una tabella dei numeri da 1 a 100 per scoprire i criteri di divisibilità. Poi multipli e divisori comuni, quadrati e potenze.
- Moltiplicare e dividere i numeri relativi; valore assolutoMoltiplica e dividi i numeri negativi con i salti sulla retta dei numeri, scopri la regola dei segni e misura la distanza dallo zero.
- Numeri razionali: confronto e quattro operazioniMetti frazioni e numeri decimali negativi sulla stessa retta numerica, confrontali, poi sommali e moltiplicali come spostamenti e come ingrandimenti o riduzioni.
- Il crivello di EratosteneScrivi i numeri da 1 a 50 e barra i multipli finché restano solo i numeri primi, poi scopri dove ci si può fermare.
- Sottrarre un numero negativoRiscrivi ogni sottrazione come addizione, vedi sulla retta che cosa vuol dire sottrarre un numero negativo e calcola le somme a due cifre separando decine e unità.
- Potenze di numeri negativi e crescita per raddoppioSegui l'ordine delle operazioni con le potenze, capisci la differenza tra (−3)² e −3², e scopri perché i raddoppi ripetuti portano così in fretta a numeri grandi.
- Fattori primi, MCD, mcm e radici esatteScomponi due numeri in fattori primi con gli alberi. Costruisci l'MCD e il mcm dai fattori primi e trova radici quadrate e cubiche raggruppando i fattori a due a due o a tre a tre.
- Proprietà delle potenzeScrivi le potenze come fattori su una linea di frazione: moltiplicare significa mettere insieme i fattori, dividere significa semplificare i fattori uguali sopra e sotto, e la potenza di una potenza moltiplica gli esponenti.
- Dividere i numeri razionaliTrova il reciproco di un numero razionale e trasforma le divisioni tra numeri con segno in moltiplicazioni. Scopri perché dividere per zero non ha senso.
- Radici n-esime e potenze con esponente razionaleImpara le radici n-esime partendo dalle potenze: indice pari e dispari, prodotto di radicali, poi le potenze con esponente frazionario come 2713 e 823.
- Notazione scientificaSposta le cifre con ÷ 10 e × 10 finché resta una sola cifra diversa da zero prima della virgola, e guarda che l'esponente della potenza di 10 conta gli spostamenti.
- Stimare le radici quadrate; i numeri irrazionali sulla rettaRacchiudi una radice quadrata tra due numeri interi, ingrandisci ai decimi e ai centesimi elevando al quadrato, e distingui i numeri razionali da quelli irrazionali sulla retta dei numeri reali.
- I radicali e come semplificarliScomponi in fattori il numero sotto la radice e porta fuori ogni coppia: √12 = 2√3. Moltiplica radicali, somma radicali simili e razionalizza un denominatore.
- L'algoritmo di Euclide per il massimo comun divisoreTrova il massimo comun divisore di due numeri con una catena di divisioni, senza scrivere tutti i divisori.
- Valore assoluto dei numeri reali e calcolo approssimatoVedi il valore assoluto come distanza dall'origine, riconosci i tre casi di a (positivo, zero, negativo), confronta il valore assoluto di una somma con la somma dei valori assoluti e calcola con radici approssimate.
- Proprietà dei radicali, potenze con esponente razionale ed equazioni irrazionaliTrova la radice di un quoziente e la radice di una radice, confronta radicali con indici diversi e risolvi un'equazione irrazionale elevando al quadrato, controllando la condizione e con una sostituzione.
- I numeri a parole: decine di migliaia, centinaia di migliaia e miliardiCostruisci e leggi i numeri grandi: i numeri a cinque cifre, centomila e i numeri oltre il milione.
- Radici: quadrate, cubiche e i loro segniConta i numeri il cui quadrato è un numero positivo, scopri perché un numero negativo non ha radice quadrata ma ha radice cubica, e perché la radice quadrata di un quadrato è un valore assoluto.
- Arrotondare sulla retta numericaTrova il numero sulla retta numerica e guarda a quale decina, centinaio o migliaio è più vicino. Un numero esattamente a metà si arrotonda per eccesso.
- I numeri in lettereCostruisci numeri di due e tre cifre con decine e unità, poi leggili e scrivili in lettere.
- Divisibilità nei numeri interiLa divisione con resto, le proprietà della divisibilità e il M.C.D. scritto come combinazione dei due numeri.
- Tabella dei numeri e saltiConta di 3 in 3, di 4 in 4, di 6 in 6 e di 7 in 7 sulla tabella dei numeri e scopri l'addizione ripetuta con le barrette.
- Congruenza tra numeri interiI numeri che hanno lo stesso resto nella divisione per m sono congruenti. Scopri come calcolare con loro.
- Il valore posizionale nei numeri decimaliScrivi e leggi i numeri decimali in una tabella posizionale con le colonne delle unità, dei decimi e dei centesimi, costruiscili in forma polinomiale e confrontali.
- Approssimazione: arrotondare e troncareApprossima un numero alle decine, alle centinaia, alle unità o ai decimi con due metodi, arrotondamento e troncamento, riconosci quale è l'arrotondamento, approssima una frazione e stima un prodotto.
- Valori approssimati ed erroreTrova l'errore assoluto e l'errore relativo, confronta la precisione di due misure e limita l'errore di una somma.
- Composizione dei numeri da 6 a 10 e lo zeroScomponi i numeri 6, 7, 8, 9 in due parti con le pedine. Poi scopri che cosa succede quando si toglie tutto o non si toglie niente.
- La scheda delle scomposizioni e le strisceScrivi le due parti che fanno 6 e costruisci una striscia di 7 caselle.
- Proprietà della radice quadrata aritmeticaCalcola radici di quadrati, prodotti, quozienti e potenze con le proprietà della radice quadrata aritmetica.
- La successione dei numeri naturali e la semiretta numericaTrova il numero che viene prima di uno dato, scopri perché non esiste un numero naturale più grande di tutti, segna K(5) su una semiretta numerica e leggi una scala.
- Divisione con resto, divisibilità per 9 e per 3Scopri perché il resto è minore del divisore, ricostruisci il dividendo con a = b · q + r e controlla la divisibilità per 9 e per 3 con la somma delle cifre.
- Radicali doppi: √(a ± 2√b)Elimina un radicale sotto un radicale: scrivi l'espressione come quadrato di una somma o di una differenza e trova i numeri dalla loro somma e dal loro prodotto.
- Confrontare e ordinare i numeri grandiConfronta i numeri fino al milione cifra per cifra, mettili in ordine e aggiungi migliaia intere.
- Numeri binari e numeri romaniLeggi e scrivi numeri nel sistema binario con i valori posizionali 1, 2, 4, 8, 16 e confrontali con i numeri romani.
- Distanza tra punti ed equazioni con il valore assolutoTrova la distanza tra due punti della retta numerica come |a − b| e risolvi le equazioni |x − a| = b segnando i punti.
- Divisibilità di somme, differenze e prodotti; criteri per 4, 8, 6 e 11Decidi se una somma, una differenza o un prodotto è divisibile senza calcolarlo, e usa i criteri di divisibilità per 4, 8, 6 e 11.
- Metodo di Erone e numeri irrazionaliApprossima una radice quadrata con il metodo di Erone (un rettangolo che diventa un quadrato), poi scopri perché √2 non è una frazione.
Calcolo
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- Addizioni e sottrazioni entro il 10Metti insieme le mele, toglierne alcune e confronta. Poi forma il 10 con due numeri.
- Entro il 20: completare la decina e famiglie di operazioniCompleta prima la decina, poi aggiungi il resto. Somma tre numeri, scambia i numeri e trova le quattro operazioni di una famiglia.
- Calcolo mentale con i salti sulla rettaRappresenta ogni addizione e sottrazione con i salti sulla retta dei numeri: prima le decine e poi le unità, oppure prima fino alla decina successiva.
- Gruppi uguali: moltiplicare e dividereDisponi le mele in gruppi uguali, costruisci schieramenti di gettoni e scopri come stanno insieme moltiplicazione e divisione.
- Le tabellineImpara le tabelline con le immagini ed esercitati in un piccolo gioco: prima 2, 5 e 10, poi 0 e 1, poi le altre tabelline fino a 10 × 10.
- Moltiplicare e dividere per 10, 100 e 1000Quando si moltiplica per 10, ogni cifra avanza di un posto verso sinistra; quando si divide per 10, indietreggia di un posto verso destra. Osservalo nella tabella del valore posizionale, prima con i numeri interi, poi con i numeri decimali.
- Addizioni e sottrazioni in colonnaScrivi i numeri in colonna e addiziona o sottrai una colonna alla volta: riporta una decina nella colonna accanto, fai il cambio dalla colonna vicina e verifica il risultato.
- Moltiplicazioni in colonnaMoltiplica in colonna: per un numero di una cifra con il riporto, per un numero di due cifre con due righe e lo zero segnaposto, e poi con i numeri decimali.
- Divisione con resto e divisione in colonnaScrivi una divisione cifra per cifra, scopri che cos'è un resto e che cosa farne in un problema, e controlla una divisione con la moltiplicazione.
- In più: addizioni e sottrazioni con l'abacoAddiziona e sottrai numeri di due cifre spostando le palline sull'abaco. Cambia dieci palline delle unità con una pallina delle decine, e viceversa.
- Moltiplicare numeri con gli zeri e calcolare con i decimaliMoltiplica numeri che finiscono con degli zeri (40 × 30, 650 × 300), addiziona e sottrai i numeri decimali in colonna e moltiplica due decimali contando le cifre dopo la virgola.
- Moltiplicazione in colonna per più cifre e per i numeri tondiMoltiplica in colonna per un numero di tre cifre, per un numero con uno zero in mezzo e per un numero tondo, usando i prodotti parziali.
- Moltiplicare con i blocchetti: scomponi in partiPrima i multipli di dieci, poi un numero di più cifre per un numero di una cifra con i blocchetti di centinaia, decine e unità: moltiplica ogni parte e somma.
- Addizioni e sottrazioni con i migliaiaAddiziona e sottrai numeri di quattro cifre nella tabella del valore posizionale con i blocchi di unità, decine, centinaia e migliaia, facendo il cambio di dieci con uno del posto successivo.
- Contare a gruppi e problemi di moltiplicazioneContare di 7 in 7 e di 200 in 200, problemi del tipo «il doppio, il triplo», pacchi di fogli e problemi di velocità con la macchina che moltiplica.
- Le parti di un'uguaglianza: addendi, somma, differenzaAddiziona e sottrai per parti sulla retta numerica, dai il nome alle parti di un'uguaglianza e sottrai con l'addizione.
- Componente incognita e variazione della sommaTrova l'addendo, il minuendo e il sottraendo incogniti con la regola, confronta le espressioni senza calcolare e osserva come cambia la somma.
- Numeri di due cifre: per cifre, per parti, il trucco dell'arrotondamentoSomma e sottrai numeri di due cifre per cifre e per parti, e calcola 38 + 9 passando da 10, restituendo l'uno in più. Classe seconda; il calcolo mentale della classe terza è in un altro studio.
- La tavola pitagorica e come cambiano i risultatiEsplora la tavola pitagorica, moltiplica e dividi in sequenza, osserva come il prodotto e il quoziente dipendono dai loro termini.
- Calcolo mentale: per cifre, arrotondando, dividendo in partiSomma e sottrai per cifre e arrotondando, dividi i numeri scomponendoli e dividi i numeri tondi in unità di ordine.
- Trucchi per moltiplicare e dividereMoltiplica e dividi per 5, 25, 50, 11, 101, 9 e 99 in modo comodo, passando da 10 e 100.
- Proprietà delle operazioni e calcolo comodoUsa le proprietà commutativa, associativa e distributiva per calcolare in modo comodo e semplifica espressioni con i numeri razionali.
- Espressione, uguaglianza, disuguaglianzaDistingui le espressioni, le uguaglianze e le disuguaglianze, barra le uguaglianze false e confronta le espressioni senza calcolare. Espressioni numeriche e segni =, < e >.
- Divisione con resto per 10 e per 100Dividi con resto per 10 e per 100 coprendo le cifre a destra, e dividi numeri che finiscono con zeri cancellando lo stesso numero di zeri.
- Catene di calcoliSegui le frecce: un numero nel cerchio, un'operazione sulla bandierina. Trova il numero alla fine della catena e ritrova una bandierina cancellata.
- Le tabelle dell'addizioneLeggi le tabelle dell'addizione del +1, +2, +5 e +7, copri i risultati e scrivili. Poi le addizioni oltre il dieci, fino a 20.
- Sottrarre 6, 7, 8, 9Scrivi il minuendo come somma di addendi comodi, uno dei quali è uguale al sottraendo. Resta l'altro addendo.
