Conséquences du théorème d'Al-Kashi
La nature d'un triangle à partir de son plus grand côté (acutangle, rectangle ou obtusangle), la somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme et un problème sur les côtés AB et BC.
📖 Commence ici : lis les étapes de la « Leçon » dans l’ordre (1, 2, 3 …) et réponds à chaque question. Ensuite, passe à l’« Entraînement ».
- France : classe 11
- Allemagne : classe 9
- Portugal : classe 11
- Italie : classe 9
- Espagne : classe 11
- Russie : classe 9
- Ukraine : classe 9
- Syrie : classe 11
Conseils pour les adultes
Ce thème relève de la classe de 1re (spécialité mathématiques) : produit scalaire et théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus). Dans un triangle ABC, on note a = BC, b = CA, c = AB et α, β, γ les angles opposés. Le théorème d'Al-Kashi s'écrit a2 = b2 + c2 − 2bccosα, ce qui donne 2bccosα = b2 + c2 − a2.
Conséquence. Soit a la longueur du plus grand côté d'un triangle. Si a2 < b2 + c2, le triangle est acutangle. Si a2 > b2 + c2, il est obtusangle. Si a2 = b2 + c2, il est rectangle (c'est la réciproque du théorème de Pythagore). La raison : le signe du cosinus du plus grand angle, positif, négatif ou nul.
Problème 1. La somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses quatre côtés : BD2 + AC2 = 2a2 + 2b2, où a et b sont deux côtés consécutifs. On le démontre en écrivant le théorème d'Al-Kashi dans les triangles ABD et ACD (angles α et 180° − α), puis en additionnant.
Problème 2. Le théorème d'Al-Kashi peut mener à une équation du second degré. Une solution qui ne convient pas à la condition (une longueur n'est pas négative) est écartée. Rédige en quatre temps : Données, Ce qu'on cherche, Calcul, Phrase réponse. Les triangles sont dessinés à l'échelle : 1 carreau du quadrillage représente 1 cm.