Solutions générales des équations trigonométriques
La droite y = b coupe la courbe du sinus, du cosinus ou de la tangente en une infinité de points. Écris toutes les solutions avec une formule où k ∈ ℤ, et, dans une équation qui se ramène à une équation du second degré, rejette la racine impossible.
📖 Commence ici : lis les étapes de la « Leçon » dans l’ordre (1, 2, 3 …) et réponds à chaque question. Ensuite, passe à l’« Entraînement ».
- Portugal : classe 11
- Italie : classe 11
- Russie : classe 10
- Ukraine : classe 10
Conseils pour les adultes
En 1re (spécialité), on résout cos x = b avec le cercle trigonométrique et la courbe : la droite y = b coupe la courbe du cosinus lorsque |b| ⩽ 1. Les formules générales avec arccos, arcsin et arctan, ainsi que la tangente, vont au-delà du programme ; ce sont des extensions. L'axe des abscisses porte des nombres ordinaires, donc π ≈ 3,14.
Pour cos x = b avec |b| ⩽ 1, les solutions sont x = ±arccos b + 2πk,k∈ℤ, où arccos b est dans [0;π] et arccos (−b) = π − arccos b. Les cas particuliers cos x = 0, cos x = 1, cos x = −1 s'écrivent sans ±.
Pour sin x = b : x = (−1)karcsin b + πk,k∈ℤ. Pour tan x = b : x = arctan b + πk,k∈ℤ ; pour cotanx = b : x = arccotanb + πk,k∈ℤ.
Quand une équation se ramène à une équation du second degré en sin x ou cos x, le changement de variable t = sin x donne des valeurs de t ; chacune doit être dans [ − 1;1], sinon il n'y a pas de solution.