- Aggiungere e togliere una sommaAggiungi una somma a un numero, togli una somma da un numero e un numero da una somma, scrivendo le uguaglianze con le parentesi.
- Moltiplicare e dividere per partiMoltiplica e dividi numeri di due cifre per numeri di una cifra scomponendo il numero in parti facili, e controlla con l'operazione inversa.
- Controllare i calcoli: stima e operazione inversaStima il risultato prima di calcolare, esegui l'operazione in colonna, controlla con l'operazione inversa e decidi se un risultato (anche quello della calcolatrice) è ragionevole.
Frazioni
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- Che cos'è una frazione?Dividi un intero in parti uguali e usa una frazione per dire quante parti hai preso.
- Frazioni sulla retta numericaAnche le frazioni sono numeri, e ognuna ha il suo posto sulla retta numerica. Dividi lo spazio da 0 a 1 in parti uguali e metti dei punti.
- Frazioni equivalentiUna stessa quantità si può scrivere con frazioni diverse. Osserva come cambia la frazione quando le parti diventano più piccole o più grandi, mentre la quantità resta la stessa.
- Confrontare le frazioniQuale frazione è maggiore? Metti le strisce una sotto l'altra e guarda quale è colorata più in là.
- Addizione e sottrazione di frazioniMetti le frazioni una accanto all'altra sulle strisce, poi addizionale e sottraile. Se i denominatori sono diversi, rendi prima uguali le parti.
- Moltiplicare e dividere le frazioniCon le barre vedi che moltiplicare per una frazione vuol dire «prendere più volte» o «prendere una parte di», e che dividere per una frazione vuol dire «quante volte ci sta».
- Numeri decimaliTrova decimi e centesimi sulla retta dei numeri e scopri come si scrivono e si leggono i numeri decimali.
- La divisione e le frazioniEsegui una divisione in colonna cifra per cifra e scopri che ogni frazione è una divisione che si può scrivere con la virgola.
- La frazione di una quantitàDividi delle mele in parti uguali e prendi alcune parti. Poi ingrandisci e rimpicciolisci una ricetta.
- Le percentuali: frazioni, numeri decimali e percentuali«Per cento» vuol dire «su cento». Con il quadrato di 100 quadretti e una barra del 100 % vedi che una frazione, un numero decimale e una percentuale sono tre modi di scrivere la stessa quantità.
- Moltiplicare e dividere i numeri mistiUsa le strisce per vedere come funzionano la moltiplicazione e la divisione con i numero misto, e quale operazione si fa per prima in un calcolo.
- Divisione con i decimali e numeri decimali periodiciTrasforma una divisione tra decimali in una divisione tra numeri interi, continua a dividere finché le cifre si ripetono e riscrivi un numero decimale periodico come frazione.
- Frazioni a più pianiUna frazione il cui numeratore o denominatore è una frazione: dividi una frazione su una striscia, conta frazioni dentro frazioni e dividi capovolgendo la frazione di sotto.
- Sottrazione di numeri misti e calcoli con le frazioniSottrai i numeri misti, trasforma un intero in frazione quando serve, risolvi espressioni con frazioni complesse e aumenta le quantità di una ricetta.
- La parte di un numero e il numero dalla sua parteTrova la parte di un numero e trova il numero a partire dalla sua parte: prima una parte, poi l'intero o più parti. Argomento di classe 3–4 della primaria (la parte di un numero e il numero dalla sua parte); le frazioni di classe 5 e della secondaria sono in un altro studio.
- Frazioni improprie, l'intero dalla sua frazione, rapporto percentuale, approssimazione decimaleRappresenta una frazione impropria con le barre, trova l'intero conoscendo il valore di una parte o di una percentuale, calcola il rapporto percentuale di due numeri e arrotonda una frazione ai centesimi.
- Frazioni di unità di misuraChe parte di un metro sono 6 cm? Che parte di un anno sono 3 mesi? Trasforma una frazione di un'unità in unità più piccole e confrontala con una misura.
- Un quinto e un decimoDividi un intero in 5 e in 10 parti uguali, confronta 15 e 110 e trova un quinto e un decimo di una quantità.
Rapporti e proporzioni
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- Rapporti e ripartizione in un rapportoCon barre di due colori vedi che cosa vuol dire 2 : 3, semplifichi dei rapporti e dividi una quantità in un rapporto dato.
- Proporzioni e riduzione all'unitàTrova una quantità mancante con la tabella di proporzionalità: prima la quantità per uno, poi per un numero qualsiasi. La proporzionalità inversa viene per ultima.
- Rapporto di similitudine e figure similiIngrandisci una figura con un rapporto di similitudine, riconosci figure simili, trova il rapporto e disegna una figura simile partendo da un lato.
- Variazioni percentuali, fattori moltiplicativi e prezzo inizialeLa quantità di partenza è una barra del 100 %. Un aumento allunga la barra (120 %), una diminuzione l'accorcia (85 %). Con le barre trovi i fattori moltiplicativi, le variazioni percentuali e i prezzi iniziali.
- Rapporti tra grandezze diverse: prezzo unitario, velocità e densitàUsa una tabella di proporzionalità per trovare la quantità «per ogni uno»: il prezzo al chilogrammo, i litri per ogni euro e la massa di ogni centimetro cubo.
- Scala, carte e pianteMisura su una carta e sulla pianta di una stanza con il righello e usa la scala per trovare le misure reali.
- Grafici della proporzionalità diretta e della proporzionalità inversaDisegna una proporzionalità diretta da una tabella, trova k da un punto, adatta y = kx a un punto con il cursore, riconosci il grafico della proporzionalità diretta e disegna una proporzionalità inversa.
- Approfondimento: proporzionalità compostaNella proporzionalità composta tre grandezze cambiano insieme. Nella tabella cambia una sola grandezza alla volta e decidi se ogni cambiamento è diretto o inverso.
- Spazio, velocità, tempo: s = v · tTrova lo spazio, la velocità e il tempo da una tabella e con le formule s = v · t, v = s : t, t = s : v.
- Due corpi in movimento e lavoro in comuneTrova la distanza tra due corpi che si muovono insieme e il tempo di un lavoro fatto in due, con una tabella e un piano di risoluzione.
- La divisione proporzionale e la grandezza che resta ugualeRisolvi problemi con la tabella prezzo, quantità, costo: la divisione proporzionale e la ricerca della grandezza che resta uguale a partire da due differenze o da due somme.
- Il quarto proporzionale e la doppia riduzione all'unitàRisolvi i problemi con il metodo dei rapporti e con la riduzione all'unità, e problemi in cui cambiano due grandezze.
- Figure simili: lunghezze, aree e volumiQuando una figura viene ingrandita con rapporto di similitudine k, le lunghezze diventano k volte più grandi, le aree k al quadrato volte e i volumi k al cubo volte. Usa una tabella per trovare la misura che manca.
- Lavoro: produzione all'ora, tempo, produzione totaleRisolvi problemi di lavoro: produzione all'ora × tempo di lavoro = produzione totale, con una tabella e con lo schema a triangolo.
- Il quarto proporzionale: la grandezza che resta ugualeRisolvi problemi con una grandezza che resta uguale (la massa di una cassetta, un prezzo, una massa totale): trovala prima, poi rispondi alla domanda.
- Processi: moto e lavoroRisolvi problemi di moto simultaneo e di lavoro in comune con un solo piano: velocità × tempo = spazio, rendimento × tempo = lavoro totale.
- Percentuali: la parte, il tutto, la percentualeTrova la parte, la percentuale o il tutto con la striscia delle percentuali, il metodo dell’unità e la moltiplicazione per la percentuale.
Denaro
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- Monete e banconoteRiconosci monete e banconote, forma una somma di denaro in modi diversi e scopri che avere più monete non vuol dire avere più soldi.
- Fare la spesa e dare il restoAddiziona i prezzi di un cestino, paga e trova il resto contando in avanti.
- La percentuale nel denaro: sconto, guadagno e perditaCon una barra del 100 % vedi quanto toglie uno sconto al prezzo e quale percentuale del costo guadagna o perde chi vende.
- Interesse semplice e interesse compostoSegui i risparmi anno per anno: con l'interesse semplice si aggiunge ogni anno la stessa somma, con l'interesse composto i soldi si moltiplicano sempre per lo stesso numero. Poi guarda come una cosa perde valore ogni anno.
- IVA, sconto di cassa, prezzo di vendita e per millePrezzo netto e prezzo lordo con l'IVA al 19 % e al 7 %, sconto commerciale seguito da sconto di cassa, schema del prezzo di vendita e per mille.
- Percentuale e punti percentualiChe differenza c'è tra «è salito del 5 %» e «è salito di 5 punti percentuali»: un tasso dal 20 % al 25 %, la quota di alunni con ottimi voti, un problema di banca.
- Prestiti: ammortamento all'italiana e alla francesePrendi un prestito e guarda il debito crescere e diminuire: restituito con quote di capitale uguali oppure con rate uguali. Confronta quanto paga alla fine chi ha chiesto il prestito.
Misure
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- Confrontare: più lungo, più pesante, più pienoQuale oggetto è più lungo? Quale è più pesante? Misura con graffette, spanne e bicchieri.
- Misurare lunghezza, massa e capacitàMisura con il righello, con la bilancia e con il misurino. Prima stima, poi misura.
- Orologio e calendarioGira le lancette dell'orologio, scrivi un'ora del pomeriggio con le 24 ore e trova i giorni sul calendario.
- perimetro e areaFai il giro di una figura per trovare il suo perimetro, ricoprila di quadretti per trovare la sua area, e scopri che due figure con la stessa area possono avere perimetri diversi.
- Un quarto d'ora e l'ordine del tempoSegna sull'orologio «e un quarto» e «meno un quarto», scrivi l'ora in due modi e decidi quale lavoro è durato di più.
- Le equivalenze tra unità di misuraTrasforma i metri in centimetri, i grammi in chilogrammi e i litri in millilitri. La striscia delle equivalenze ti aiuta.
- Area di triangoli, parallelogrammi, trapezi e cerchiSposta i pezzi per vedere perché l'area di un parallelogramma è base × altezza, perché il triangolo ne è la metà, completa un trapezio con una sua copia e stima l'area di un cerchio.
- Il volume del parallelepipedo rettangoloCostruisci scatole con cubetti unitari, conta i cubetti strato per strato e scopri perché il volume di un parallelepipedo rettangolo è lunghezza × larghezza × altezza.
- Per andare oltre: leggere la temperatura su un termometroLeggi un termometro e portalo su una temperatura sotto zero.
- Volume e area della superficie di prismi e cilindriRuota prismi e cilindri, trova la base, riempili strato per strato per capire perché volume = area di base × altezza e apri lo sviluppo per calcolare l'area laterale e l'area totale.
- Misurare con più precisione e la parte di un'unitàMisura con un'unità tutta tua, conta le piccole parti di un centimetro e trova il punto di mezzo di una linea.
- Piramidi, coni, sfere e solidi compostiVersa una piramide nel suo prisma e una sfera nel suo cilindro per vedere da dove vengono il 13 e i 23. Apri un cono in un settore circolare, trova il suo apotema con il teorema di Pitagora e calcola volume e superficie di una torre.
- Tubo, barattolo e scatola: problemi di volume e superficieArrotola un foglio a formare un tubo e dai la sua capacità in litri, confronta la lamiera per un barattolo e per una scatola, e trova il volume di una scatola aperta.
- Approssimazione e margini d'errore: estremo inferiore e superioreUna misura arrotondata sta in realtà dentro un intervallo. Disegna l'intervallo, poi usa gli estremi per trovare il risultato più grande e quello più piccolo.
- Misurare il tempo: minuti e secondiTrova l'ora di arrivo, calcola il tempo tra due orologi con le frecce sulla linea del tempo e trasforma secondi, minuti e ore.
- Chilometri, capacità e massa dell'acquaTrasforma metri e chilometri, distingui la capacità di un recipiente dal volume del liquido che contiene e scopri che un litro d'acqua è 1000 centimetri cubi e ha massa 1 kg.
- Area del rombo e del cerchioTrova l’area di un rombo con quattro triangoli e con le diagonali, scopri perché il rombo è metà del rettangolo che lo contiene e calcola l’area di un cerchio con i settori e con la formula pi greco × raggio × raggio.
- Metri e centimetri, chilogrammi e grammiLeggi e scrivi misure con due unità (325 cm = 3 m 25 cm), scegli l'unità adatta e leggi mezzo centimetro sul righello.
- Il decimetro e le operazioni con le misureScopri che 1 dm = 10 cm, misura nastri in decimetri e somma lunghezze date in decimetri e centimetri.
