Aire et volume avec le produit vectoriel
La norme du produit vectoriel de deux vecteurs est l'aire du parallélogramme qu'ils forment. Avec trois vecteurs, on obtient le volume d'un parallélépipède grâce à un déterminant.
📖 Commence ici : lis les étapes de la « Leçon » dans l’ordre (1, 2, 3 …) et réponds à chaque question. Ensuite, passe à l’« Entraînement ».
- Italie : classe 13
- Espagne : classe 12
- Russie : classe 11
- Iran : classe 12
Conseils pour les adultes
Ce thème ne figure pas au programme français du lycée : le produit vectoriel et le déterminant 3 × 3 relèvent de l'enseignement supérieur (classes préparatoires, physique) ; au lycée, on rencontre seulement le produit scalaire (1re) et les coordonnées dans l'espace (Terminale). Si deux vecteurs a et b sont deux côtés d'un parallélogramme, son aire est égale à la norme de leur produit vectoriel, c'est-à-dire |a×b|. L'aire du triangle construit sur ces deux vecteurs en est la moitié.
Trois vecteurs non coplanaires forment un parallélépipède. Son volume est |a·(b×c)|. Ce nombre s'écrit comme la valeur absolue d'un déterminant 3 × 3 dont les lignes sont les coordonnées de a, de b et de c. Si le déterminant est nul, le volume est nul : les trois vecteurs sont dans un même plan.
Erreurs courantes : oublier de diviser par deux pour l'aire du triangle, oublier le signe moins du terme du milieu dans le développement du déterminant, et additionner les coordonnées au lieu de prendre la norme du vecteur.