- Numeri denominati: le operazioniAddiziona, sottrai, moltiplica e dividi misure espresse con due unità: scrivile in una sola unità, fai il calcolo e riscrivi il risultato con due unità.
- Area del rettangolo e unità di misura delle areeCalcola l'area di un rettangolo con A = b · h, trova un lato incognito e impara le unità di misura delle aree: cm², dm², m², ara, ettaro.
- Il tempo: addizioni e sottrazioni con le misureTrasforma le unità di tempo più grandi in più piccole, addiziona o sottrai e scrivi il risultato con due unità. Trova quanto è durato un evento dall'inizio e dalla fine.
- Prismi, parallelepipedi e piramidi: proprietà, sezioni, troncoTrova la diagonale di un parallelepipedo, il volume di un prisma obliquo, l'area laterale di una piramide retta, il volume di un tronco di piramide e una sezione di una piramide.
- Sezioni di cilindro, cono e sfera, equazione della sferaTrova la diagonale di una sezione assiale e il raggio di una sezione di un cono; leggi centro e raggio da un'equazione della sfera.
- Prismi: problemi con angoli e diagonaliTrova l'altezza e lo spigolo laterale di un prisma retto da una diagonale e da un angolo, calcola la superficie laterale e dai le risposte con una radice.
- Piramidi: dove si proietta il verticeDa spigoli laterali uguali o da angoli diedri uguali, decidi in quale centro della base si proietta il vertice, poi trova l'altezza e la superficie laterale.
- Volumi dei solidi: problemiTrova il volume di un pezzo dall'innalzamento dell'acqua, il raggio di una sfera fusa e il volume di un solido ottenuto ruotando un triangolo o un trapezio. Lascia π nella risposta.
- Il perimetro di un poligonoTrova il perimetro del triangolo ABC e del rettangolo DMPK come somma delle lunghezze di tutti i lati.
- Lunghezza di un arco, area di un settore e di un segmento circolareTrova la lunghezza di un arco di n°, l’area di un settore circolare e quella di un segmento circolare, con l = πRn/180 e S = πR²n/360.
- Settore circolare, arco e segmento circolareUn settore circolare è α/360° del cerchio: trova la lunghezza dell'arco e l'area, trova l'angolo dalla lunghezza dell'arco e calcola l'area di un segmento circolare.
- Parti della sfera e prisma obliquoCalcola l'area di una zona sferica, il volume di un segmento sferico e di un settore sferico, e il volume di un prisma obliquo. Scrivi le risposte con π: 20π si scrive 20π.
- Unità di massa, velocità e superficieTrasforma tonnellate, quintali e chilogrammi, km/h in m/s ed ettari in chilometri quadrati, e scegli l'unità adatta.
- Quintali, tonnellate e secoliTrasforma tonnellate e quintali in chilogrammi e trova a quale secolo appartiene un anno.
Forme e geometria
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- Figure piane e simmetriaCostruisci un triangolo e un quadrato sul geopiano, trova i triangoli e traccia un asse di simmetria.
- Angoli, cerchio, rettangolo e simmetriaConta gli angoli, trova la figura senza angoli, disegna un rettangolo, piega una figura e dividila in parti uguali.
- SolidiRiconosci il cubo, il parallelepipedo rettangolo, il cilindro, il cono, la sfera e la piramide, conta facce e spigoli e disegna lo sviluppo di un cubo.
- Rette, semirette, segmenti e angoliTrova le semirette, disegna rette parallele e perpendicolari su un foglio a puntini e confronta gli angoli con l'angolo retto di un foglio.
- Triangoli e quadrilateriClassifica i triangoli secondo i lati e gli angoli, scopri la famiglia dei quadrilateri e traccia le diagonali di un rombo.
- Poligoni e somma degli angoliTrova i poligoni regolari, scopri la somma degli angoli di un triangolo e dividi i poligoni in triangoli per trovare la somma dei loro angoli.
- Misurare gli angoli con il goniometroLeggi e disegna gli angoli con il goniometro. Trova gli angoli adiacenti su una retta, gli angoli opposti al vertice e la bisettrice.
- Circonferenza, raggio, diametro e pi grecoMisura il diametro e il raggio di una circonferenza. Avvolgi un nastro intorno al cerchio e scopri quante volte il diametro sta nella lunghezza della circonferenza.
- Costruzioni con riga e compassoUsa il compasso e la riga per costruire corde e archi, l'asse del segmento, la bisettrice e triangoli di cui conosci i lati.
- Angoli e rette paralleleTrascina e ruota due rette parallele e una trasversale per vedere quali angoli restano sempre uguali, quali hanno somma 180° e che cosa succede quando le rette non sono parallele. Poi usa una parallela per capire perché la somma degli angoli di un triangolo è 180°.
- Disuguaglianza triangolare; mediane, altezze e bisettriciCostruisci un triangolo con tre bastoncini e scopri quali terne di lunghezze formano un triangolo e quali no. Poi verifica una mediana, un'altezza e un asse su un triangolo che deformi tu e guarda dove si incontrano sempre le tre mediane.
- Figure congruenti e triangoli congruentiFai scivolare, ruotare e ribaltare una figura fino a sovrapporla a un'altra. Poi abbina i vertici corrispondenti di due triangoli, scegli il criterio di congruenza, scrivi una dimostrazione riga per riga e trascina un controesempio che mostra perché LLA non è un criterio.
- teorema di Pitagora e il suo inversoCostruisci quadrati sui lati di un triangolo rettangolo e confronta le loro aree, scopri perché il teorema è vero con quattro copie del triangolo, trova un lato mancante, usa il teorema inverso per riconoscere un angolo retto e segna √2 sulla retta numerica con il compasso.
- Ragionare e dimostrare in geometriaTrascina un triangolo isoscele e vedi che gli angoli alla base restano sempre uguali. Poi dimostralo con le motivazioni, usalo in una nuova dimostrazione e mostra che un'altra affermazione è falsa con un controesempio.
- Il teorema di Talete e i triangoli similiFai scorrere una retta parallela a un lato di un triangolo e vedi che il rapporto con cui divide gli altri due lati resta sempre uguale. Poi prova il teorema inverso, i triangoli simili e il rapporto di similitudine.
- luogo geometricoTrova tutti i punti che sono a una distanza data da un punto, da un segmento, da due punti o dai due lati di un angolo, e guarda la figura che formano. Poi colora, con il compasso, la regione che soddisfa due condizioni insieme.
- Rette e circonferenze, angoli al centro e alla circonferenza, tangentiFai scorrere una retta su una circonferenza e guarda quando la taglia, quando la tocca soltanto e quando la manca. Avvicina due circonferenze, ruota una tangente e scopri che l'angolo alla circonferenza è sempre la metà dell'angolo al centro.
- Poligoni inscritti, circonferenza inscritta e lunghezze in un cerchioCostruisci la circonferenza circoscritta e quella inscritta di un triangolo e scopri dove stanno i loro centri. Poi trascina i vertici di un quadrilatero inscritto in una circonferenza e metti alla prova due corde che si incrociano: quale relazione resta sempre vera?
- Viste dei solidi e Pitagora nello spazioRuota una torre di cubetti, riconosci la sua vista frontale, laterale e dall'alto e disegnale su una griglia. Poi trova la diagonale del parallelepipedo di una scatola usando due volte il teorema di Pitagora.
- Approfondimento: teoremi sul triangolo rettangoloIn un triangolo rettangolo con un angolo di 30°, il cateto opposto a quell'angolo è la metà dell'ipotenusa; anche la mediana relativa all'ipotenusa è la metà dell'ipotenusa. Osserva i due risultati, dimostrane uno e usali.
- Assiomi, segmenti e teoremiScopri che per due punti passa una sola retta e che AB = AC + CB, trova il punto medio di un segmento e distingui un teorema dal suo inverso.
- Extra: la tassellazioneSistema copie di un poligono regolare attorno a un punto e scopri quali si incastrano senza buchi e senza sovrapposizioni, perché il pentagono regolare lascia un vuoto e come si pavimenta con due tipi di poligoni.
- Approfondimento: poliedri regolari e sezioniRuota un poliedro regolare, conta facce, vertici e spigoli e scopri che V − S + F = 2. Poi taglia un cubo con un coltello e guarda quali figure può avere una sezione.
- Angolo esterno, lati e angoli, triangoli rettangoliScopri che l'angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti, che all'angolo maggiore sta opposto il lato maggiore e usa i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli.
- Corde, luoghi geometrici e le quattro fasi di una costruzioneScopri che il segmento che unisce il centro al punto medio di una corda è perpendicolare alla corda, trova la distanza del centro da una corda e conta le soluzioni di una costruzione per luoghi.
- Le coniche: tagliare un conoTaglia un cono con piani diversi e vedi da dove vengono la circonferenza, l'ellisse, la parabola e l'iperbole. Poi guarda quale curva dà il rapporto tra la distanza dal fuoco e la distanza dalla direttrice.
- Poligoni regolari e circonferenza exinscritta di un triangoloTrova il lato e l'apotema di un poligono regolare a partire dal raggio della circonferenza circoscritta o inscritta, poi il raggio della circonferenza exinscritta di un triangolo.
- Rette e piani nello spazioUsa un parallelepipedo per vedere come possono stare due rette nello spazio: parallele, incidenti o sghembe. Poi guarda una retta e un piano, una retta perpendicolare a un piano e l'angolo tra due rette sghembe.
- Geometria nello spazio: postulati e sezioniFai passare un piano per tre punti, trova la retta in cui due piani si intersecano, riconosci una retta parallela a un piano e dai il nome alla forma di una sezione di cubo.
- Piani paralleli, proiezione e perpendicolariControlla se due piani sono paralleli, confronta i segmenti tra piani paralleli, trova la lunghezza di una proiezione parallela e la distanza di un punto da un piano.
- Simmetrie dei poligoni, angoli interni ed esterniConta gli assi di simmetria dei poligoni regolari, trova l'angolo in ogni vertice e scopri perché gli angoli esterni sommano sempre 360 gradi.
- Teoremi sulla circonferenza e teorema della bisettriceDimostra che le due tangenti condotte da un punto a una circonferenza sono congruenti, e scopri che la bisettrice di un angolo di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati.
- Perpendicolare e parallela per un punto, e costruzioni da datiDa un punto fuori da una retta, costruisci la perpendicolare e la parallelo. Poi costruisci con il compasso un rombo e un triangolo isoscele, analizzando prima il problema.
- Costruire un angolo e triangoli con riga e compassoCostruisci un angolo uguale a uno dato, un triangolo con due lati e l'angolo compreso, con un lato e i due angoli adiacenti, e un triangolo rettangolo con un cateto e l'ipotenusa.
- I luoghi geometrici nei problemi di costruzione: un punto, una circonferenza, un triangoloTrova il punto cercato come intersezione di due luoghi geometrici. Tre problemi: un punto su una retta a distanza data da un'altra retta, una circonferenza tangente a una retta in un punto dato e un triangolo di cui si conoscono un lato e il raggio della circonferenza circoscritta.
- La dimostrazione per assurdoImpara a dimostrare i teoremi per assurdo: supponi che la tesi sia falsa, arriva a una contraddizione e concludi.
- Ceva, Menelao, Tolomeo e la retta di EuleroApprofondimenti di geometria: quando tre ceviane passano per uno stesso punto, quando tre punti sono allineati, il prodotto delle diagonali di un quadrilatero inscritto in una circonferenza e la retta di Eulero.
- Semirette, segmenti e diagonaliDai un nome ai punti con le lettere, alle semirette e ai segmenti, disegna un segmento di lunghezza data e conta le diagonali di un poligono risolvendo prima un problema più semplice.
- La simmetria e la piegatura della cartaConta le figure simmetriche con l'asse di simmetria, disegna l'immagine speculare e prevedi la forma dopo aver piegato e ritagliato la carta.
- Risolvere problemi di geometria: ipotesi, tesi e pianoSepara l'ipotesi dalla tesi, fai un piano prima di scrivere una dimostrazione, trova il cammino più breve con la perpendicolare e il teorema di Pitagora e osserva le applicazioni al cerchio.
- Relazioni metriche nel triangolo rettangolo e proprietà delle proporzioniTraccia l'altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo e osserva che AH² = BH×HC. Trova un lato con questa relazione, usa la proprietà del comporre di una proporzione e ricava il teorema di Pitagora dalla stessa figura.
- Semicirconferenza, circonferenza circoscritta e tangenteDimostra che un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo (e il suo inverso), trova la circonferenza circoscritta a un triangolo e costruisci una tangente con la circonferenza di diametro PM.
- Circonferenza e cerchioDistingui la circonferenza dal cerchio, trova il centro e i raggi e segna i punti che stanno sulla circonferenza.
- Costruire triangoli con un pianoFigura di analisi, descrizione numerata e numero di soluzioni nelle costruzioni di triangoli, anche con un'altezza.
- Enunciato, inverso e dimostrazioneDividi un teorema in ipotesi e tesi, scrivi il teorema inverso e smentiscilo con un controesempio, poi dimostra e usa il teorema di Pitagora.
- Disegno dei solidi in assonometria cavalieraAccorcia gli spigoli in profondità con il fattore q, trova i disegni sbagliati e ricava le misure vere da un disegno in assonometria.
- Omotetia nel piano cartesianoCalcola le immagini di punti e rette in un’omotetia con le coordinate, trova il rapporto k e il baricentro di un triangolo.
- Perpendicolare e obliqua, angolo retta-piano, angolo diedroTrova la lunghezza di un segmento obliquo dalla perpendicolare e dalla sua proiezione, misura l'angolo tra una retta e un piano e un angolo diedro con la sua sezione normale, poi mostra che due piani sono perpendicolari.
- Parallelogramma, rettangolo, rombo e quadratoImpara gli elementi di un quadrilatero, le proprietà e i criteri del parallelogramma e le diagonali di un rettangolo e di un rombo.
- Il trapezio, la base media, il quadrilatero circoscritto e l'area del trapezioScopri le proprietà del trapezio isoscele, la base media, il criterio per un quadrilatero in cui si può inscrivere una circonferenza e l'area del trapezio.
- Il secondo e il terzo criterio di similitudine dei triangoliRiconosci triangoli simili da due lati e l'angolo compreso o da tre lati, calcola un lato incognito ed evita la trappola di un angolo che non è compreso tra i lati.
- Il segmento, la sua lunghezza e la rettaConfronta segmenti sovrapponendoli, trova la lunghezza di AB da due parti, misura la distanza tra due punti e scopri quante rette passano per due punti.
- Poligoni, figure congruenti, area, ara ed ettaroDai un nome a un poligono con i suoi vertici, trova la figura congruente sovrapponendola a un'altra, impara che figure congruenti e figure con la stessa area sono cose diverse e trasforma l'area di un campo in ettari. La formula dell'area del rettangolo A = b×h è nel laboratorio della classe 4.
- Cilindro e cono: basi e sviluppoTrova le basi di un cilindro e di un cono e calcola l'area laterale del cilindro dal suo sviluppo.
- Punto, linea retta, linea curva, semiretta, segmento, linea spezzataTrova punti, linee rette e linee curve in un disegno. Dai un nome alle parti di una linea formate dai punti e misura la lunghezza di una linea spezzata. Classe 1 della primaria.
- Secanti e tangenteDa un punto P fuori da una circonferenza si tracciano due secanti, oppure una secante e una tangente. I prodotti dei segmenti coincidono: PA · PB = PC · PD e PT² = PA · PB.
- Rette parallele che incontrano un piano e proiezione parallelaTrova le lunghezze di segmenti su rette parallele che incontrano un piano e i rapporti tra segmenti nella proiezione parallela.
- Raddoppiare la mediana e il teorema di VarignonProlunga una mediana per ottenere un parallelogramma e dimostrare una limitazione per la mediana; unisci i punti medi dei lati di un quadrilatero qualsiasi e guarda che figura compare.
- Rapporti tra aree di triangoliConfronta le aree senza calcolarle: triangoli con la stessa altezza hanno aree in rapporto come le basi, una mediana divide il triangolo in due parti equivalenti e un vertice che si muove su una parallela alla base non cambia l'area.
- La similitudine nella pratica: l'altezza dall'ombra, una distanza inaccessibileUsa i triangoli simili per misurare sul terreno: l'altezza di un albero dalla sua ombra, una distanza al di là di un fiume e il rapporto tra le aree di figure simili. Scrivi le soluzioni con Dati, Richiesta, Risoluzione, Risposta.
- Angoli formati da corde, secanti e tangenteUn angolo con il vertice non sulla circonferenza si misura con gli archi: tra due corde che si incrociano, metà della somma degli archi; tra due secanti, metà della differenza; tra una tangente e una corda, metà dell'arco.
- Due circonferenze e le loro tangenti comuniLa posizione di due circonferenze dipende dalla distanza d tra i centri e dai raggi R e r: sposta una circonferenza e osserva quanti punti comuni e quante tangenti comuni ci sono.
- Ripasso di geometria solidaScegli il passo giusto di una dimostrazione sulle rette sghembe, poi risolvi problemi sull'angolo tra due rette, sulla proiezione parallela e sulla perpendicolare a un piano.
- Verifica: poliedri, solidi di rotazione, volumiTest a risposta multipla con le opzioni A, B, C, D sull'area laterale di un prisma, di un cilindro e di un cono, e sul volume di una sfera.
- Poliedri: facce, spigoli, verticiTrova le basi, le facce laterali e gli spigoli di una piramide, di un prisma e di un parallelepipedo rettangolo, e conta le loro facce e i loro spigoli.
- Area della proiezione ortogonale di un poligonoUsa il teorema sull'area di una proiezione, S′ = S · cos α, per trovare l'area di una proiezione o quella del poligono stesso.
- Dove una retta incontra un piano, dove due piani si incontranoCostruisci il punto in cui una retta incontra il piano di base di un cubo e la retta lungo cui si incontrano due piani di un tetraedro, usando i postulati della geometria solida.
- Un punto equidistante dai vertici o dai lati di un poligonoSe M è alla stessa distanza dai vertici di un triangolo, la sua proiezione è il circocentro; se è alla stessa distanza dai lati, è l'incentro. Trova la distanza di M dal piano.
- Angolo, angolo retto, rettangolo e quadratoDai un nome a un angolo con le lettere, trova un angolo retto con la squadra, distingui un rettangolo dagli altri quadrilateri e un quadrato dagli altri rettangoli.
- Poligoni regolari: angolo, numero dei lati, costruzioneTrova il numero dei lati di un poligono regolare dal suo angolo, verifica se esiste e costruisci un esagono con corde uguali al raggio R e un poligono di 2n lati.
- Simmetria e ingrandimento nello spazioTrova l'immagine speculare di un punto rispetto a un piano, calcola come cresce un volume in un'omotetia e trova tutti i piani di simmetria di un cubo e di una sfera.
- Poliedri, sviluppi e percorsi più breviDecidi quali poliedri sono convessi, usa la formula di Eulero, apri un prisma e trova il percorso più breve di un ragno su un mattone.
- Solidi inscritti e circoscrittiTrova il raggio di una sfera inscritta in un cubo o in un cono, e di una sfera circoscritta a un parallelepipedo rettangolo, e il volume di un cilindro circoscritto a un prisma.
- Disegnare sul foglio a quadrettiDisegna sul foglio a quadretti come sul quaderno: un segmento di lunghezza data, un quadrato, un rettangolo e una figura con un perimetro dato.
- Costruzioni di cubetti: pianta e visteLeggi lo schema con le altezze, disegna la vista frontale e quella dall'alto e scopri quanti cubetti può avere al massimo una costruzione.
- Carta quadrettata: costruzioni, percorsi e area contando i quadrettiCostruisci un rettangolo sul reticolo, misura la lunghezza di un percorso, trova l'area di una figura contando i quadretti e stima l'area di una figura rotonda.
- Squadra, righello e goniometroTraccia una perpendicolare e una parallela con la squadra, misura e disegna angoli con il goniometro e traccia l'altezza di un triangolo.
- Tassellazioni e fregiConta le figure intorno a un punto di una tassellazione, continua un fregio con una traslazione e con una simmetria, trova gli assi di simmetria.
- Trasformazioni in successioneApplica due trasformazioni una dopo l'altra, trova il luogo descritto da un punto che si muove e osserva l'importanza dell'ordine.
Posizione e direzione
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- Orientarsi: posizione, direzione e giriTrova la sinistra e la destra, sopra, sotto e in mezzo. Poi fai girare una freccia di un quarto di giro, di mezzo giro e di tre quarti di giro.
- coordinate e traslazioneDisegna punti a partire dalle loro coordinate, trova il vertice mancante di una figura e trasla le figure su una griglia.
- Simmetria assiale, rotazione e simmetria centraleSegna punti nei quattro quadranti, trova il simmetrico di una figura rispetto a un asse, ruotala attorno a un punto e scopri le figure che hanno un centro di simmetria.
- Trasformazioni e ingrandimentoScopri quali trasformazioni conservano lunghezze, angoli e verso, ingrandisci una figura da un centro con rapporto 2 e con rapporto 12, trova il centro di un ingrandimento e osserva che cosa succede all'area.
- Simmetria assiale e rotazioneCostruisci il simmetrico di una figura rispetto a una retta verticale, a una retta obliqua e all’asse x, completa una figura a partire da metà, ruota figure attorno a punti diversi e trova le coordinate dell’immagine.
- Comporre le isometrie, simmetria e il trucco della riflessioneIncontra due simmetrie assiali di seguito, la glissosimmetria, gli assi di simmetria di un poligono e il percorso più breve trovato con una simmetria.
Regolarità e successioni
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- Ritmi, regolarità e successioni di numeriFigure e numeri che seguono una regola. Trova la regolarità, continuala e correggila.
- Macchine ingresso-uscita e regole delle successioniUn numero entra in una macchina e un altro ne esce. Scopri che cosa fa la macchina, poi cerca la regola di una successione di numeri.
- Termine generale di una regolarità e progressione geometricaDalla regolarità degli stecchini costruisci una tabella, trova il termine generale e con quello conta la figura numero venti senza disegnarla. Poi guarda le successioni in cui si moltiplica ogni volta.
- Successioni, termine generale e ricorrenzaUsa la notazione aₙ per trovare i termini, costruisci una successione con una relazione di ricorrenza, riconosci una successione periodica e conta i numeri triangolari.
- Sigma e somme di serieLeggi la notazione Σ, trova le somme di serie aritmetiche e geometriche e scopri perché una somma infinita può essere un numero.
- Somme particolari, differenze e problemiCostruisci la somma dei quadrati, calcola una somma con il metodo delle differenze, trova il termine generale di una successione quadratica e risolvi un problema concreto con una progressione aritmetica.
- Grafico di una successione, monotona e limitataDisegna una successione come punti (n; a_n): una progressione aritmetica sta su una retta, una geometrica su una curva. Poi decidi se una successione cresce sempre e se resta sotto un limite.
- Schemi di numeri: serie di addizioni, numeri palindromi e piramidi di numeriContinua serie di addizioni, trova la regola, costruisci numeri palindromi e calcola il mattone che manca in una piramide di numeri.
Algebra
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- Ordine delle operazioni, lettere e formuleCalcola le espressioni un passo alla volta, nell’ordine giusto. Poi usa una lettera al posto di un numero e lavora con le formule.
- Espressioni letterali, termini simili e sostituzioneCostruisci espressioni con le tessere, raggruppa i termini simili, togli le coppie nulle e poi sostituisci x con un valore.
- Risolvere equazioni di primo grado con la bilanciaUn'equazione è una bilancia. Prova dei valori, poi risolvi equazioni con la x da una parte o da tutte e due, con frazioni e parentesi, facendo la stessa operazione sui due piatti.
- Scrivere e risolvere equazioni partendo dai problemiUna lettera indica l'incognita: trasforma il problema in un'equazione, risolvila, poi controlla la risposta nella storia.
- Eliminare le parentesi e scomporre in fattoriGuarda una parentesi come un rettangolo: elimina le parentesi colorando l’area con le tessere, poi vai al contrario e trova i lati di un rettangolo per scomporre in fattori.
- Prodotto di binomi e identitàMoltiplica due parentesi come un rettangolo di tessere e con una tabella, scopri perché (a + b)² ha due strisce ab e distingui un'identità da un'equazione.
- Disequazioni, intervalli e come risolverleMostra le soluzioni di una disequazione sulla retta numerica: pallino pieno o vuoto, segmento o semiretta. Poi risolvi disequazioni e scopri perché moltiplicando per un numero negativo il segno si capovolge.
- Espressioni letterali: forma normale, sottrarre, moltiplicareScrivi un'espressione letterale nell'ordine abituale, sottrai con le parentesi, moltiplica tre termini per due in una griglia ed eleva un prodotto a una potenza.
- Sistemi di due equazioni di primo gradoTrova il punto che rende vere due equazioni insieme: leggilo nell’incontro di due rette, traccia la seconda retta, elimina un’incognita, scopri le rette parallele e calcola il valore esatto quando il grafico dà solo un valore approssimato.
- Scomporre i trinomi di secondo grado e altre identitàDisponi le tessere di un'espressione di secondo grado in un rettangolo per trovare le sue due parentesi, riconosci le coppie di zeri quando ci sono i negativi, raccogli prima il fattore comune e scopri l'identità della somma di due cubi.
- Equazioni in due incognite e sistemiTrova le coppie che soddisfano un'equazione in due incognite, disegna il suo grafico, costruisci un sistema da un problema e trovane la soluzione.
- Frazioni algebricheScomponi in fattori numeratore e denominatore di una frazione algebrica e semplifica i fattori interi. Trova i valori che x non può assumere, poi addiziona, sottrai e dividi frazioni algebriche con un denominatore comune.
- Raccoglimento parziale e cubi: la scomposizione in fattoriScomponi un polinomio di quattro termini con il raccoglimento parziale, scomponi somme e differenze di cubi e scegli da dove partire quando vanno bene più metodi.
- Equazioni di secondo grado: scomposizione, completamento del quadrato, formula risolutivaRisolvi le equazioni di secondo grado scomponendo, completa il quadrato con le tessere come faceva al-Khwarizmi e usa il discriminante per vedere quante soluzioni ci sono.
- Polinomi e divisione tra polinomiApprofondimento: il grado e la forma ordinata di un polinomio, poi la divisione tra polinomi completando una tabella di moltiplicazione al contrario, con resto e con potenze mancanti.
- La regola di Ruffini e le radici intereDividi un polinomio per x − a con la tabella di Ruffini, trova il resto e le radici intere tra i divisori del termine noto.
- Studio del segno e disequazioni fratteScopri dove un'espressione è positiva e dove è negativa: segna gli zeri, riempi la tabella dei segni sotto la retta e leggi la soluzione di una disequazione come x − 1x + 2 ≥ 0.
- Disequazioni in due incognite e semipianiTraccia la retta di confine, scegli se è continua o tratteggiata, prova un punto e colora la regione; poi trova la regione che vale per due o tre disequazioni insieme.
- Disuguaglianze numeriche e loro proprietàConfronta i numeri con il segno della differenza a − b, dimostra disuguaglianze, somma le disuguaglianze membro a membro e stima il valore di un’espressione.
- Sistemi di disequazioni lineari in una variabileRisolvi ogni disequazione di un sistema, rappresenta le soluzioni sulla retta e trova la loro parte comune: un segmento, un solo numero o l'insieme vuoto.
- Sistemi di equazioni in due incogniteTrova le soluzioni di un sistema con un’equazione di secondo grado come punti comuni dei grafici, risolvilo per sostituzione e scrivi un sistema da un problema.
- Sistemi di equazioni: il metodo di sostituzioneSostituisci l'espressione di un'incognita nell'altra equazione, tieni la parentesi, ricava prima un'incognita e controlla il risultato sul grafico e in tutte e due le equazioni.
- Equazioni fratte e irrazionaliRisolvi equazioni con le frazioni e equazioni con la radice quadrata, e scarta le soluzioni estranee con la verifica.
- Somma e prodotto delle radici, equazioni biquadratiche, retta e parabolaLeggi la somma e il prodotto delle radici dai coefficienti, risolvi un'equazione con x alla quarta cambiando lettera e trova dove una retta incontra una parabola.
- Teorema del resto, teorema di Ruffini e radici dei polinomiTrova un resto senza dividere, riconosci un fattore con il teorema di Ruffini, trova le radici di un polinomio di terzo grado e leggi i coefficienti dalle radici.
- Disequazioni di secondo grado e parametriRisolvi disequazioni di secondo grado con il segno dei fattori e scopri come una lettera in un'equazione trasforma «quante soluzioni ha?» in una disequazione.
- Ricavare una lettera da una formulaPorta una lettera da sola in una formula: usa le stesse operazioni della bilancia, ma con le lettere.
- Binomio con esponente qualsiasi: approssimazioniUsa i primi termini dello sviluppo del binomio per stimare radici e reciproci di numeri vicini a 1.
- Parabola per tre puntiImposta e risolvi un sistema di tre equazioni lineari nelle incognite a, b, c e controlla la parabola sul suo grafico.
- Equazioni: la regola del termine incognitoScrivi un'equazione a partire da un problema, risolvila con la regola del termine incognito e verifica sostituendo. Sezione: classi 3–5 della primaria, termine incognito di un'operazione; formule e soluzione di un'equazione per la secondaria sono in un altro laboratorio.
- Operazioni con le frazioni algebriche: sottrazione, denominatori opposti, potenze, identitàSottrai frazioni algebriche cambiando i segni, trova i fattori di completamento, tratta i denominatori opposti, eleva una frazione a potenza e dimostra un'identità.
- Equazioni equivalenti, equazioni fratte e problemiScopri che cosa sono le equazioni equivalenti e una soluzione non accettabile, risolvi un'equazione fratta con la verifica e imposta le equazioni per i problemi di moto e di lavoro.
- Equazioni di secondo grado incomplete e trinomio di secondo gradoRisolvi i tre tipi di equazione di secondo grado incompleta, trova le radici di un trinomio di secondo grado e scomponilo usando il coefficiente di x².
- Formule, equazioni e soluzione di un'equazioneUsa la formula dello spazio, trova il termine che manca in un'operazione, verifica una soluzione sostituendola, porta un termine dall'altra parte cambiando segno e scopri quando ax = b non ha soluzione. Sezione: classi 5 primaria – 2 secondaria di primo grado, formule, soluzione di un'equazione, ax = b.
- I sistemi di equazioni come modello dei problemiTraduci problemi su moto, lavoro, cifre e rettangoli in equazioni: dai un nome alle incognite x e y, scrivi il sistema, risolvilo e controlla che la risposta sia adatta al problema.
- Espressioni con una letteraUna lettera al posto del quadratino dà un'espressione con una variabile. Sostituisci il valore della lettera e calcola il valore dell'espressione.
- Disuguaglianze con una variabile: come cambia il risultatoRisolvi le disuguaglianze con una variabile in due modi: per tentativi e riconducendole a un'uguaglianza. Scrivi la risposta con i puntini di sospensione.
- Il metodo degli intervalli (studio del segno)Segna le radici sulla retta numerica, metti un segno su ogni intervallo e leggi la soluzione di una disequazione come (x + 1)x − 4x − 2 ≤ 0.
- Equazioni parametricheUn parametro è un numero che non è dato ma è fissato. Guarda il grafico e distingui i casi: per quali a ci sono soluzioni, e quante?
- Moltiplicare e dividere le frazioni algebricheMoltiplica e dividi frazioni algebriche: scomponi, semplifica, trasforma la divisione in moltiplicazione per il reciproco e indica i valori della lettera che non sono ammessi (condizioni di esistenza).
- Parte intera di una frazione ed equazioni nei numeri interiSepara la parte intera di una frazione algebrica, trova ultime cifre e resti delle potenze con il loro ciclo e risolvi equazioni nei numeri interi.
- Equazione di secondo grado con un parametroSposta a e guarda la parabola salire e scendere: il numero delle soluzioni dipende dal discriminante, i segni delle soluzioni dalla somma e dal prodotto delle radici.
- Disequazioni irrazionali e sistemi equivalentiRisolvi le disequazioni con una radice quadrata trasformandole in un sistema equivalente, tenendo conto della condizione di esistenza e del segno del secondo membro.
- Sistemi e insiemi di disequazioni; sistemi esponenziali e logaritmiciDistingui «e» (un sistema, la parte comune) da «o» (l'unione), risolvi sistemi misti e sistemi di equazioni esponenziali e logaritmiche.
- Problemi: miscugli, leghe e percentualiCostruisci una tabella «prima / dopo» per una soluzione, una lega e un prezzo, scegli x in modo che la condizione sia vera e controlla che la risposta abbia senso nel problema.
- Struttura delle espressioni e ordine delle operazioniDai il nome all'operazione principale di un'espressione, esegui i passaggi nell'ordine giusto e inserisci le parentesi per cambiare il risultato.
- Equazioni con il quadratino e operazioni inverseScrivi una storia come equazione con il quadratino, trova il numero con l'operazione inversa, risolvi gli indovinelli all'indietro e fai la verifica.
Geometria analitica
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- Coefficiente angolare, intercetta e y = mx + qMisura la pendenza di una retta con il triangolo dei passi, imposta m e q con i cursori, traccia una retta da una tabella di valori e trova l’equazione della retta passante per due punti.
- Equazioni della retta, rette parallele e perpendicolari, distanza e punto medioPassa dalla forma implicita di una retta a y = mx + q, traccia rette parallele e perpendicolari, calcola la distanza tra due punti con il teorema di Pitagora e il punto medio come media.
- Dividere un segmento in un rapporto e distanza di un punto da una rettaTrova il punto che divide un segmento in un rapporto dato e la distanza di un punto da una retta con la formula.
- Area di un triangolo con le coordinate e problemi di geometriaTrova l'area di un triangolo dalle coordinate dei suoi tre vertici e usa le coordinate per risolvere problemi di geometria.
- La circonferenza: equazione, retta e circonferenza, tangenteCostruisci e leggi l'equazione di una circonferenza, trova dove una retta incontra una circonferenza e lavora con la tangente e con la sua lunghezza.
- Le coniche e la parabolaRiconosci la parabola come l'insieme dei punti equidistanti da un fuoco e da una retta direttrice e leggi la sua equazione con il vertice nell'origine e in un punto qualunque.
- L'ellisse, l'iperbole e una retta rispetto a esseTrova i fuochi di un'ellisse e di un'iperbole dall'equazione, costruisci un'ellisse con il centro in un punto qualsiasi, traccia l'asintoto di un'iperbole e metti alla prova una retta con una parabola.
- Equazioni parametriche e coordinate polariDisegna una curva da equazioni parametriche punto per punto, elimina il parametro, descrivi un moto e trasforma coordinate polari in coordinate cartesiane.
- Il coefficiente angolare di una retta e i vettori paralleliTrova il coefficiente angolare m a partire dall’angolo che la retta forma con l’asse delle ascisse (m = tg α, anche per un angolo ottuso), le rette perpendicolari e un vettore parallelo a un vettore dato.
- Una retta e gli assi: triangolo, perimetro e areaTrova dove una retta ax + by = c incontra gli assi, il perimetro e l'area del triangolo che stacca, e dove si incontrano due rette.
- Area con il determinanteCalcola l'area di parallelogrammi e triangoli a partire da vettori e coordinate, con il determinante di ordine due.
- Coordinate di un punto nello spazioCapisci dove si trova un punto, poi trova dalle coordinate la distanza tra due punti, il punto medio di un segmento e il punto simmetrico.
Funzioni e grafici
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- Relazioni, coppie ordinate e funzioniRappresenta una relazione con un diagramma sagittale, disegna le sue coppie ordinate, decidi quali relazioni sono funzioni e prova il test della retta verticale su un grafico.
- Grafici dalla vita reale, velocità e crescitaLeggi un grafico spazio-tempo per capire le soste e le velocità, disegna il grafico di una passeggiata, abbina una bottiglia che si riempie al suo grafico e confronta la crescita che raddoppia con quella costante.
- Grafici di funzione quadraticaCompleta la tabella di y = x2 − 2x − 3 anche con x negativa e disegna i punti, scopri perché il fondo di una parabola è arrotondato, leggi sul grafico gli soluzione di un'equazione, l'intersezione con l'asse y e il vertice, e guarda che cosa fa a in y = ax2.
- Notazione delle funzioni, dominio e immagineCalcola i valori di f(x) da una regola, trova il valore di x che dà un risultato, scrivi il dominio di una frazione e di una radice quadrata e leggi l'insieme immagine da un grafico.
- Valore assoluto e parte interaScopri il valore assoluto in una tabella e su una curva, risolvi un'equazione con valore assoluto come due punti di intersezione con una retta, leggi i gradini della funzione parte intera e disegna il prezzo di una corsa in taxi che aumenta a scatti.
- Funzioni crescenti, decrescenti, pari e dispariTrova gli intervalli in cui un grafico sale o scende, rifletti punti rispetto all'asse y e rispetto all'origine, e usa f(−x) per verificare se una funzione è pari, dispari o né l'una né l'altra.
- Somma, composizione e inversa di funzioniSomma due funzioni, rispetta l’ordine in una funzione composta, trova l’inversa di un programma di calcolo ripercorrendo i passaggi al contrario, costruisci il grafico dell’inversa per simmetria rispetto a y = x e usa una retta orizzontale per vedere quali funzioni hanno un’inversa.
- Traslare, ribaltare e dilatare i graficiSposta con i cursori il grafico di y = (x − h)² + k, leggi il vertice di una parabola, scopri dove f(2x) manda un punto e combina più trasformazioni su una parabola.
- Funzione cubica, grafico di un polinomio e asintotiCompleta la tabella di una funzione cubica e disegnala, costruisci il grafico di un polinomio dagli zeri e dall'intersezione con l'asse y e mostra con una retta gli asintoti verticale e orizzontale di una funzione razionale.
- La funzione lineare: formula, tabella, graficoDefinisci una funzione con una formula, una tabella e un grafico, traccia una retta da m e q, trova lo zero di una funzione e dove è positiva.
- Funzione quadratica e proprietà delle funzioniTrova il vertice di una parabola con la formula, leggi le proprietà di una funzione sulla sua curva e trova l’insieme delle immagini.
- Il numero e, crescita e decadimentoGuarda perché (1 + 1n)n si ferma vicino a e, sovrapponi il grafico di y = a·ex a una curva data e costruisci modelli di crescita e di decadimento.
- Funzioni esponenziali con una base qualsiasi ed equazioni esponenzialiCompila una tabella di 2^x, osserva che con una base maggiore di 1 la curva sale e con una base tra 0 e 1 scende, e risolvi un'equazione esponenziale scrivendo i due membri con la stessa base.
- Logaritmi e grafico del logaritmoScopri che un logaritmo è l'esponente a cui elevare la base, costruisci il grafico del logaritmo come simmetrico del grafico dell'esponenziale rispetto alla bisettrice.
- Proprietà dei logaritmi ed equazioniScopri le proprietà del logaritmo di un prodotto e di una potenza, risolvi un’equazione logaritmica e rendi rettilinei dei dati con i logaritmi.
- Funzioni a tratti, funzione segno e proprietà del valore assolutoLeggi una funzione definita a tratti, disegna la funzione segno, costruisci y = |x − 1| + 2 spostando la V e leggi le disequazioni con il valore assoluto da un grafico.
- Valore massimo e minimo, funzioni potenzaTrova il valore più grande e quello più piccolo di una funzione su un insieme, confronta i grafici di y = xⁿ per n pari e dispari e conosci il grafico di y = x⁻ⁿ.
- Iperboli traslateTrasla l'iperbole con b e c, leggi gli asintoti, il dominio e l'immagine, e calcola l'intersezione con l'asse y.
- Famiglie di rette e di paraboleFai scorrere il parametro di una famiglia, trova il luogo dei vertici e risolvi il problema della tangente con il discriminante.
- Equazioni e disequazioni esponenziali: i metodiMetti in evidenza una potenza, poni t = 2ˣ, leggi una soluzione su un grafico e decidi quando una disequazione mantiene il verso.
- Le funzioni y = k/x e y = √x e i loro graficiDisegna un’iperbole da una tabella, scopri in quali quadranti stanno i suoi rami, trova k da un punto e disegna y = √x.
- Identità logaritmica, cambiamento di base, funzione logaritmicaUsa l'identità logaritmica fondamentale, cambia base e confronta logaritmi con base tra 0 e 1. Argomento: proprietà dei logaritmi e funzione logaritmica (liceo, classe 4); le equazioni logaritmiche sono in un altro studio.
- Equazioni e disequazioni con i logaritmiRisolvi equazioni con una somma di logaritmi, controlla le soluzioni con le condizioni di esistenza, poni t = log x, cerca una base incognita e risolvi disequazioni con base tra 0 e 1.
- La funzione y = x² e il suo graficoCostruisci la tabella dei valori di y = x², disegna i punti, scopri le proprietà del grafico e risolvi x² = 4 e x² = x + 2 con il grafico.
- Proprietà di una funzione lette dal graficoDal grafico di una funzione sull’intervallo [−4; 7], trova gli zeri, gli intervalli in cui il segno resta lo stesso, un intervallo in cui la funzione cresce e il suo valore massimo.
- Grafici di y = ⁿ√x e potenze con esponente razionaleConfronta i grafici di ³√x, ⁴√x e √x, trova il dominio di una radice n-esima e di una potenza con esponente razionale, e confronta i numeri con la monotonia.
- Crescita e decadimento: B(t) = B₀ · q^tDistingui le tabelle lineari, quadratiche ed esponenziali, trova un tempo di raddoppio e un tempo di dimezzamento con il logaritmo, e vedi dove un modello esponenziale smette di essere realistico.
- Funzioni polinomiali: andamento agli estremi, zeri e termineLeggi l'andamento agli estremi dal grado e dal coefficiente direttivo, distingui zeri semplici e doppi, risolvi un'equazione biquadratica e trova un termine a partire da un grafico.
- Problemi di massimo senza derivateScrivi la funzione obiettivo per un rettangolo recintato, un rettangolo in un triangolo e una scatola, e leggi il valore massimo dal vertice o da una tabella. Indica l'insieme di definizione della variabile.
- Famiglie di funzioni e i loro parametriSposta funzioni potenza ed esponenziali con i cursori, leggi dominio, insieme immagine e asintoto, scopri la funzione inversa come una simmetria e associa un grafico alla sua espressione.
- Funzioni razionali fratteDistingui un asintoto verticale da un punto escluso eliminabile, leggi i limiti, trova gli asintoti e costruisci un'espressione a partire dalle proprietà.
- L'espressione di una funzione dalle condizioniTraduci le proprietà in equazioni per f, f′ e f″, trova i parametri e il luogo dei punti estremi di una famiglia di funzioni.
Vettori
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- Segmenti orientati, vettore e vettori di traslazioneDisegna vettori dal punto iniziale al punto finale e leggili con le componenti, trova vettori uguali e opposti e trasla una figura con un vettore.
- Somma di vettori, multipli di uno scalare e versoreSomma vettori con il metodo punta-coda e con il parallelogramma, sottrai un vettore da un altro, allunga e gira un vettore con un numero e scrivi ogni vettore con i e j.
- Approfondimento: vettori in movimentoSomma gli spostamenti di un robot in un unico spostamento, riportalo a casa con il vettore opposto e scopri come la corrente di un fiume cambia il punto in cui arriva una nuotatrice.
- Vettori nello spazio: modulo, distanza e punto medioUn vettore nello spazio è la diagonale di un parallelepipedo. Trova il modulo di un vettore, la distanza tra due punti e il punto medio dalle loro coordinate.
- Il prodotto scalare di due vettoriIl prodotto scalare di due vettori è un numero che informa sull'angolo tra loro. Calcolalo nello spazio con le coordinate e usalo per la perpendicolarità e per un angolo.
- Area e volume con il prodotto vettorialeIl modulo del prodotto vettoriale di due vettori è l'area del loro parallelogramma. Con tre vettori, un determinante dà il volume del parallelepipedo.
- Equazioni di una retta e di un piano nello spazioUna retta nello spazio è determinata da un punto e da un vettore direzione, un piano da un punto e da un vettore normale. Scrivi le loro equazioni e verifica se dei punti le soddisfano.
- Angoli, intersezioni e distanze nello spazioTrova l’angolo tra una retta e un piano, il punto in cui una retta incontra un piano, la distanza di un punto da un piano e l’angolo tra due piani, usando prodotti scalari ed equazioni.
- I vettori per dimostrare e risolvere problemiTrova il punto di equilibrio di punti con pesi, fai una dimostrazione geometrica con i vettori (il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo) e risolvi problemi di velocità e di parallelogramma tracciando vettori.
- Un vettore nel piano: componenti, modulo, prodotto scalareTrova le componenti e il modulo di un vettore, il prodotto scalare con le componenti e con l'angolo, la condizione di perpendicolarità e l'angolo tra due vettori.
- Il prodotto scalare: moduli, angolo, coordinateTrova il prodotto scalare dai moduli e dall'angolo, calcola il quadrato di una somma di vettori, trova il coseno dell'angolo tra due vettori e l'angolo di un triangolo dai suoi vertici.
- Vettori nello spazio: somma, prodotto per un numero e vettori paralleliSomma i vettori con la regola del parallelepipedo e con le coordinate, moltiplica un vettore per un numero e trova quando due vettori sono paralleli.
- Vettori su un prisma e su un parallelepipedo: uguali, somme, paralleliDistingui vettori uguali, con lo stesso verso e con versi opposti su un prisma, somma vettori con la regola del triangolo, esprimi un vettore con altri e trova vettori paralleli con le componenti.
- Scrivere un vettore con due vettoriOgni vettore del piano si costruisce con due vettori non paralleli: p = xa + yb. Disegna le parti sulla griglia, trova i coefficienti, scrivi AM in un parallelogramma e calcola la lunghezza di una proiezione.
- Posizione di rette e piani nello spazioVerifica se un punto sta su una retta, trova un vettore normale con il prodotto vettoriale, stabilisci la posizione di due rette e trova l'intersezione di una retta con un piano.
- Distanze nello spazioDistanza punto-piano con la forma normale di Hesse, piede della perpendicolare, piani paralleli e rette sghembe.
Trigonometria
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- Rapporti trigonometrici nel triangolo rettangoloIngrandisci e rimpicciolisci un triangolo rettangolo con un angolo di 35° e osserva che i lati cambiano ma il loro rapporto no. Poi riconosci cateto opposto, cateto adiacente e ipotenusa per ogni angolo, e trova un lato e un angolo da una tabella di valori, senza calcolatrice.
- Valori esatti per gli angoli notevoli 30°, 45° e 60°Dividi a metà un triangolo equilatero e un quadrato per trovare i valori esatti di seno, coseno e tangente di 30°, 45° e 60°, collega la tangente al coefficiente angolare di una retta e risolvi un'equazione come sen x = 12.
- Angoli qualunque, circonferenza goniometrica e radiantiFai ruotare un punto sulla circonferenza goniometrica con angoli maggiori di 90°, anche negativi, leggi coseno e seno dalla sua posizione, misura l’angolo in radianti e trova valori esatti come sen7π6.
- Angoli associati, archi e settoriRifletti un punto sulla circonferenza goniometrica per vedere come sono legati seno e coseno di θ e di 180° − θ, usa l'angolo di riferimento per trovare cos 120°, poi calcola la lunghezza di un arco e l'area di un settore circolare con l'angolo in radianti.
- Grafici di seno e coseno, periodo e ampiezzaLeggi i grafici di seno e coseno: dove il coseno si annulla, come cambiano periodo e valore massimo in y = sen 2x e in y = 2senx + 1, e come si leggono secante e arcoseno sulle stesse curve.
- Identità goniometriche e dimostrazioniUsa sen2θ + cos2θ = 1 e tgθ = senθcosθ per ricavare un rapporto da un altro, trova la riga sbagliata in una «dimostrazione» e scopri che cosa vale come dimostrazione di un'identità.
- Angoli somma, duplicati e triplicati, somme e prodottiUsa le formule di addizione con i valori esatti per trovare sin 75°, poi lavora con gli angoli doppi e tripli, trasforma una somma di seni in un prodotto e scrivi √3sinx + cos x come un solo seno.
- Equazioni goniometriche: secondo grado e sistemiRisolvi equazioni goniometriche trovando tutti gli angoli da 0° a 360°: tg x = −1, equazioni di secondo grado in sen x o cos x (una richiede prima una relazione) e un sistema di due equazioni in x e y.
- Teorema dei seni, teorema del coseno e geometria nello spazioRisolvi triangoli disegnati in scala con il teorema dei seni e il teorema del coseno, poi usa triangoli rettangoli per trovare un angolo in un parallelepipedo.
- Area del triangolo con il seno, formula di Erone e circonferenzeTrova l'area di un triangolo da due lati e dall'angolo compreso, oppure dai tre lati con la formula di Erone, poi usa l'area per trovare i raggi della circonferenza inscritta e di quella circoscritta.
- La tangente: grafico, dominio e periodoLeggi la curva di y = tg x: il suo segno in ogni quadrante, gli angoli in cui non è definita, il suo periodo e le soluzioni di tg x = 1.
- Parità e archi associatiScopri che seno, tangente e cotangente sono funzioni dispari e il coseno è pari, poi usa la regola degli archi associati: quando la funzione cambia nome e quale segno ottiene.
- Proprietà delle funzioni goniometricheLeggi dai grafici le proprietà di seno, coseno e cotangente: periodo, parità, zeri, intervalli di decrescenza, dominio e codominio.
- Soluzioni generali delle equazioni goniometricheLa retta y = b incontra il grafico di seno, coseno o tangente in infinitamente tanti punti. Scrivi tutte le soluzioni con una formula con k ∈ Z e, in un’equazione che si riconduce a una di secondo grado, scarta la radice impossibile.
- Seno, coseno e tangente di un angolo da 0° a 180°Definisci seno e coseno con le coordinate di un punto della semicirconferenza goniometrica, trova i valori per gli angoli ottusi e usa sen2α + cos2α = 1.
- Risolvere i triangoliRisolvi un triangolo in quattro casi: un lato e due angoli, due lati e l'angolo compreso, tre lati, due lati e un angolo opposto a uno di essi. Per i triangoli rettangoli c'è un altro laboratorio.
- Conseguenze del teorema del cosenoLa natura di un triangolo a partire dal suo lato maggiore (acutangolo, rettangolo o ottusangolo), la somma dei quadrati delle diagonali di un parallelogramma e un problema sui lati AB e BC.
- Cotangente, identità e risoluzione dei triangoli rettangoliImpara la cotangente e la relazione fondamentale della goniometria, risolvi i triangoli rettangoli dall'ipotenusa e da un angolo o dai due cateti, e risolvi problemi pratici. Argomento: triangoli rettangoli; i triangoli qualsiasi sono nello studio successivo.
- Disequazioni goniometriche e scelta delle soluzioniUsa il grafico per vedere dove un seno o un coseno sta sopra o sotto un numero, e scegli le soluzioni di un’equazione in un intervallo dato.
- f(x) = a · sen(b · (x + c)) + dCambia ampiezza, retta mediana, periodo e traslazione della sinusoide, leggi bene la traslazione dentro la parentesi e usa il modello per una marea.
Statistica
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- Raccogliere dati, tacche e ideogrammiFai un'indagine in classe, conta con le tacche e disegna un ideogramma.
- Diagrammi a barre e grafici a lineeCostruisci diagrammi a barre e grafici a linee a partire da una tabella, leggili e scegli il diagramma giusto per una domanda.
- Tacche, calcoli con le tacche e pittogrammi delle decineClassifica e conta con le tacche, aggiungi e togli con le tacche e disegna un pittogramma in cui una figura vale 10.
- Areogrammi e media aritmeticaColora e leggi gli areogrammi, porta le barre alla stessa altezza per trovare la media e distingui i dati numerici dai dati espressi a parole.
- Moda, mediana, media e campo di variazioneDisponi le carte dei dati per trovare la mediana, leggi moda e campo di variazione su un diagramma a punti, guarda come si sposta la media quando cambia un valore e scegli l'indice più adatto.
- Valori anomali e confronto tra due serie di datiConfronta i salti in lungo da fermo di due classi con una media e il campo di variazione, trascina un valore lontano e guarda come reagiscono media, mediana e campo di variazione, e decidi se un valore anomalo è un errore o è reale.
- Dati raggruppati in classi, istogramma e poligono di frequenzaDistribuisci le altezze in classi di uguale ampiezza, costruisci la tabella delle frequenze con le frequenze relative, disegna un istogramma a rettangoli adiacenti e unisci i valori centrali delle classi in un poligono delle frequenze.
- Media di dati raggruppati e frequenza cumulataStima la media di dati raggruppati in classi con la colonna valore centrale × frequenza, calcola la media di due gruppi in modo corretto, costruisci la colonna e il grafico delle frequenze cumulate e leggi la mediana sul grafico.
- Dati bivariati e diagramma a dispersioneRappresenta coppie di dati, riconosci il tipo di dati, descrivi la correlazione, trascina una retta di regressione, prevedi con essa e distingui la correlazione dalla causa.
- popolazione e campione, campionamento casuale e raccolta dei datiDa una scuola di 600 alunni estrai campioni casuali di 10 e di 50 alunni e confronta il risultato con tutta la scuola. Trova il campione sbilanciato e scegli il metodo giusto per raccogliere i dati.
- Approfondimento: lo scarto medio assolutoGuarda la distanza di ogni punto dalla media, calcola la media di queste distanze, scopri perché le differenze con il segno danno sempre zero e confronta due insiemi di dati in base alla loro dispersione.
- Quartili e diagrammi a scatola e baffiDividi i dati ordinati in quattro parti uguali, trova Q₁ e Q₃, segna i cinque numeri di un diagramma a scatola e baffi e misura la metà centrale dei dati con lo scarto interquartile.
- Varianza, deviazione standard e coefficiente di variazioneMisura la dispersione con i quadrati degli scarti dalla media: varianza, deviazione standard e coefficiente di variazione per confrontare dispersioni con unità di misura diverse.
- La forma dei dati e la curva normaleLeggi la forma di un istogramma (simmetrica o asimmetrica), osserva come l'asimmetria allontana la media dalla mediana e usa la regola 68–95–99,7 per i dati a campana.
- Correlazione e retta di regressioneLeggi la forza di una correlazione con r, trova il punto medio dei dati, regola la retta di regressione con il suo coefficiente angolare e la sua intercetta, e fai una previsione dentro l’intervallo dei dati.
- Diagramma ramo-foglia e serie storicheScrivi i dati in un diagramma ramo-foglia e leggilo, poi disegna una serie storica come grafico a linee e rendila più liscia con la media mobile.
- Classi di ampiezza diversa e dati con due variabiliDisegna un istogramma con classi di ampiezza diversa usando la densità di frequenza, ricava la frequenza dall'altezza di una barra e leggi due variabili delle stesse persone in un solo grafico.
- Soglia di povertà, indice dei prezzi e inflazioneTrova una soglia di povertà dalla mediana dei redditi, calcola un indice dei prezzi e scopri che cosa fa l'inflazione.
- Tendenza, interpolazione ed estrapolazioneLeggi l'andamento e la tendenza di una serie storica, stima un valore tra quelli rilevati (interpolazione) e oltre di essi (estrapolazione).
- Raccolta dei dati, scala e grafici a lineeConta con le stanghette le risposte di un'indagine, scegli una buona scala per l'asse di un grafico e leggi un grafico a linee delle temperature di 12 mesi.
- Le percentuali in statistica e probabilitàScrivi il risultato di un’indagine come percentuale, trova una percentuale dall’angolo di un settore, colora un diagramma circolare in percentuali e scrivi una probabilità come percentuale.
- Tipi di carattere, raccolta dei dati e stimaDistingui i caratteri qualitativi e quantitativi, discreti e continui, prendi un campione stratificato, trova la domanda onesta di un questionario e impara a stimare la media di una popolazione a partire da un campione.
- Tabelle di dati: leggere e completareLeggi una tabella semplice, trova il valore maggiore, calcola la differenza e completa una tabella a partire dai dati.
- Classificare secondo un criterioClassifica degli oggetti in gruppi secondo il colore e secondo la forma, conta ogni gruppo e trova il più grande.
- Orari: lezioni e treniLeggi l'orario della scuola e quello dei treni: quando finisce una lezione, quanto dura un intervallo o un viaggio, quale treno prendere.
- Verifica di semplici ipotesi, covarianza e minimi quadratiDecidi quante teste rendono poco credibile l’ipotesi di una moneta equa, calcola la covarianza e il coefficiente di correlazione per cinque punti e trova la retta con la somma minima dei quadrati degli errori.
- Leggere i dati con spirito criticoConfronta gruppi, riconosci l'effetto Simpson, giudica un campione, distingui percentuale e punti percentuali e la correlazione dalla causa.
- Grafici ingannevoliRiconosci i grafici che danno un'impressione sbagliata, come l'asse tagliato o le figure di grandezza diversa, disegnali in modo onesto e scegli i titoli che i dati sostengono.
- Distribuzione normale e regole del σRegola μ e σ della curva di Gauss e usa le regole del σ: 68,3 %, 95,4 % e 99,7 %.
Probabilità
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- Il caso: certo, possibile, impossibileEstrai palline da un sacchetto, fai girare una ruota e lancia un dado. Di' se ogni evento è certo, possibile o impossibile.
- probabilità sperimentale e probabilità teoricaFai girare una ruota, lancia un tappo di bottiglia e tira dei dadi: 10 volte, 100 volte, 1000 volte. Guarda la frequenza relativa avvicinarsi alla probabilità.
- spazio campionario, eventi composti ed evento contrarioElenca tutti i risultati di una moneta e una ruota, di due monete e di due dadi. Trova le caselle favorevoli in una tabella 6 × 6 e ricava la probabilità che un evento non accada da quella che accada.
- Diagrammi di Venn, eventi e tabelle a doppia entrataOrdina una classe di 30 alunni per flauto e coro in un diagramma di Venn, trasforma gli stessi dati in una tabella a doppia entrata e viceversa, guarda gli evento come insiemi e calcola le probabilità con «o» usando la regola della somma.
- Diagrammi ad albero, principio di moltiplicazione e eventi indipendentiFai crescere diagrammi ad albero per contare abbinamenti e classifiche, scrivi le probabilità sui rami, moltiplica lungo un percorso, somma i percorsi e scopri che cosa cambia quando la pallina non viene rimessa nel sacchetto.
- Le regole della probabilità, esiti continui e numero attesoSomma le probabilità di eventi che non possono accadere insieme, trova quali elenchi possono essere probabilità, calcola una probabilità come parte di una lunghezza e prevedi quante volte accade qualcosa.
- Probabilità condizionataUsa una tabella, un diagramma di Venn e un albero per calcolare la probabilità di un evento quando sai già che un altro è avvenuto, scopri perché l'ordine di «dato» conta e incontra gli eventi dipendenti.
- Eventi indipendenti e probabilità totaleVerifica con una tabella se due eventi sono indipendenti, scopri perché due eventi che non possono accadere insieme non sono indipendenti e somma i percorsi di un albero per trovare la probabilità di un risultato che può nascere in più modi.
- Variabili aleatorie e valore attesoAssocia un numero a ogni esito di due dadi, trova la probabilità dei valori di questo numero, calcola la media di un dado e decidi quanto vale un gioco a ogni lancio.
- Probabilità non uguali e teorema di BayesDai a ogni risultato il suo peso e sommali. Poi leggi un albero al contrario: è stato trovato un bullone difettoso, quale macchina lo ha prodotto?
- Distribuzione binomiale e di PoissonConta i cammini di un albero che danno esattamente k successi, scopri da dove viene la formula binomiale e usa la formula di Poisson per eventi che arrivano a caso.
- La distribuzione normale e il punteggio zSegna sulla retta dei numeri le distanze dalla media in deviazioni standard, usa la regola 68–95–99,7, calcola un punteggio z e trova la probabilità in una coda.
- Medie campionarie, proporzioni campionarie e teorema del limite centraleScopri che le medie dei campioni sono molto meno disperse dei singoli valori, calcola l’errore standard di una media e di una proporzione e usa il teorema del limite centrale per trovare una probabilità.
- La varianza di una variabile casuale, la distribuzione geometrica e la disuguaglianza di ČebyšëvCalcola una varianza da una tabella di distribuzione, trova la varianza di una somma di variabili indipendenti, calcola la probabilità «fino al primo successo» e limita uno scostamento con la disuguaglianza di Čebyšëv.
- Probabilità geometrica, densità e variabili casuali continueTrova la probabilità che un punto scelto a caso cada in una parte di una figura, di un segmento o di un arco come rapporto di misure, capisci che cos'è una densità e conosci la distribuzione uniforme e quella esponenziale.
- Probabilità e combinazioniTrova la probabilità di un evento con P(A) = m : n quando i casi di una scelta si contano con le combinazioni C(n, k) e le disposizioni D(n, k).
- Stimare π con punti casuali e strisceConta i punti casuali in un quarto di cerchio per stimare π, osserva come la dispersione diminuisce con più punti e confronta il risultato con il metodo delle strisce.
- Test di ipotesi unilateraleScrivi H₀, trova la regione di rifiuto al livello di significatività del 5 %, valuta l'errore di prima specie e leggi bene il risultato.
Insiemi e logica
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- Insiemi: elementi, sottoinsiemi, unione, intersezione e complementareSistema i cartellini dei numeri negli ovali del diagramma di Venn, scrivi l'insieme tra parentesi graffe, colora unione, intersezione e differenza e conta con il diagramma.
- Disposizioni e gruppi: permutazioni e combinazioniFai crescere l'albero delle disposizioni per contare chi può vincere l'oro e l'argento, metti in fila degli amici, poi scopri perché un gruppo di persone si conta meno volte di una disposizione.
- La potenza di un binomio e il triangolo di TartagliaGuarda (a + b)³ come tre parentesi e conta i percorsi che danno ogni termine, leggi i coefficienti dal triangolo di Tartaglia e usali per gli sviluppi con numeri.
- Contare senza contare due volte e il principio dei cassettiConta gli alunni di due club senza contare due volte quelli che stanno in tutti e due, conta i multipli di 2 o di 3, poi usa il principio dei cassetti per essere sicuro che due oggetti finiscano nella stessa scatola.
- Enunciati aperti, sottoinsiemi e leggi degli insiemiDistingui gli enunciati dagli enunciati aperti, costruisci l'insieme delle soluzioni di un enunciato aperto, conta i sottoinsiemi e verifica la proprietà distributiva e la legge di assorbimento su un diagramma di Venn.
- Enunciati, e, o, non e se… alloraRiconosci quali frasi sono enunciati, usa correttamente e, o e non, verifica una promessa «se … allora …» e trova la contronominale.
- Quantificatori, ragionamenti validi e leggi di De MorganNega «tutti», disegna «ogni multiplo di 6 è multiplo di 3», distingui i ragionamenti validi da quelli non validi e usa le leggi di De Morgan con gli insiemi.
- Dimostrazioni: diretta, per casi, per assurdo e per induzioneDimostra con l'algebra che dispari + dispari è pari, controlla un'affermazione dividendola in casi, dimostra per assurdo che non esiste il numero pari più grande e fai il passo induttivo per i numeri dispari.
- Coppie, relazioni e relazioni di equivalenzaDisegna A × B come punti, riconosci una relazione, capovolgila per avere la relazione inversa e scopri perché «stesso resto» è una relazione di equivalenza.
- Contare con le ripetizioni: permutazioni, gruppi e stelle e barreDisponi in fila palline dello stesso colore, conta i codici con cifre ripetute, dividi gli alunni nelle camere e conta i mazzi di fiori con stelle e barre.
- Insiemi con una condizione e insiemi infinitiRiconosci ℕ, ℤ, ℚ e ℝ, elenca gli elementi di un insieme a partire dalla sua condizione, scrivi la condizione di un insieme e scopri perché i numeri pari e i numeri naturali sono «tanti quanti».
- Coefficienti binomiali, triangolo di Tartaglia e dimostrazioni per conteggioDividi gruppi di amici in due tipi, dimostra la regola di Pascal contando e scopri perché ogni riga somma una potenza di 2.
- Grafi: vertici, lati e gradoLeggi un grafo: trova il grado di ogni vertice, confronta la somma dei gradi con il numero dei lati e scopri perché alcuni grafi non possono esistere.
- Grafi: insiemi dominantiColloca le stazioni in modo che ogni punto della mappa sia coperto e trova il numero minimo che basta: il numero di dominazione del grafo.
- Regola della somma e del prodotto, permutazioni, disposizioni e combinazioniDistingui la regola della somma da quella del prodotto, usa le formule per permutazioni, disposizioni e combinazioni e risolvi un'equazione con i fattoriali.
- Problemi di calcolo combinatorio: elencare, l'albero e il principio di moltiplicazioneTrova tutti i modi di sistemare tre ragazze sui piani, fai crescere un albero delle scelte e scopri perché il numero dei modi si trova moltiplicando.
- Il principio di addizione e il principio di moltiplicazioneIn quanti modi si può scegliere «a oppure b» e «a e poi b»: principio di addizione, principio di moltiplicazione, coppie (a; b), uno schema di strade e problemi sulle cifre.
- Vero o falsoLeggi alcune frasi sulla frutta con le parole «tutti», «ogni» e «c'è» e decidi se sono vere.
- Se ... allora ...Barra i numeri usando gli indizi, trai conclusioni dalle regole «se ... allora ...» e costruisci catene di ragionamenti.
- Grafi orientati e problemi risolti con i grafiLeggi i grafi orientati, conta le strette di mano e le partite di un torneo e trova il percorso più breve trasformando il problema in un grafo.
- Connessione, cammini, cicli e disegni senza staccare la pennaConta le componenti connesse, trova i vertici di grado dispari e decidi se un grafo si può tracciare senza staccare la penna.
- Condizioni necessarie e sufficientiRiconosci quando una condizione è necessaria, quando è sufficiente e quando è tutte e due le cose, e smentisci un'affermazione falsa con un controesempio.
- Alberi e grafi planariRiconosci gli alberi, conta i lati di un albero e di un albero di copertura, e conta le facce di un grafo planare con la formula di Eulero.
Numeri complessi
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- Numeri complessi: i, somma, prodotto, quozienteConosci il numero i con i² = −1, somma i numeri complessi come punti del piano, moltiplicali come si fa con le parentesi e dividili con il coniugato.
- Equazioni di secondo grado e polinomi con radici complesseScopri perché x² + 4x + 13 = 0 non ha soluzioni reali, risolvi equazioni con soluzioni complesse, rappresentale sul piano e trova la radice mancante di un polinomio di terzo grado.
- Il piano di Gauss: modulo, argomento e rotazioniLeggi i numeri complessi come punti del piano di Gauss, trova modulo e argomento, riflettili rispetto all'asse reale e moltiplicali con rotazioni e dilatazioni.
- Potenze, radici e circonferenze nel piano di Argand-GaussUsa e^{iθ} come punto della circonferenza unitaria, eleva i numeri a potenza con la formula di De Moivre, trova le quattro radici di un numero come vertici di un quadrato e disegna una circonferenza con |z − c| = r.
Matrici
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- Matrici: ordine, elementi e tipi particolariLeggi una matrice come una tabella: trova un elemento dalla sua riga e dalla sua colonna, indica l'ordine e costruisci la matrice nulla, la matrice identità e la matrice diagonale.
- Somma, prodotto per un numero, prodotto e trasposta di matriciSomma e sottrai matrici dello stesso ordine, moltiplica per uno scalare, moltiplica righe per colonne e trasforma le righe in colonne.
- DeterminantiCalcola determinanti 2 × 2 e 3 × 3, scopri che cosa fa lo scambio di due righe e come il determinante moltiplica le aree.
- Matrici inverse e risoluzione di sistemiTrova l'inversa di una matrice 2 × 2 con il determinante, trova un'inversa 3 × 3 con le operazioni sulle righe e risolvi un sistema con essa.
- Regola di Cramer e metodo di GaussRisolvi un sistema con i determinanti (Cramer), poi con le operazioni sulle righe (Gauss), e scopri come un determinante nullo dà rette parallele.
- La matrice come trasformazioneUna matrice sposta i punti del piano: applicala a un punto, costruiscila dalle immagini di i e j e trova i suoi punti uniti.
Analisi matematica
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- Limiti: avvicinarsi a un numeroRiempi una tabella di valori vicini a un punto in cui la funzione non è definita, leggi il limite sulla curva e scopri perché i limiti da sinistra e da destra devono essere uguali.
- Calcolare limiti: operazioni, forma 0/0 e senoCalcola limiti di somme e prodotti a partire da grafici, risolvi la forma indeterminata 0/0 scomponendo e semplificando, e scopri il limite notevole del seno.
- Limiti infiniti e limiti all'infinitoScopri perché 1x2 diventa enorme vicino a zero, disegna un asintoto orizzontale e affronta la forma indeterminata ∞ : ∞.
- Continuità e tasso di variazioneGuarda quando un grafico si può tracciare senza staccare la penna, trova il valore di k che rende continua una funzione e restringi un rapporto incrementale fino al tasso di variazione istantaneo.
- Dalla secante alla tangente: la definizione di derivataAvvicina il punto Q al punto P sul grafico, guarda nella tabella il coefficiente angolare della secante avvicinarsi a quello della tangente, traccia la tangente e scopri perché in un punto angoloso la derivata non esiste.
- Le regole di derivazioneProva le regole della potenza, del prodotto e del quoziente con un numero in un punto, e controllale con le tangenti su un grafico.
- Derivate di seno, esponenziali, logaritmi e funzioni inverseVerifica la derivata di sen x vicino a zero, disegna la tangente a ex, usa ln x come immagine speculare di ex per trovarne la derivata e porta la regola della funzione inversa fino ad arctg.
- Derivate implicite, parametriche e seconde, e velocità di variazione collegateTrova il coefficiente angolare di una circonferenza in un punto con la derivazione implicita, calcola il coefficiente angolare di una curva parametrica, calcola una derivata seconda e osserva come il lato che cambia fa cambiare l'area.
- Equazione della tangente e massimo e minimo in un intervalloScrivi l'equazione della tangente con y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀), trova una tangente parallela a una retta data e una per un punto fuori dalla curva, poi cerca il massimo e il minimo di una funzione in [a;b].
- Il segno della derivata e la forma del graficoUsa il segno di f′(x) per trovare dove un grafico sale e dove scende e individua i punti stazionari.
- Teorema di Rolle, regola di de l'Hôpital e sviluppo di MaclaurinTrova dove la tangente è orizzontale, trova il punto del teorema di Lagrange, calcola un limite 0/0 con le derivate e trova un coefficiente dello sviluppo di Maclaurin di cosh x.
- Stimare un’area: somme di Riemann e metodo dei trapeziStima l’area sotto y = x² con rettangoli stretti e con trapezi, e scopri verso quale numero tendono le stime quando le strisce diventano più strette.
- Dalla primitiva all'integrale definitoTrova una primitiva e capisci perché serve + C, calcola un integrale definito con F(b) − F(a), trova il valore medio di una funzione e conosci l'integrale di 1x.
- Metodi di integrazioneCambia la variabile e gli estremi insieme, integra per parti, scomponi una frazione in fratti semplici, scegli una sostituzione goniometrica e decidi se un integrale improprio ha un valore.
- Aree e volumi con gli integraliUsa l'integrale definito per trovare l'area sotto una curva e tra due curve e il volume di un solido di rotazione.
- Equazioni differenzialiScrivi una velocità di variazione come equazione differenziale, trova su un grafico la soluzione y = Cekx e risolvi un'equazione a variabili separabili con una condizione iniziale.
- Studio di funzione e problemi di ottimizzazioneTrova gli asintoti e i punti notevoli di un grafico, poi usa un massimo per risolvere problemi come l'area più grande e il volume più grande.
- Lo studio di funzione per tracciare un graficoStudia una funzione seguendo uno schema: dominio, parità, zeri, crescenza e decrescenza, punti estremanti, poi segna i punti chiave del grafico.
- Schema del segno della derivata e andamento della funzioneDal segno della derivata in ogni intervallo, indica con una freccia dove la funzione è crescente ↗ e dove è decrescente ↘, e trova i punti di massimo e di minimo.
- Dal grafico di f al grafico di f′Trova dove f′ è zero, leggi f′ dal grafico di f, individua il flesso come punto di massimo o minimo di f′ e l’istante di crescita più rapida.
- Funzione integrale e teorema fondamentaleCalcola il bilancio delle aree fino a x, trova gli estremi della funzione integrale e calcola con J(x) = F(x) − F(a).
Risoluzione di problemi
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- Risolvere un problema: fare uno schemaLeggi il problema. Di' che cosa sai e che cosa cerchi. Fai uno schema, poi risolvi.
- Problemi: la frase numericaTrasforma una storia in una frase numerica. Metti un quadratino □ al posto del numero che non conosci, poi trovalo.
- Problem solving: rappresentare, regolarità, eliminare, tentativiQuattro modi di risolvere un problema: elencare tutti i casi in ordine, trovare la regolarità, cancellare ciò che non può essere, e provare, controllare e migliorare.
- Risolvere problemi: più passaggi, casi più semplici ed elenchi ordinatiDividi un problema in passaggi, risolvi prima un caso più semplice, elenca tutti i casi in ordine e scegli tu il metodo.
- risoluzione di problemi: strategie risolutiveEsercitati con l’elenco sistematico, i sottoproblemi e i problemi più semplici, con problemi di soldi e numeri più grandi.
- risoluzione di problemi: guadagno e dati sufficientiTrova il guadagno di un commerciante con una tabella e decidi quali numeri servono in un problema, quali no e quando ne manca uno.
- Problema: dati, operazione e rispostaScrivi in breve i dati, scrivi l'operazione, risolvi il problema in uno o due passaggi e scrivi la risposta.
- Problemi: il triplo, quante volte, quanti in più, il problema inversoRendi un numero più volte più grande, confronta con «quante volte», risolvi problemi in forma indiretta e problemi inversi.
- Problemi con la tabella: prezzo, quantità, costoScrivi i dati in una tabella «prezzo, quantità, costo» e risolvi problemi sulla somma, la differenza e il rapporto di due prodotti.
- Problemi con più operazioniDistingui i problemi con una sola operazione da quelli con più operazioni, poi scrivi la soluzione passo per passo e come un’unica espressione con le parentesi.
- Problemi con più operazioni: moltiplicazione e divisioneRisolvi problemi con più operazioni: il resto, somme e differenze di prodotti, e confronti con «volte in più» o «volte in meno».
- Confronta i problemi: che cosa è cambiato?Confronta due problemi collegati, prevedi come cambia la risoluzione e risolvi il problema cambiato.
- Dati, soluzione, rispostaScrivi un problema come nel quaderno: Dati, Richiesta, Soluzione (con le domande, passo per passo, come un’unica espressione) e Risposta.
- Giochi di logicaRisolvi rompicapi: completa una tabella con gli indizi, trova cavalieri e bugiardi, fai travasi d’acqua tra secchi e scopri chi è stato.
- Consumo e variazioneRisolvi problemi sul consumo («al giorno × giorni») e sulla variazione («prima – dopo») in più passi e scrivi la risposta.